锐角三角函数相关基础计算解析

李银翠

【摘要】锐角三角函数的运算是在初中阶段首次接触的一个知识点，初中阶段锐角三角函数是需要学生掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形[1].在初中阶段学好锐角三角函数对于以后的学习是非常重要的[2].本文主要探究了锐角三角函数相关计算以及其在实际生活中的应用[3]，分为三部分来介绍.

【关键词】锐角三角形;三角函数;基础计算

1 探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）

首先需要熟悉掌握锐角三角函数的定义，然后才能轻松地进行相关的计算.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab.

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2，BC=1，则

sinA= ，cosA= .

解 在Rt△ABC中，已知AB=2，BC=1，所以sinA=BCAB=12.cosA=ACAB，

已知AB=2，需要求AC的值.AC= 22-12= 3，因此cosA=ACAB= 32.

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=4， sinA=45，则AC=（）.

（A）3. （B）4. （C）5. （D）6.

解 在Rt△ABC中，sinA=BCAB=45，已知BC=4，可以求得AB=5，

利用勾股定理AC2+BC2=AB2可以得出AC= AB2-BC2= 52-42= 9=3.故选A.

注：此类计算题经常结合直角三角形的勾股定理来进行运算.

2 用锐角三角函数解直角三角形

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有下列关系：

（1）三边的关系：a2+b2=c2;

（2）角的关系：∠A+∠B=90°;

（3）边与角的关系：sinA=cosB=ac，sinB=cosA=bc，tanA=ab.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列关系正确的是（）.

（A）c=a·sinA.（B）c=a·cosA.

（C）c=asinA . （D）c=acosA.

解 A选项c=a·sinA将等号两边同时除以a，可以得到ca=sinA，但是在Rt△ABC中，sinA=ac，所以A选项不正确.

B选项c=a·cosA将等号两边同时除以a，可以得到ca=cosA，但是在Rt△ABC中，cosA=bc，所以B选项不正确.

C选项c=asinA将等号两边先同时乘以sinA，再将等号两边同时除以c，可以得到sinA=ac，所以C选项正确.

D选项c=acosA将等号两边先同时乘以cosA，再将等号两边同时除以c，可以得到cosA=ac，但是在Rt△ABC中，cosA=bc，所以D选项不正确.故选C.

例4 在△ABC中，a，b，c，分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）.

（A）c·sinA=a. （B）b·cosB=c.

（C）a·tanA=b.（D）c·tanB=b.

解 已知a2+b2=c2，满足勾股定理，所以该△ABC是直角三角形，并且∠C=90°.A选项c·sinA=a将等号两边同时除以c，可以得到sinA=ac，A选项正确.

B选项b·cosB=c将等号两边同时除以b，可以得到cosB=cb，但是在Rt△ABC中，cosB=ac，所以B选项不正确.

C选项a·tanA=b将等号两边同时除以a，可以得到tanA=ba，但是在Rt△ABC中，tanA=ab，所以C选项不正确.

D选项c·tanB=b将等号两边同时除以c，可以得到tanB=bc，但是在Rt△ABC中，tanB=ba，所以D选项不正确.故选A.

注：此类题目就是考查对于锐角三角函数定义的熟悉程度，难度不大，但是需要认真计算.

3 用相关知识解决一些实际问题

例5 如图1所示，小明同学观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小明的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小明求出该屏幕上端与下端之间的距离CD.（结果保留根号）

解 因为∠CBE=45°，CE⊥AE，

所以CE=BE=21，

AE=BE+AB=21+6=27，

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，

所以DE=AE×tan30°=27× 33=9 3，

所以CD=CE-DE=21-9 3.

即该屏幕上端与下端之间的距离为（21-9 3）米.

例6 如图2所示，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡度为α，则tanα的值为 .

解 设h对应的边为AC，即AC=6，已知AB=10，利用直角三角形的勾股定理可得BC= AB2-AC2= 102-62= 64=8，所以可以求得tanα=ACBC=68=34.

注 此类题目其实不难，要能够从图形中找到直角三角形，从而运用锐角三角函数来计算.

参考文献：

[1]孙牟昕.初中锐角三角函数教学研究[D].沈阳师范大学，2017.

[2]姜孝梅.初中数学“锐角三角函数”探析[J].新課程（中），2016（09）：16.

[3]周晓凤.锐角三角函数的类型及应用[J].数学大世界（中旬），2019（05）：6+9.