例谈两类圆锥曲线问题的解法

孙磊

圆锥曲线问题对同学们的思维能力和运算能力有较高的要求，常见的圆锥曲线问题有：求动点的轨迹方程、求圆锥曲线的方程、求直线的斜率、求参数的取值范围、中点弦问题等.本文主要探讨下列两类圆锥曲线问题的解法.

一、求动点的轨迹方程

求动点的轨迹方程问题侧重于考查圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系.求动点的轨迹方程的重要方法之一是直接法，即先设出动点的坐标（x，y），必要时可多设几个变量，找出与动点有关的几何关系，根据题意建立关于动点的关系式，通过化简、消元得到x与y的关系式，即可得到动点的轨迹方程.

例1.已知直线l：ax-y-（a+5）=0与抛物线y=（x+1）²相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x，y），

可知x₁+x₂=2x，

∵l：a（x-1）-（y+5）=0，

∵y₁=（x₁+1）²，y₂=（x₂+1）²，

∴y₁-y₂=（x₁+1）²-（x₂+1）²=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2），

∴弦中點的轨迹方程为y=2x²-7.

解答本题主要采用的是直接法，首先设出点M的坐标，便可根据中点公式建立A、B与M的坐标的关系式，再将A、B的坐标代入抛物线的方程中，通过作差，建立关于A、B与M的坐标的关系式，消去参数A、B的坐标，即可求得动点的轨迹方程.

求动点的轨迹方程的常用方法还有定义法，即根据圆锥曲线的定义来求得动点的轨迹方程的方法.若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据其定义确定动点的轨迹的类型，再写出其方程.

∴Q为线段PN的中点且GQ⊥PN

运用定义法求动点的轨迹方程，关键在于理解解析几何中圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，根据其定义建立关系式.在运用定义法求得动点的轨迹方程后，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.

二、求圆锥曲线的方程

求圆锥曲的方程问题侧重于考查圆锥曲线的标准方程.解答此类问题，需首先根据圆锥曲线的类型，引入参数，设出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，再根据已知条件列出关于参数a、b、c的方程组，解方程组即可求得圆锥曲线的方程.

圆锥曲线问题的难度一般较大，且运算量较大.同学们在日常学习中，要熟悉并掌握一些圆锥曲线问题中的常见题型及其解法，加深对圆锥曲线问题的认识，以达到提升解题效率的目的.