一道竞赛试题不同角度的几种解法

童常健

竞赛试题，往往会因为角度不同，从而产生不同的解法.对竞赛试题的研究，有助于帮助我们从不同角度看问题，从而提高思维能力.现以一道竞赛试题为例，从各个不同角度看一下解法，以飨各位读者.

例 已知，如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，∠BDC=30°.求证：AD=BC.

解法1 如图2，以BC为边向上作等边△BCE，连接AE.

由AB=AC，EB=EC，AE=AE，

可得△ABE≌ACE（SSS），

则∠AEC=360°-60°2=150°，

即∠AEC=∠CDA.图2

由∠BDC=30°，

∠BAC=20°，

则∠ACD=10°，

因为∠EAC=∠BAC2=10°，

所以∠EAC=∠DCA，

又因为AC=AC，

所以△ADC≌△CEA（AAS），

则AD=CE=CB.

解法2 在AC上找点E，连接DE，使得DE=AD;在DB上找点F，连接EF，使得EF=DE，连接FC.

由∠A=20°，DE=AD得

∠AED=∠A=20°，

由EF=DE得

∠EDF=∠EFD=40°，

则∠DEF=100°，∠FEC=60°.

由∠EDF=40°，∠BDC=30°，得

∠CDE=∠FDE-∠BDC=10°，

由∠BDC=30°，∠A=20°，得

∠DCE=∠BDC-∠A=10°，

则DE=CE，

所以△EFC为等边三角形，

∠ECF=60°.

由AB=AC，得

∠B=∠BCA=180°-20°2=80°，

则∠BCF=20°，

∠BFC=80°，

即△BCF为等腰三角形，

所以BC=FC，AD=BC.

解法3 如图4，以AC为边向左侧作等边△ACE，连接BE.

由∠BAC=20°，AB=AC，得

∠ABC=∠ACB=80°，

由△ACE为等边三角形，得

∠ACE=60°，

所以∠ECB=∠ACB-∠ACE

=80°-60°

=20°，

即∠BCE=∠DAC.

由AB=AC=AE，

∠EAB=∠EAC-∠BAC=60°-20°=40°，

则∠ABE=180°-40°2=70°，

∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°+80°=150°.

因为∠BDC=30°，

所以∠ADC=150°，

即∠EBC=∠CDA.

又因为CE=AC，

所以△EBC≌△CDA（AAS），

则AD=BC.

解法4 如图5，以AB为边在AB右侧作等边三角形ABE，同解法1可以证明

△EBC≌△CAD（AAS），

则AD=BC.

解法5 如图6，在AC上找点E，连接DE，使得DE=AD，以DE为边向左侧作等边△DEF，连接BF.

由∠A=20°，DE=AD得

∠AED=∠A=20°，

又因为∠BDC=30°，

得∠DCA=10°，∠EDC=10°，

即AD=DE=EC.

又因为AB=AC，

所以AE=BD.

由∠FDB=∠FDE-∠BDE=60°-40°=20°，

得∠FDB=∠A，

又因为AD=DF，

所以△FDB≌DAE（SAS），

则BF=DE=EC，

∠FBD=20°.

因为AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB=180°-20°2=80°，

则∠FBC=20°+80°=100°，

∠FBC+∠BCA=180°，

从而可以得到FB∥EC，

所以四边形FBCE为平行四边形，

则FE=BC，AD=EF=BC.

解法6 如图7，在AC上找点E，连接DE，使得DE=AD，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接CF.

由解法5可知，

AD=DE=EC，

则AD=EF.

由∠A=20°，得

∠ADE=180°-20°-20°=140°，

因为∠AEF=∠DEF-∠DEA

=60°-20°

=40°，

得∠CEF=140°，

即∠CEF=∠ADE.

所以△CEF≌△EDA（SAS），

則CE=AD，

又因为AB=AC，

所以BD=AE，

则BD=CF.

由∠B=∠BCA=80°，∠ACF=20°，

得∠B+∠BCF=180°，

则BD∥CF，

所以四边形BCFD为平行四边形，

则FD=BC，AD=DF=BC.