聚焦初中数学解题技巧之活用

陈娜

【摘要】本文拟通过举例解析，帮助同学们切实提高变形、化简能力，提高对所学数学知识、方法的灵活运用能力，从而进一步提升学生在数学运算方面的核心素养.

【关键词】解题思维;化简能力;数学运算

众所周知，初中数学侧重于培养学生的基础知识、基本技能以及基本方法，培养学生具有数学的思维意识和一定的解题能力.基于此，现将分析、解决初中数学中有关代数问题的常用解题技巧进行了归类整理，并通过举例剖析的形式加以详细阐述，旨在帮助同学们进一步提高对所学数学知识、方法的灵活运用能力，进而提升学生的数学核心素养.

技巧1 借力“十字相乘法”，巧解题

例1因式分解：2x2+xy-y2-4x+5y-6.

解析 因为由十字相乘法得-y2+5y-6=（y-2）（3-y），

所以2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+（y-4）x-y2+5y-6

=2x2+（y-4）x+（y-2）（3-y）.

接下来，再利用十字相乘法可得

2x2+（y-4）x+（y-2）（3-y）=（2x-y+2）（x+y-3）.

故因式分解可得2x2+xy-y2-4x+5y-6=（2x-y+2）（x+y-3）.

评注 本题求解关键是充分利用“十字相乘法”进行因式分解，共计使用了两次，第一次是对关于“y”的二次三项式-y2+5y-6使用（情景简单）;第二次是对关于“x”的二次三项式2x2+（y-4）x+（y-2）（3-y）使用（情景复杂，需要将y看作是常数）.类似思考，本题亦可这样因式分解：

2x2+xy-y2-4x+5y-6

=-y2+（5+x）y+2x2-4x-6

=-y2+（5+x）y+（2x+2）（x-3）

=（2x-y+2）（x+y-3）.

技巧2 借力“配方”变形，巧解题

例2设a，b，c为三角形的三条边，已知a4+b4+c4=a2b2+b2c2+a2c2，判断三角形的形状.

解析 将题设已知等式，移项可得a4+b4+c4-a2b2-b2c2-a2c2=0.

对上述等式两边同时乘以2，可得2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2a2c2=0，再变形得（a4-2a2b2+b4）+（a4-2a2c2+c4）+（b4-2b2c2+c4）=0，从而根据完全平方公式即得（a2-b2）2+（a2-c2）2+（b2-c2）2=0，所以有a2-b2=0，a2-c2=0，b2-c2=0，即a=b=c.故该三角形是等边三角形.

评注 本题技巧性较大，需要先对等式两边乘2，再实施“配方”变形，有利于根据非负数之和为零的特征加以巧解.一般地，若a2+b2+c2=ab+bc+ac，则进行同样的分析（移项、乘2、配方）可得a=b=c.

技巧3 构造二次方程，巧求值

例3 已知α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，则（α+1）（β+1）-1的值为（）.

（A）-2.（B）2.（C）-1.（D）0.

解析 因为α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，所以可知α，β是关于x的一元二次方程x2+x-1=0的两个不相等的实数根.

于是，利用根与系数的关系可得α+β=-1，αβ=-1.

从而，可知（α+1）（β+1）-1=αβ+（α+β）=-1+（-1）=-2.故选（A）.

评注 本题构造二次方程源于等式α2+α-1=0与β2+β-1=0的外在结构相同，均可写成x2+x-1=0的形式.特别提醒：构造二次方程之后，需要活用根与系数的关系求解.

技巧4 借助“同乘”变形，巧求值

例4 设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，求代数式a（x31+x32）+b（x21+x22）+c（x1+x2）的值.

解析 因为x1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根，所以可得ax21+bx1+c=0，两边同乘以x1可得ax31+bx21+cx1=0.①=1＼*GB3

同理，可得ax32+bx22+cx2=0.②=2＼*GB3

于是，由①=1＼*GB3+②=2＼*GB3可得（ax31+bx21+cx1）+（ax32+bx22+cx2）=0，归类整理得

（ax31+ax32）+（bx21+bx22）+（cx1+cx2）=0，即a（x31+x32）+b（x21+x22）+c（x1+x2）=0.

评注 本题求解过程不唯一，还可以通过提取公因式加以灵活求解：

因为由题设得ax21+bx1+c=0，

ax22+bx2+c=0，

所以a（x31+x32）+b（x21+x22）+c（x1+x2）

=（ax31+bx21+cx1）+（ax32+bx22+cx2）

=x1（ax21+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）

=x1×0+x2×0=0.

技巧5 借助“同除”变形，巧求值

例5 已知非零实数x，y满足x2-xy-6y2=0，求M=x2+xy-2y2x2+y2的值.

解析 对已知等式x2-xy-6y2=0，两边同除以y2可得x2y2-xyy2-6y2y2=0，即

（xy）2-xy-6=0，解得xy=-2或xy=3.

对M=x2+xy-2y2x2+y2分子、分母同除以y2得

M=x2y2+xyy2-2y2y2x2y2+y2y2=（xy）2+xy-2（xy）2+1.

于是，当xy=-2时，M=（-2）2+（-2）-2（-2）2+1=0;当xy=3时，M=32+3-232+1=1.故所求M=x2+xy-2y2x2+y2的值为0或1.

评注 上述解法的关键是充分利用“同除”变形技巧，第一次对等式使用，第二次对分式使用，显然这里涉及“同除”变形运用的两个常见情景！此外，本题还可以这样简捷求解：因为x2-xy-6y2=0，所以（x+2y）（x-3y）=0，所以x=-2y或x=3y.当x=-2y时，可求得M=0;当x=3y时，可求得M=1.故所求M的值为0或1.

技巧6 将含有变量的分式，写成“之差”的形式

例6 已知正整数n≥2，求证：12×3+13×4+…+1n（n+1）<12.

证明 因为1n-1n+1=n+1-nn（n+1）=1n（n+1），所以1n（n+1）=1n-1n+1.

从而，可知：12×3=12-13，13×4=13-14，…，1n（n+1）=1n-1n+1.

于是，12×3+13×4+…+1n（n+1）=（12-13）+（13-14）+…+（1n-1n+1）=12-1n+1.

因为正整数n≥2，所以1n+1>0，从而可得12-1n+1<12，即就是12×3+13×4+…+1n（n+1）<12，故得证.

评注 求解本题需关注以下三点：一是将1n（n+1）写成之差的形式1n-1n+1，并加以充分利用;二是相加化简时，中间部分正负抵消，剩余两头;三是活用放缩技巧，可顺利获证.常用结论还有：

1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），

1n+1+n=n+1-n等.

總之，处理代数问题的常用技巧较多，需要我们结合具体的解题实践去感悟、领会，并能在今后的解题中加以灵活运用、举一反三、触类旁通.唯此，同学们的变形能力、运用能力以及运算求解能力，才会得到切实提高，有利于强化解题基本功.