求轨迹方程的三种思路

宋晓政

求轨迹方程问题的常见命题形式是根据已知条件，求动点的轨迹方程、求曲线的方程.此类问题侧重于考查圆锥曲线的方程、几何性质以及方程思想.本文结合例题，介绍求轨迹方程的三种思路.

一、运用直接法

有些求轨迹方程的问题较为简单，直接给出了一些与动点相关的条件，此时就可以运用直接法求解.利用直接法求轨迹方程，需先设出动点的坐标，根据动点满足的几何条件列出关于动点坐标的方程，然后化简该方程，最后验证所得的结果是否满足题意.

解：设M（x，y），P（x₁，y₁），则Q（x₁，0），

所以P的坐标为（x，2y），

本题直接给出了关于动点的几何关系，所以只需根据已知条件设出相关点的坐标，然后将其代入关系式并化简，就能够得出动点的轨迹方程.运用直接法求轨迹方程的步骤为：设点——列方程——化简——检验.通常可以不用写出最后一步的过程.

二、利用参数法

有些题目较为复杂，我们难以根据题意快速建立动点的关系式，此时就可以运用参数法，先把曲线上动点的坐标用参数表示出来，然后通过恒等变换，将参数消去，就可以得到动点的轨迹方程.此方法适用于求解未给出与动点相关的关系，且无法快速建立關系式的题目.

例2.过点A（0，1）的直线L与抛物线：x²=4y交于D，E两点，O为坐标原点，求三角形ODE的重心G的轨迹方程.

解：设直线L的方程为y=kx+1，设G（x，y）D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）

得x²-4kx-4=0，

则x₁+x₂=4k，y₁+y₂=4k²+2，

三、采用定义法

当动点满足某一圆锥曲线时，可以根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，求得曲线方程中的参数a、b、c、p、r，即可根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程求得动点的轨迹方程.

例3.已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切，且与圆N内切，求动点P的轨迹方程.

解：设动圆P的半径为r，由题意知圆M的圆心为M（-1，0），半径为1，圆N的圆心为N（1，0），半径为3.

因为动圆P与圆M外切，且与圆N内切，

即动点P到两个定点M，N的距离之和为定值，

则P的轨迹方程是以M，N为焦点，长半轴为2的椭圆.

所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，

可见，求轨迹方程问题的难度一般不大，但解题过程中的运算量较大.求轨迹方程，需仔细研究题目中的几何条件，明确动点的轨迹，建立与动点有关的关系式.