灵活设参数，解决圆问题

朱伯顺

【摘要】 在初中圆的一些问题中，常常会遇到一些求两条线段比值的问题，我们可以设两个字母参数表示这两条线段的长度，不妨让其中一个表示已知数，另一个表示未知数.然后从题中条件找到一个等式，列出方程，通过解方程得到这两个参数之间的数量关系，从而问题得以解决.下面以几个例题加以说明.

【关键词】 双参数;方程

例1 如图1，PA，PB是圆O的切线，AC是直径，AB是弦，连接PC，PC交AB于点E.若∠APC=3∠BPC，求PE：CE的值.

分析 这是一个双切图模型，常见的辅助线是连接OP，CB.设OP与AB交于点F.

由切线长定理可证OP垂直平分AB，由AC为直径，可证CB⊥AB，于是可得OP∥CB.这是双切图中的基本结论.

由条件∠APC=3∠BPC易证PB=BC，从而可得PA=PB=BC.再设PF=x，PA=2a.通过相似列出有关a与x的方程，解得a与x之间的关系，也就得到PF与PA（或PB）的关系，从而得到PE与CE的比值关系.

解 连接OP，CB，设OP与AB交于点F. 因为PA，PB是圆O的切线，

所以PA=PB，OP平分∠APB，

所以PF⊥AB，AF=BF，

所以∠AFO=90°.

因为AC是⊙O的直径，

所以∠ABC=90°.

所以∠AFO=∠ABC，

所以OP∥CB，

所以∠OPC=∠PCB.

设∠BPC=α，∠APC=3α，

所以∠APB=4α，∠OPB=2α.

所以∠OPC=∠OPB-∠BPC=2α-α=α，

因为OP∥CB，

所以∠OPC=∠PCB=α.

所以∠CPB=∠PCB，

所以CB=PB.

因为AF=BF，OA=OC，

所以BC=2OF，

设PA=PB=BC=2a，OF=a，

设PF=x，因为

PA⊥AC，PF⊥AB，

所以∠PAO=∠PFA=90°，

因为∠APF=∠APO，

所以△PAF∽△POA，

所以PAPO=PFPA，

所以PA2=PO·PF，

所以（2a）2=（x+a）x，

解出x1=-1+172a，

x2=-1-172a（舍去），

所以PF=-1+172a.

因为OP∥CB，

所以△PFE∽△CBE，

所以PECE=PFCB=-1+174.

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E.

（1）求证：AD平分∠BAE;

（2）若CD=DE，求sin∠BAC的值.

解 （1）連接OD，因为ED是切线，

可得ED⊥OD，

因为AE⊥ED，

所以AE∥OD，

所以∠EAD=∠ADO，

因为AO=DO，

所以∠DAO=∠ADO，

所以∠EAD=∠DAO.

即AD平分∠BAE.

（2）连接BD，因为AB为直径，

所以∠ADB=90°，

因为∠ABC=90°，

可得∠DAB=∠CBD，

因为∠DAB=∠EAD，

所以∠EAD=∠DBC，

因为∠BDC=∠E=90°，

CD=ED，

所以△AED≌△BDC，

所以AD=BC.

可设AD=BC=a，CD=x，

易证△CDB∽△CBA，

可得BC2=CD·CA，

所以a2=（x+a）x，

解出a1=-1+52a，

x2=-1-52a（舍去）.

所以CD=-1+52CB.

所以sin∠BAC=sin∠CBD

=CDCB=-1+52.

例3 如图3，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.

（1）求证：CE是⊙O的切线;

（2）若DCDF=6，求cos∠ABD的值.

解 （1）连接BC，OC，OD.

设OC交BD于点H.

因为C是BD的中点，

所以CB=CD，

所以CB=CD.

又因为OB=OD，

所以OC垂直平分BD，

所以∠OHB=90°，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠ADB=90°，

所以∠OHB=∠ADB，

所以OC∥AE，

所以∠ECH+∠E=180°，

因为CE⊥AD，

所以∠E=90°，

所以∠ECH=90°，

所以CE⊥OC，

因为OC是半径，

所以CE是⊙O的切线.

