基于“两个过程”合理性理念的解析几何教学设计

摘  要：在解决解析几何问题的过程中，计算的勇气和方法对学生来说都至关重要. 通过课例“点到直线的距离”，在“两个过程”合理性理念的指导下，培养学生学会建立解析几何的数形结合和问题解决的常规思维模式，致力于学生数学思维的培养.

关键词：两个过程;合理性;点到直线的距离;数形对应;数学思维

一、问题缘起

人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）把“点到直线的距离”设置在第二章“直线和圆的方程”第三节的第三课时，这样的编排与上一版教材有很大的不同. 教材不仅给出了点到直线的距离公式两种完整的证明方法（坐标法和向量法），还以思考的方式提出“设而不求”的证明方法让学生尝试探索，最后追问是否还有其他证明方法. 教材试图通过探寻多种解法的过程促进学生优化认知结构，发展思维品质，以达到提升学生数学核心素养的目的.

点到直线的距离公式推导是学生在学习解析几何之后遇到的第一个比较烦琐的公式推导. 在教学中，引导学生从策略和心理上克服这个困难，让学生在推导过程中体会如何合理建立解析几何的数形对应，对学生未来的解析几何学习有重大意义. 从这个角度来讲，点到直线的距离公式推导过程的价值远大于点到直线的距离公式本身.

二、教学方法的选择

如果直接让学生推导点到直线的距离公式，由于推导过程中都是形式化的运算，学生会感到难度很大. 因此，本教学设计采用从特殊到一般的研究途径，以具体问题为切入口，引导学生感知和归纳公式推导的策略，即将感性素材转化为理性思考，从而突出教学重点、突破教学难点.

在实际课堂教学中，教师如何做到既让数学知识的发生和发展过程合理，又让学生的认知过程和思维过程合理，是本节课设计的关键.

为了突破这个教学难点，笔者以一组引例触发学生积极思考. 学生通过感性操作建构了理性的逻辑推理过程. 教师将数学思维的发生和发展过程充分暴露在学生面前，吸引学生积极参与知识的再创造和发展的过程.

三、教学过程设计

四、教学反思

對于大多数教师而言，这样的教学设计可能“偏离”重点（把过多的时间放在研究推导公式的策略上，课堂效率看起来比较低），大家更喜欢给出思路，告知结果后，引导学生用公式求点到直线的距离以及其他相关问题，从而训练学生的解题能力.

但是从学生的长远发展来看，深入挖掘公式推导过程中的思维方法，有助于培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，是对学生将来学习解析几何尤其是解决代数运算问题的一种有价值的“投资”. 在这节内容的编写上，教材非常重视对学生代数运算能力的培养，从最朴素的想法出发，鼓励学生有“硬”算的勇气. 看似是最“笨”的方法，其实是一种常规的思维模式. 在未来解决问题的过程中，大多数问题都还是依赖这种最朴素的通性、通法来解决. 在“硬”算的基础上，引领学生寻求多角度解决问题的方法. 在这个过程中，让学生体会数形结合的思想方法，通过自己的体验，再一次感受横跨代数和几何的向量的“威力”. 教材中的概念、定理、公式和方法的讲授都应该基于理解，基于学生对数学本质的认识. 正如日本数学教育家米山国藏所言，作为知识的数学出了校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使人终身受益. 学生将知识忘却后剩下的东西便是数学思维. 整个教学设计就是以学生现有的能力为出发点，生长其智慧，培养其数学思维，最终培养学生的核心素养. 有道是：结果诚可贵，过程价更高. 只有教师致力于学生数学思维的养成而教，才能使学生真正实现为自己数学思维的养成而学.

参考文献：

[1]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（7）：6-11.

[2]王凯，苏有生. 基于“两个过程”的课堂教学设计：以“空间向量的正交分解及其坐标表示”为例[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（6）：38-40.