初中数学二次函数常见最值问题分类探究

崔莉

【摘要】二次函数作为初中数学教学中的重要内容，是各地中考试卷中的必考内容，受到了教师与学生们的共同重视.在考试中对二次函数知识的考察较为灵活，尤其是在对二次函数最值的考察，形式更加多变，计算也更加复杂，成为学生失分的重灾区.本文，系统性地总结归纳二次函数最值考察的相关题型与解题方法，对于学生而言，具有十分重要的意义[1].

【关键词】二次函数;最值问题;解题方法

1 定轴定区间类

定轴、定区间作为二次函数最值问题考察中最为简单的类型，也是考题中最为常见的类型，学生在解答这类问题时，仅仅需要根据题目信息求得相应的函数解析式，而后根据解析式画出相应的图形，既可以得到最终的答案.在一些较为复杂的题目中不会直接给出相应的解析式，此时就需要学生根据题意进行计算[2].

例1 已知二次函数 y=x2+bx+c经过点A（7，0）以及坐标原点，现有一条直线AB，经过y轴（0，-7），且线上有一动点C（x，y），1

（A）有最大值9.（B）有最小值9.

（C）有最大值8.（D）有最小值8.

解 对于本题而言，虽然没有直接给出函数解析式，但是通过题目中给出的信息及图象经过的2个点，可以得到函数解析式中的b、c值，而后便可以根据解析式画出相应的图形，并将直线AB按照题意在图形上画出，寻找CD的长度与自变量之间的关系，根据关系式便可得到最值的大小.

因为函数y=x2+bx+c图象经过原点和A点，代入可得c=0，b= -7，即二次函数的表达式为y=x2-7x.

因直线AB经过点（0，-7）A（7，0），可以设直线AB的方程为y=kx+b，代入后得到k=1，b-7，即直线AB的表达式为y=x-7.

因此，C（x，x-7），D（x，x2-7x）.

因为1

同时，此函数的对称轴为直線x=4，根据题意，动点C的x值范围为1

2 定区间动轴类

定区间动轴类是考试中比较常见的问题，在面对这样的题目时，就需要根据实际的问题进行分类讨论[3].在这类题型中因为二次函数对称轴存在不确定性，导致轴的位置可以在给定区间的左侧、中间及右侧三种情况，而当对称轴在区间范围内时，其顶点往往是所求的最值.

例2函数y=-（x-m）2+m2+1在-2≤x≤1这一范围内存在最大值4，则m的值为（）

（A）-74. （B）±3.

（C）2或-3.（D）2或3.

解 根据题目中x的范围，可以得到二次函数y=-（x-m）2+m2+1图象开口向下，在对称轴处有最大值.下一步则需要对不同情况进行分析，首先，根据函数解析式可以得到其对称轴为直线x= m，顶点为（m，m2+1）.

当m<-2时，此时函数对称轴在给定范围的左侧，当x=-2时为最大值.

而后将y=4、x= -2带入函数，解得m=-74，而-74>-2，与题意不相符合，所以舍去.

当-2≤m≤1时，刚好将函数对称轴包含在其中，因此，在x = m处存在最大值4，将y与x代入可以得到m=±3，因3>1，舍去，所以m的值为-3.

当m>1时，函数的对称轴则出现在区间的右侧，此时则在x=1处存在最大值4，代入可以得到m=2，符合题意，所以本题正确答案为C.

3 定轴动区间类

定轴动区间的最值问题与定区间动轴问题具有十分类似，面对这一类型的问题，依旧要分为三种情况，分别进行讨论.同时存在一些较为特殊的情况，需要确定自变量的取值范围，而后挖掘其中的规律，减少分类讨论的情况.

例3 二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n，且mn<0时，有最小值为2m，有最大值为2n，则m+n为（）

（A）52.（B）2.

（C）32. （D）12.

解 遇到这一题目时，应当充分挖掘题目中所给出的隐藏条件.通过题目中给出的m≤x≤n，且mn<0可得n>0，m<0，因此解题时只需判断n与对称轴1之间的大小关系，如此便可降低解题难度.

当m≤x≤n<1时，由函数的基本性质可以得到当x=m时，为最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得m=2或m=-2，其中m=2不符合题意，舍去.当x=n时得最大值，2n=-（n-1）2+5，解得n=2或n=-2，二者均布符合上述分析，所以均舍去.

m≤x≤n<1，x=m时取最小值，即2m=-（m-1）2+5，可得解得m=2或m=-2，其中m=2不符合题意，舍去.当x=1时，y值最大，为2n=-（1-1）2+5，n=52.

综上可得，m=-2，n=52，所以m+n=-2+52=12，所以答案为D.

4 实际生活类

例4某商店中，一种篮球的进价为每个50元，出售时的单价则为60元，在这种情况下商店每个月可以卖出200个篮球，老板为了增加收入，于是调整了出售时的单价，而随着售价的增加，销售量却逐步减少，而且每增加1元，其销售量就会减少10个.根据市场情况，其最高价格不能超过72元，假设篮球价格上涨x元时商店的利润为y元，那么：

（1）求商店每月利润y与价格上涨x之间的关系;

（2）在篮球定价为多少元时，商店可以获得最大的利润.

解 （1）根据题意可以知道，y表示的为每个月出售篮球所获得的利润，x为篮球价格的涨幅，根据利润=单价×数量可以得到关系式y=（60-50+x）（200-10x），进一步整理可以得到y=-10x2+100x+2000.

根据题意，篮球的售价不能超过72元，此时x的取值范围则应小于或等于72-60=12，0

（2）根据第一问可以得知y与x之间的关系为y=-10x2+100x+2000，将其进一步化简可以得到y=-10（x-5）2+2250，

根据二次函数的基本定理可以得到当x=5时，y存在最大值，为2250，同时x=5符合题目中给定的范围，故当篮球的售价为65时，商店会获得最大利润，为2250元.

本题是常见的利润最大化的题型，这类题目并不困难，需要学生准确地把握题目中给定的信息，并且找到正确的函数关系式，便可快速解答.

5 结语

二次函数最值问题作为初中数学考试中的重点题型，其考察方式也较为灵活.因此，在日常的教学中，教师应当积极鼓励学生进行总结归纳，掌握各种题型的解题方法，以期在后续的考试中能够快速的解决问题.

参考文献：

[1]刘立海.初中数学二次函数的最值问题求解分析[J].数理化解题研究，2016（20）：28.

[2]洪莎莎.基于初中数学二次函数中最值问题的思考[J].考试周刊，2020（98）：69-70.

[3]潘永俊.基于核心素养的初中数学二次函数最值教学[J].新课程，2020（36）：63.