含字母参数的分式方程有增根与无解问题

覃念

【摘要】 在人教版分式方程的学习中，含字母参数的分式方程有增根及无解问题是困扰很多同学的一大难点，只有经过多次训练并深入理解之后才能分清楚两者之间的本质区别.

【关键词】 字母参数;分式方程;增根;无解

在人教版八年级数学分式章节教学中，发现很多学生分不清楚含字母参数的分式方程有增根与无解的情形，认为两者一样，而实则不然.分式方程有增根的前提是这个分式方程化为整式方程有根，只不过此根使得原分式方程的最简公分母为零了，故为增根;含字母参数的分式方程无解其实包含了分式方程有增根的情形.以下具体例题说明：

例1 若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1有增根，则a值为多少？

解 原方程有增根所以这个增根必定使最简公分母x（x-1）=0，

所以x=1或0，

把原方程两边同乘以x（x-1），得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

当x=1时，得 1-a=0，

所以a=1，

当x=0时，得

0（0-a）-3（0-1）=0（0-1），

即3=0，所以a不存在，

即方程增根为x=1，

当a=1时，产生增根x=1.

例2 若关于x的分式方程x-ax-1-3x=1无解，则a值为多少？

解 首先考虑原方程有增根，这个增根必定使最简公分母x（x-1）=0，

所以x=1或0，

把原方程两边同乘以x（x-1），得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

当x=1时，得1-a=0，

所以a=1，

当x=0时，得

0（0-a）-3（0-1）=0（0-1），

即3=0，所以a不存在，

即方程的增根为x=1，

当a=1时，原方程只有增根x=1，此时原方程无解，

又因为原方程去分母后得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

即（a+2）x=3，

所以当a+2=0，即a=-2时，无论x取何值

（a+2）x≠3，

故此时原分式方程也无解.

综上可知，当a=1或a=-2时，原分式方程无解.

当题目中说明原分式方程有增根时，只需去掉分母，将增根带入去掉分母后得到的式中即可解出字母a的值.但如果题目说明原分式方程无解，那么不仅要考虑有增根的情况，并且要验证原方程除增根外是否有其他解.还要考虑去分母后将含未知数x的项合并后看系数是否可为零，即去分母后含未知数x的项含有字母系数，如果可以化成（a+m）x=n（其中a为原分式方程中字母参数，m，n为任意实数且n≠0），则要考虑当系数a+m=0时，（a+m）x=0，即无论x为何值（a+m）x≠n，所以无解.

而有些时候，虽然题中说明是无解但也只需考虑增根即可，因为去分母后含未知数x的项的系数不含字母参数.

例3 当a为何值时关于x的方程x-1x-4=ax-4无解.

解 因为原方程去分母后得x-1=a，此方程有解x=1+a，所以只需考虑原方程有增根，这个增根必定使最简公分母x-4=0，所以x=4，

把原方程两边同乘以x-4，得x-1=a，

当x=4时，得4-1=a，

所以a=3，

此时，方程只有增根x=4，

所以当a=3时原分式方程无解.

但如果题中只说明有增根，虽然去分母后含未知数x的项的系数含有字母参数，也只需将增根带入去分母后所得式中即可.

例4 当k为何值时关于x的分式方程2+1-kxx-2=12-x有增根.

解 因为原方程有增根，所以这个增根必定使最简公分母x-2=0，所以x=2，

把原方程两边同乘以x-2，得

2（x-2）+1-kx=-1，

当x=2时，得1-2k=-1，

所以k=1，

所以当k=1时，原分式方程有增根x=2.

（但若将此例中有增根改为无解，则结果为k=1或k=2）

所以在解含字母参数的分式方程问题时，一定要看清楚到底是有增根还是无解，具体问题具体分析.而往往在解决具体分式方程问题时，都是运用转化思想作为基本思想，即把分式方程轉化为整式方程求解.其实对于增根产生的原因也可从转化角度来理解：增根是在解分式方程的第一步去分母时产生的，根据方程的同解原理，方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得方程是原方程的同解方程;但如果方程两边同时乘以零，那么所得方程与原方程就不是同解方程，此时所解得的根就是原方程的增根.所以对于分式方程有增根确实属于无解，但分式方程无解并非只考虑有增根这种情况，因为将分式方程转化为整式方程后，整式方程如果无解，那么原分式方程也是无解的.而往往含字母参数分式方程转化后是一元一次方程，而一元一次方程无解就是不存在具体未知数的值使该方程成立.所以含字母参数的分式方程有增根与无解是有着本质区别的，在解题时务必认真审题分析透彻.

练习

1.若关于x的分式方程2m-1x-1-7xx-1=5有增根，求m的值.

2.若关于x的分式方程kxx2-4=3x+2-2x-2有增根，求k的值.

3.已知关于x的方程1x-1+ax-2=2a+2x2-3x+2无解，求a的值.

答案

1.4.

2.-112或132.

3.-2或-32或-1.