善用向量性质，提高解题能力

谢洁丹

【摘 要】  向量具有数与形的特点，在求解长度、角度等问题中有很重要的的应用，也是高考热门考点之一.本文介绍并证明了平面向量中的四个性质，它们具有简洁、和谐、对称的优美规律特征，在解决相关问题时常常能达到化繁为简的效果，能够帮助学生减少学习负担，培养学生的数学学习兴趣，提高学生的解题能力.

【关键词】  高中数学;平面向量;解题能力

平面向量是高中数学的重要知识，具有数形的特点，与三角函数、空间几何、解析几何等知识模块之间有紧密联系，解题时如果能够灵活运用其性质加以转化，往往能够达到四两拔千斤的效果.所以在教学过程中，教师如果能够引导学生将向量的性质做适当的拓展，势必能够提高学生体用向量解决问题的能力.

1 三点共线性质

证明平面内三点共线的方法有很多种，几何法、解析法以及下面要介绍的向量法：

三点共线性质   0为平面内任意一点，若A、B、C三点共线，则存在唯一的实数对α ，β，使得 OC  = α OA  + β OB  ，且α+β=1，反之亦然.

证明     充分性   若A、B、C三点共线，可知存在唯一的实数λ，使得 AC  =λ AB  ，即  OC  - OA  =λ（ OB  - OA  ）， 整理可得： OC  =（1-λ） OA  +λ OB  ，令α=（1-λ），β=λ，可得α+β=1.

必要性   若 OC  =α OA  +β OB  ，则 OC  =（1-β） OA  +β OB  ，即  OC  - OA  =β（ OB  - OA  ），即

AC  =β AB  ，所以A、B、C三點共线.

如：A、B、C三点共线，且满足 OA  = 2 3  OB  + x OC   ，我们便知道x= 1 3 .再如：

例1   如图1在扇形AOB中，∠AOB=30 ° ，C为弧AB上的一点，且满足 OC  =x OA  +y OB  ，求x+y的取值范围.

该题有诸多解法，但可利用三点共线性质进行求解：连接A、B交OC于点D，则A、B、D三点共线.记 OC  =λ OD  ，所以 OC  =λ OD  =x OA  +y OB  ，

x+y=λ，即 OD  = x λ  OA  + y λ  OB  ，

所以 x λ + y λ =1，

由 OC  =λ OD  即当D与A、B重合时，λ取得最小值1.

当D位于线段AB的中点时，λ取得最大值 6 - 2 .故λ∈[1， 6 - 2 ].

通过适当的构造，将该题转化为三点共线问题，加深对性质的进一步理解，在解题时起到事半功倍的目的，在该过程中，教师通过引导学生数形结合，紧扣性质开展探究，抓住问题的特点，三点共弧，进而转化为三点共线，最终达到解决问题的目的.在解题的过程中，引导学生进行逻辑推理，培养他们善于观察、发现、化归的能力，利用向量提高解题能力.

2 交叉性质

平面向量基本定理让平面内的所有向量都能够借助一组基底来表示，正确快速用基底表示向量，是学生必须掌握的技能，在三角形中，我们经常遇到比分点问题，仔细研究这类问题，我们发现了一个很有趣的性质，不妨取名为交叉性质：

交叉性质   如图2，在ΔABC中，D为BC边上一点，满足BD=λBC，则 AD  =（1-λ） AB  +λ AC  .

证明

因为BD=λBC，所以 BD  =λ BC  ，

所以 AD  = AB  +λ BC  = AB  +λ（ AC  - AB  ）

=（1-λ） AB  +λ AC  .

让我们来做更进一步的观察，在图2中，由BD=λBC，可知DC=（1-λ）BC，将点D分线段BC所得的线段BD、DC的比例系数分别标在对应线段的下方，再用如图所示的虚线箭头，将两个系数指向三角形的相对应的两边，我们会发现一个很有趣的现象：在式子 AD  =（1-λ） AB  +λ AC  中， AB  、 AC  与系数1-λ、λ交叉对应，顾名交叉性质. 显然，交叉性质延续了三点共线性质，讨论了关于三角形某边上的三点共线问题.可用于解决三角形中定比分点问题：

例2   如图3，在ΔABC中，点D分BC为2：1，点E分AC为4：1，AD交BE于F，求AF：DF的值.

该题可用几何方法，通过适当的辅助线加以求解，计算较为繁琐，用三点共线的向量法就很简单了，由于A、F、D三点共线，记 BF  =α BD  +β BA  ，则AF：DF=α：β，而 BE  = 4 5  BC  + 1 5  BA  （），記 BE  =λ BF  ，且由于 BC  = 3 2  BD  ，则（）式可改写为

BF  = 6 5λ  BD  + 1 5λ  BA  ，

所以AF：DF=α：β= 6 5λ ： 1 5λ =6：1.

相同的思路我们可以求解BF：FE的值，这里不再赘述.

3 极化恒等式

实际上，在计算向量的数量积问题中，常规的方法有定义法、坐标法以及分解法.在遇到相关问题时，我们要引导学生善于分析，对于数量积问题，往往要采取坐标法或者分解法，而在分解法中有一种特殊的分解，根据高等数学泛函分析中介绍了

极化恒等式   a → ·b → = 1 4   （a → +b → ）  2+ （a → -b → ）  2 .

高中阶段的极化恒等式是可在三角形中表达它的的几何意义：     若M为线段AB的中点，O为平面内任意点，则  OA  · OB  =OM 2-AM 2.

极化恒等式利用中点分解向量，避开了数量积运算时求夹角的问题，减少计算量，转化为几何长度的计算，接下来我们来看它在高考中是如何考查的.

例3   （2016年江苏卷）如图4，在ΔABC中，D为BC的一点，E、F是AD上的两个三等分点， BA  · CA  =4， BF  · CF  =-1，则 BE  · CE  的值是 .

这道题的特点突出：数量积，中点！从给的的图形来看也具有一定的美感，是极化恒等式的典型运用，转化 BF  · CF  = FB  · FC  =FD 2-BD 2=-1，   BA  · CA  = AB  · AC  =AD 2-BD 2=4，令FD=a，BD=b，则AD=3a，

所以  9a 2-b 2=4a 2-b 2=-1  ，解得a 2= 5 8 ，b 2= 13 8 ，

所以 BE  · CE  = EB  · EC  =ED 2-BD 2

= （2FD）  2-BD 2=4a 2-b 2= 7 8 .

4 结语

向量本身具有代数的抽象性和几何的直观性，在高中数学中不仅是一种知识，更是一种方法、思想.以上关于平面向量的性质，无一不体现了它们在解题方面的优势，我们在强调解题技巧的同时，重视方法的理解和掌握，重视培养学生对知识的兴趣，引导学生立足课本知识进行拓展学习，通过逻辑推理，发现规律，降低知识的学习难度，提高知识的运用能力.本文所介绍的四个性质，无一不展示了数学的美感——简洁、和谐、对称，同时借助例题，特别是高考题目的运用，引发学生对知识点的重视和学习欲望，大大提高了数学的欣赏价值和实用性，减轻学生的学习负担，提高他们的解题能力.

【受汕头市教育科学“十四五”规划项目（2021GHB034）资助】

参考文献：

[1].   中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海教育出版社有限公司，2017.7：210

[3] 素敏.高中数学运算能力的组成及培养策略[J].中国多媒体与网络教学学报，2022（03）