“构造辅助圆”在初中数学解题中的应用

刘怀权

【摘要】在初中数学解题中，学生们经常会遇到复杂的问题，无法将问题准确解答得出.“圆”作为初中数学教学中的重要知识，教师可以引导学生构建适当辅助圆使得数学问题简单化，促使学生们能够快速解决复杂的问题.本文将从“求线段长度问题”、“求三角形度数问题”、“求三角形相似性问题”三个方面谈一谈“构造辅助圆”在初中数学解题中的有效应用，期望初中生们能够在数学解题过程中巧妙构建辅助圆进行解题.

【关键词】数学解题;构造辅助圆;圆

1 在求线段长度问题中构建辅助圆

在初中数学解题教学中，教师们还可以引导学生在求解线段长度的数学问题中运用构建辅助圆的方式对问题进行简化，其构造辅助圆的方法主要是利用共同端点的几条线段相等的条件，以端点为圆心、等线段的长作为半径.最后，再利用圆形的性质对线段长度的问题进行求解.

例1 如图1所示，已知四边形ABCD中AB∥CD，AB=AC=AD=5，且BC= 19，求线段BD的长度.

解析 根据题意可知A点为公共点，教师们可以引导学生在本例题中将A点作为圆心，又因为AB=AC=AD，所以可以将AB、AC、AD作为圆的半径，使得B、C、D都在圆A上.然后再延长BA交圆与AE，连接ED.

已知AB∥CD，所以∠BDC≡∠DBE，

根据同圆或等圆中相等的圆周角所对应的弧是相等的，

因此可以知道ED与BC的弧长是相等的，

从而得到ED=BC= 19.

又根据作图可得：EB为圆A的直径，所以可以知道∠EDB=90°，

又因为BE=2AB=10，

所以可以得到BD= BE2-DE2

= 102- 192=9.

所以，通过解析过程可以明确线段BD的长度为9.

2 在求三角形度数问题中构建辅助圆

除了求解线段长度的问题以外，在求解三角形度数的问题中也可以通过构建辅助圆的方式进行解题.

在这个问题的解答过程中，教师们需要引导学生将公共顶点作为顶点，然后作三角形的外接圆，在这个过程中需要使得等角与辅助圆中有关角之间建立联系，从而有效对问题进行解决.

例2 如图2所示，已知△ABC中AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D.已知BD+AD=BC，求∠A的度数.

解析 由题目已知BD为∠ABC的角平分线，因此可以得到∠ABD=∠DBC=12∠ABC.

作ABD的外接圆，其中圆与BC相交于点E，连接DE.

因为固定相等的圆周角所对应的弧相等这一特性可以得到与所对应的弧长AD=DE相等.

如图所示，可以知道辅助圆为四边形ABDE的外接圆，因此，可以明确∠ABC、∠EDC和∠C三个角度是相等的，从而得到2∠C=∠DEB.

又由题可知BD+AD=BC=BE+EC，

因为AD=DE=EC，

所以可以得到BE=BD.

所以∠DEB=∠BDE=2∠C.

在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°.

所以可以得到4∠C+12∠C=180°，

因此，可以得到∠C=40°，

即∠ABC=∠C=40°.

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，

因此，可以得到∠A=100°.

所以，该例题中需要求解的∠A度数为100°.

3 在求三角形相似性问题中构建辅助圆

三角形的相关知识在初中数学教学内容中的占比是比较大的，是学生学习的重点与难点.

对于一些较为复杂的三角形相似性的求证问题中，很难用常规的方法将其证明.

构造辅助圆的方法可以使得学生们借助圆的相关特性提供一些证明条件，促使学生们能够准确对三角形的相似性问题进行证明，这有利于提高學生解题的能力.

例3 如图3所示，已知在△ABC中AB=AC=BC，且AD=AB=BC，同时AH⊥CD，PC⊥BC.交AH与点P.

求证△ABC的面积为 34AP·BD.

解析 如图3所示，以△ABC中的点A为圆心、AB为半径作圆，点B、C、D都在圆A上，因此可以得到∠BDC=12∠BAC，

因为△ABC中AB=AC=BC，

所以∠BDC=12∠BAC=30°.

又因为∠ACP=∠BCP-∠ACB=30°，

所以∠PCA=∠CDB.

因为∠CBD=12∠CAD=∠PAC.

所以可以得到△BDC与△ACP为相似三角形，从而可以得到BC∶AP=BD∶AC.

又因为BC=AC，

因此可以得到BC2=AP·BD，

所以△ABC的面积为 34AP·BD.

综上所述，在初中数学解题教学中，教师们应当培养学生解题思路，“圆”作为数学知识中最为基本的平面图形，在数学解题过程中具有重要意义.

构建辅助圆的方式能够很好地简化复杂的问题，促使学生们能够准确抓住问题的核心，进而有效提高学生数学学习效率.