初中数学解题教学中几何变换法的有效应用

马雄政

【摘要】随着教育教学的不断变换，初中数学教学内容将以往的“几何”转换为“空间与图像”，这不仅增加了图形与变换的内容，还在一定的程度上使得学生的思维从静态向动态转变.因此，本文将从“旋转变换”、“平移变换”、“轴对称变换”、“相似变换”四个方面对几何变换法在数学解题中的有效应用进行讨论，期望能够指导学生掌握解题方法，达到快速且高效解题的目的.

【关键词】初中数学;几何变换法;解题方法

1 旋转变换的应用

旋转变换是初中数学解决几何问题的一种较为常用的方法.学生在解决一些较为复杂的几何问题时，教师们可以运用旋转变换将复杂的问题简单化，这不仅有利于学生对图形本质进行认识，还能够有效提高学生解决几何问题的能力.例1是在题中给出变换，需要学生对生成图形的性质进行探究.

例1 如图1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC，点D在AB上，连接CD，并将CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置，连接AE，请证明AE⊥AB.

分析 从题干可知其中含有等腰三角形以及正方形的几何问题，可以通过全等三角形进行论证，但是没有旋转变换的角度考察问题来得方便.

解 由∠ACB=90°，且AC=BC可以得到∠CAB=∠CBA=45°.

因为AC为BC旋转90°得到，

且CD顺时针旋转90°到CE，

所以△BCD绕点C顺时针旋转90°可以得到△ACE，

且∠CAE=∠CBA=45°，

所以∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，

所以AE⊥AB.

2 平移变换的应用

在几何变换中平移变换是最为基础的变换方法.平移变换是保持两点间距离不变的变换，这种变换下图形的大小和形状不变，实质是全等变换.因此，平移变换在几何解题中的应用能够有效帮助学生解决问题.

例2 如图2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC=3，AC= 3，BD= 6，请求出梯形ABCD的面积.

分析 平移变换经常会用于与平行线、中线等相关的问题中.本题需要学生们利用平移变换将题干中的已知条件进行适当集中，使得题干中隐含的条件得到充分展示，这样能够使得学生快速解题.

解 将BD沿着BC方向平移至CE位置，

得到平行四边形BCDE，

因为AD∥BC，

所以点E在AD的延长线上，

所以CE=BD= 6，

AE=AD+DE=AD+BC=3，

又因为AC= 3，且AC2+CE2=AE2，

所以AC⊥CE.

设点C到直线AD的距离为h，

所以h=AC·CEAE= 2.

所以S梯形ABCD=12（AD+BC）h

=12×3× 2

=3 22.

3 轴对称变换的应用

在初中数学几何解题中，轴对称变换就是将题设中已知或隐形的某直线为轴，将图形翻折所进行的全等变换.轴对称变换是利用全等形的性质来迁移题设条件及弥补题设之不足而达到解决问题的有效方法.

例3 如图3所示，在等腰三角形ABC中，D、E为斜边AC上的点，满足∠DBE=45°，求证：DE2=AD2+CE2.

分析 本例题的结论提醒AD、CE、DE首尾相连可以构成直角三角形，因此本题可以借助轴对称变换进行解题.同样的，旋转变换也能够使得问题得证.

证明 如图3所示，作AB关于AD的对称线段BF，连接DF、EF，

所以∠DFB=∠DAB=45°，DF=AD，BF=BA=BC.

因为∠EBF=45°-∠DBF=45°-∠DBA=∠EBC，

又因为BE=BE，

所以△BEF≌△BEC.

所以EF=EC，∠BFE=∠BCE=45°，

∠BFE+∠BFD=90°，

所以DE2=DF2+EF2，

所以DE2=AD2+CE2.

4 相似變换的应用

所谓相似变换就是指代把一个图形放大或者缩小若干倍后得到的图形跟原来的图形相似.在初中数学教学中，相似变换的用途十分广泛.

例4 如图4所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

分析 对于一些生活实际案例的解题中，教师们需要引导学生们充分利用相似变换的性质，使得学生们能够将提议整合为熟悉的几何图形，从而找到解题的思路.

解 因为太阳光是平行光线，

所以∠OAB=∠O′A′B′，

因为∠ABO=∠A′B′O′=90°，

所以△OAB∽△O′A′B′，

所以OBO′B′=ABA′B′

所以OB=AB×O′B′A′B′=274×12=137（米），

即金字塔高度OB为137米.

综上所述，在初中几何问题的解题教学中，教师们需要引导学生养成相应的解题思路.几何变换法是解决平面几何问题的重要方法.无论是旋转变换、平移变换、轴对称变换还是相似变换都有其自身的优点和局限性，数学教师们可以让学生对具体问题进行具体分析，根据问题中的特征选取合适的解题方法.

参考文献：

[1]张和平.几何变换思想在初中数学教学中的渗透与应用[J].启迪，2022（6）：2.

[2]倪春红.研究初中数学几何变换思想的教学策略[J].数理化解题研究：初中版，2017（9）：35-35.

[3]钮国新.初中数学几何变换思想的教学策略分析[J].新课程导学：中旬刊，2016（9）：61-61.