（2）由DCDF=6，可设DF=a， DC=6a，

设FH=x，DH=DF+FH=a+x，

由（1）知OC垂直平分BD，

所以BH=DH=a+x，

BC=DC=6a，

FB=FH+BH=a+2x，

因为AB是直径，

所以∠ACB=90°，

所以∠ACB=∠FHC.

又因为∠CFH=∠CFB，

所以△FHC≌△FCB，

所以CF2=FH·FB，

所以CF2=x（a+2x），

因为CF2-FH2=CH2，

CB2-BH2=CH2，

所以CF2-FH2=CB2-BH2，

所以x（a+2x）-x2=（6a）2-（a+x）2，

解得x1=a，x2=-52a（舍），

所以BH=a+x=2a，

CH=2a，

设OB=OC=R，OH=R-2a，

因为OB2=BH2+OH2，

所以R2=（2a）2+（R-2a）2，

解得R=322a，

所以cos∠ABD=BHOB=223.

例4 如图4，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F，

（1）求证：CF=BF;

（2）若tan∠CDM=2，求sin∠ABD的值.

解 （1）连接OC，OD.

设OC交BD于点H.

因为C是BD的中点，

所以CB=CD，

所以CB=CD.

因为OB=OD，

所以OC垂直平分BD，

所以∠CHB=90°，

所以∠HCB+∠HBC=90°.

因为CE⊥AB于E，

所以∠CEB=90°，

所以∠ECB+∠EBC=90°.

因为OB=OC，

所以∠EBC=∠HCB，

所以∠ECB=∠HBC，

所以BF=CF.

（2）因为∠CDM+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

所以∠CDM=∠ABC.

因为tan∠CDM=2，

所以tan∠ABC=2，

所以CEBE=2，

可设BE=a，CE=2a，CF=BF=x，

所以EF=CE-CF=2a-x，

因为BF2=EF2+BE2，

所以x2=（2a-x）2+a2，

解得x=54a，

所以BF=54a，

EF=2a-x=34a ，

所以sin∠ABD=EFBF=35.

例5 如圖5，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，点E在AD的延长线上.

（1）求证：∠BDC=∠A;

（2）若CE2=DE·AE，CD=2BC，求BDCE的值.

解 （1）连接OD，因为CD是切线，

所以CD⊥OD，

所以∠ODC=90°，

所以∠ODB+∠BDC=90°.

因为AB是⊙O的直径，

所以∠ADB=90°，

所以∠A+∠OBD=90°.

因为OB=OD，

所以∠ODB=∠OBD，

所以∠A=∠BDC.

（2）因为CE2=DE·AE，

所以CEAE=DECE，

因为∠E=∠E，

所以△EDC∽△ECA，

所以∠DCE=∠A，

由（1）知∠A=∠BDC，

所以∠DCE=∠BDC，

所以BD∥CE，

所以△ADB∽△AEC，

所以BDCE=ABAC.

设BC=a，因为CD=2BC，

所以CD=2a，

设OB=OD=x，由（1）知

∠ODC=90°，

所以OC2=OD2+CD2，

所以（x+a）2=x2+（2a）2，

x=32a，

所以AB=2x=3a，

AC=AB+BC=3a+a=4a，

所以BDCE=ABAC=34.

总结 在上面的几个题目中，都是设了两个参数分别表示两条线段的长度，其中参数a看作已知数，参数x看作未知数.利用相似或勾股定理列出方程，解出两个参数的数量关系（一般用看作已知数的字母来表示看作未知数的字母），从而解决问题.

下面留一道习题，读者们有兴趣可以做一下，体会上面题目所用到的方法.

练习

如图6，AB与圆O相切于点C，OA交圆O于点D，连接CD，∠ODC+∠B=90°.

（1）求证：DC∥OB;

（2） 若OA∶OB=2∶3，求sin∠B的值.