罗柯宇
递推数列的通项公式问题比较常见.求递推数列的通项公式的方法多种多样,常见的有:累加法、累乘法、待定系数法、猜归法、同除法、构造法等.运用这些方法求数列的通项公式,都需把递推式变形为等差数列或者等比数列的通项公式,将问题化归为等差数列或者等比数列的通项公式问题.在本文中,笔者着重探讨了一类线性递推数列:an+1=pan+rqn的通项公式的求法.
若已知an+1=pan+rqn,求数列{an}的通项公式问题较为复杂.要求得数列的通项公式,关键是要求得an的表达式,需将递推式an+1=pan+rqn进行适当的变形,以便构造出辅助数列,通过求辅助数列的通项公式,求得数列{an}的通项公式.
1.当p=1时,由an+1=pan+rqn可得an+1-an=rqn,
则an-an-1=rqn-1,
an-1-an-2=rqn-2,
…,
a2-a1=rq,
将上述式子累加得an-a1=r(qn-1+qn-2+…+q),
当p=1时,需采用累加法,将n=1,2,3,…,n-1时的n-1个式子累加,通过正负相互抵消,得到an-a1的表达式,再根据等比数列的通项公式,化简该表达式,即可求得数列{an}的通项公式.
例1.已知在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2×3n,求数列{an}的通项公式.
解:由an+1=an+2×3n得an+1-an=2×3n,
则an-an-1=2×3n-1,
an-1-an-2=2×3n-2,
…,
a2-a1=2×31,
通过累加得an-a1=2×(3n-1+3n-2+…+31),
由a1=1得an=3n-2,
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
该数列的递推式形如an+1=pan+rqn,此时p=1,可采用累加法求解,令n=1,2,3,…,n-1,将这n-1个式子累加,即可求得数列的通项公式.
例2.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×4n,求数列{an}的通项公式.
解:设an+1+m4n+1=2(an+m4n),
可得an+1=2an-2m4n,
例4.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×2n,求数列{an}的通项公式.
即an=2n-1×(3n-2).
该数列形如an+1=pan+rpn,其中p≠1,p=q,需在递推式的左右同时除以pn,从而构造出等差数列,根据等差数列的通项公式即可解题.
4.若p≠1、p≠q时,则在递推式an+1=pan+rpn
例5.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求數列{an}的通项公式.
该递推式形如an+1=pan+rpn,且p≠1、p≠q,可以在递推式的左右同时除以pn,通过待定系数法来构造辅助数列,然后利用累加法求得新数列的通项公式,进而得到an的通项公式.
总之,由形如an+1=pan+rpn的递推式求数列的通项公式,需首先明确递推式的类型,确定p、q的取值,然后将递推式进行变形,如在递推式的左右同除以pn,引入待定系数,构造出等差、等比数列的通项公式或者类似于等差、等比数列通项公式的式子,以便构造出辅助数列,然后通过累加,或利用等差、等比数列的通项公式求得问题的答案.