《赖因德纸草书》中的古埃及数学问题

梁宗巨

现在，我们主要是通过用僧侣文写成的《赖因德纸草书》（Rhind Papyrus）来了解古埃及的数学.《赖因德纸草书》是一部古老的埃及数学著作，约成书于公元前1650年.阿梅斯（Ahmes）不是原著者，《赖因德纸草书》是他从别的书上抄下来的，间或还有一些笔误. 该书最早被发现于埃及底比斯的废墟中.公元1858年由英国的赖因德（A. H. Rhind）购得，后将其命名为《赖因德纸草书》.现藏于伦敦大英博物馆.该纸草书全长544厘米，宽33厘米.它大概是当时比较实用的一种计算手册，记述了千余年来埃及的一些数学问题.

全书共列有84个题目，可以分为4部分.

2.第1-40题属于算术与代数问题.

3.第41-60题是有关几何学的问题.

4.第61-84题是杂题.

研究赖因德纸草书的文章和书籍很多，其中较有名的是艾森洛尔（A.Eisenlohr）的《古埃及的数学手册》（1877年）.这是最早出版的文献.接着有不列颠博物馆刊行的《赖因德数学纸草书的摹真本》.近代补缺后出版的有皮特（T.E.Peet）的《赖因德数学纸草书》（1923 年），更新的有蔡斯本（1927年-1929年），日文本的有高崎升著《古代エジプトの数学》（1937年）.

一、算术运算

僧侣文的记数法属分级符号制.整数的加、减法很简单，只要将表示数目的符号累积起来，再转写成相应的符号即可.但分数的加减法却相当复杂，因为所有的分数都要化成单分数.

符号和术语），先写1和25（表示1×25=25），作为第1行，再写2和50（表示2×25=50），以下依次加倍，加到16可不必再加下去.因为再加倍，则所得的结果就会超过乘数18.从左边那列数（1，2，4，8，…）中选出若干个，使其和凑成18.本例中用的是2与16，在其前面都打上*号，再将右列中与*号对应的数相加，即得25×（2+16）=50+400=450.其计算过程如下：

除法的原理与乘法的一样，只需将运算的步骤倒过来.仍以此题为例，计算：25×________=450，就要将乘法运算变成除法运算，即计算：450÷25=________.原来的积变成被除数，而被乘数变成了除数.现在要在右列中选出一些数，使其和凑成450.本例中用的是50、400，在其旁边标上*号.再将左列中和·号对应的数2、16相加，即得商18，其计算过程如下：

再举一例：若一个数（包括分数）乘上8等于19，则这个数为多少？

二、代数问题

第24-29题属于现在代数中的一元一次方程问题.图1是第24题，上面是僧侣文，下面是象形文字的译文.象形文的每个字上面都标有相应的拉丁字母或阿拉伯数码.

三、等差、等比数列

第79题（图2）是等比数列题，其等比数列的首项与公比都是7.原题分左右两列，右列是2801×7=19607 的算式，左列列出了数列的前5项，每一项的旁边注有一个字，但没有作任何说明，最后用加法算出5项的总和，其运算过程如下：

有人猜测作者的原意是：有7间房子，在每间房子里养7只猫，每只猫吃7只鼠，每只鼠吃7粒麦子.若将这些麦子种在土地里，每粒麦子产出的可装满7个容器，问一共有多少个容器？著者最后用加法算出这些数的总和为19607，和右列的2801×37相同，可见著者对求和更有兴趣.

右列的2800是数列前4项之和，而2801×37=19607是前5项之和.著者大概想用此例来说明一个规律：若等比数列的首项与公比都是r，那么前n项的和S等于前n-1项和加1再乘以r.

S_n=（S_n-1+1）r

S_n=rⁿ+r^n-1+…+r²+r

=（r^n-1+r^n-2…+r+1）r

=（S_n-1+l）r

这是很显然的.

这一类问题经常出现在不同年代、不同地区的书籍中，饶有趣味.如斐波那契的《算盘书》（LiberAbaci，1202）中就有這样的问题：“7个老妇去罗马，每人牵着7匹骡，每匹骡驮7个袋，……”后来在算术书中又有这样的歌谣：

我赴圣地艾夫西（Saint Ives），

途遇妇女数有七，

一人七袋手中提，

一袋七猫数整齐，

一猫七子紧相依，

妇与布袋猫与子，

几何同时赴圣地？

中国的《孙子算经》卷下（3世纪）有这样一道题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”这样和前面的题异曲同工.

古埃及人在长期的生产活动中积累了丰富的实践经验.但古埃及人的数学知识是零碎的、片断的，尚未形成严整的体系，还缺乏逻辑.古埃及数学在算术方面采用了单分数，使得四则运算非常麻烦，它实际上是阻碍数学前进的绊脚石.