领悟标准精神 把握教材教学

闻岩

摘  要：2022年高考数学对平面解析几何的考查，以直线和圆的方程，以及圆锥曲线的定义、标准方程和简单几何性质为载体，以基本概念和通性、通法为考查重点，体现了“依据标准，全面考查，重视‘四基，突出素养”的命题原则，强调平面解析几何问题解决过程中数形结合、函数与方程等思想方法的突出地位，以及运算策略在解决问题中的重要作用，实现了对学生必备知识、关键能力和学科素养的全面考查，对今后的课堂教学和复习备考都起到了积极的引导作用. 通过对典型试题的分析，总结考查特点，为高三复习教学提出建议.

关键词：平面解析几何;考查特点;命题分析;教学建议

平面解析几何是高中数学的重要内容，高考主要考查直线与圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的关系是经常出现的问题情境. 试题考查强调基础性、综合性、应用性和创新性，重视对数形结合、函数与方程、转化与化归、分类与整合、特殊与一般、运动与变换等思想方法的考查，通过多种题型探索对学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养的考查途径.

一、考查内容分析

平面解析几何内容是考查学生直观想象、数学运算和逻辑推理素养的良好载体. 2022年高考数学试卷中涉及直线、圆与圆锥曲线的试题包含选择题、填空题和解答题三种题型. 试题综合性较强，常将直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等几种常见曲线组合起来进行命题，更多的是将直线与圆、圆锥曲线知识相融合，设计内容丰富的几何问题情境，综合运用代数和几何方法解决问题. 平面解析几何试题还经常与函数、不等式、向量等知识进行综合考查，对学生的综合能力要求较高.

2022年高考对平面解析几何内容的考查呈现以下特点.

1. 题型结构、分数比例整体稳定

2022年各份高考数学试卷中，平面解析几何试题在题型、题量和分值等方面基本保持稳定. 各份试卷均采用兼顾客观题和主观题的做法，题量一般为2 ～ 3道客观题、1道主观题，分值稳定在22 ～ 27分. 其中，题量较多的为全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、全国甲卷（文）、全国乙卷（理），分值均为27分，占全卷分值的18%. 全国卷具体情况如表1所示（地方卷情况与之类似）.

2. 试题情境设计丰富

平面解析几何基础题一般以圆、椭圆、双曲线和抛物线为问题情境设计试题，考查基础知识. 不同层次的综合性试题通常以直线与圆锥曲线的位置关系为情境设计试题，也有将两种圆锥曲线关联起来进行问题设计，以及以实际问题为背景设计试题的情况.

2022年平面解析几何试题除了考查最基础的知识外，通常关注度量及几何性质的分析. 例如，常涉及长度、角度、面积的计算，以及平面几何图形性质的研究等. 试题也常与代数知识相结合，解决求值、最值、定值、范围等问题. 也会涉及函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归、特殊与一般、运动与变换的思想方法，以及特殊化、极端化等分析问题和解决问题的思维方法. 通过客观题与主观题配合设置，设计不同难度层次的试题，考查学生的“四基”与数学核心素养. 全国卷具体情况如表2所示（地方卷特点与之类似）.

3. 试题设问方式多样，突出素养导向

《中国学生发展核心素养》提出了核心素养的总体框架和基本内涵;《中国高考评价体系》确立了高考中学科素养的考查目标，标志着高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变. 素养导向不仅强调知识和智力，更强调知识的迁移和后天的习得. 试题的特点是不求结构完整，追求目标指向开放，要求学生临场思考发挥，目的在于更清晰、准确地考查学生的智力水平、思考深度、思维习惯和科学态度.

可以看到，近两年以全国新高考卷为代表的试卷中创新性地推出了选择题中的多选题、填空题中答案不唯一的开放性试题，以及解答题中的结构不良试题等. 通过设问方式、情境设置的变化，创设新的情境，变换设问角度和知识的组合方式，考查学生的科学探究能力和创新能力. 2022年全国新高考试卷中的这种尝试，在平面解析几何试题的考查中均有体现，展现了对学生数学核心素养考查的积极探索，值得关注.

二、命题特點分析

1. 命题意图分析

2. 命题导向分析

根据《标准》对平面解析几何的教学要求，高考数学试卷在题型、题量、分值等方面将会保持相对稳定. 在对“四基”、数学思维和数学核心素养的考查上将会坚持进行探索和尝试. 同时，也会坚持素养导向的高考命题研究，发挥各种题型的组合功能，如多选题、开放性问题、结构不良问题等. 在难度的控制上，试题将着力体现对基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，会更好地体现“低起点、宽入口、多层次、高落差”的难度调控策略.

三、复习教学建议

1. 依据课程标准，关注过程，夯实“四基”

自《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布以来，高考命题的唯一依据就是课程标准. 因此，教学也必须以课程标准为依据，用好教材，对基础知识的教学做到精、准、全，不能仅凭借以往经验进行简单重复训练，实施题海战术.

《标准》指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 在教学中，教师要注重基础知识的落实，重视从整体上把握高中数学知识体系，让学生从多角度体验和感受数学概念的来龙去脉，重视知识的形成过程，重视公式和一些结论的含义. 例如，弦长公式实质上是直线上两点间的距离公式，其本质是将弦长问题转化成水平方向或垂直方向的长度问题，使计算简化. 同时，应该注重数学知识的内在逻辑，从数学知识的发生、发展过程和学生的认知规律出发构建研究问题的思路. 例如，要充分认识向量作为沟通代数和几何的桥梁，以及在解决长度、角度、共线等问题中的重要作用.

2. 加强数学运算，重视策略，强调理解

在新高考的考查方式中，虽然新题型、新情境和新设问增多，但学科本质规律是不变的. 教师的教学和学生的复习应该坚定不移地遵循这些本质规律，强调所学知识的真懂、会用，强调理解，强化数学核心素養的培养.

在平面解析几何问题的解决过程中，常涉及解方程或方程组，以及代数式的恒等变形等. 在运算过程中，应该强调对数和式合理的变形、整理，以及对运算策略的选择. 在运算的过程中，要强调学生对“算”的理解;在问题的讲解中，要讲出对概念、公式、规律的理解，讲出知识之间的联系.

记忆有记忆的规律，理解有理解的方法. 教学中，不要仅满足讲正确的，更要给学生提供典型的素材，让学生在运算操作的过程中体会运算、理解运算，提升数学运算素养. 对于课堂上的争论、交流，教师也要给予学生充足的时间进行审题、分析问题、思维碰撞等活动，这对于学生领悟所学知识，以及提高从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力是非常必要的.

3. 揭示数学思想，聚焦能力，培养素养

数形结合和函数与方程思想在解析几何问题的解决过程中起着非常重要的作用. 学生比较明确数形结合的思路，但对于方程思想往往理解不深，需要教师在教学中予以揭示.

方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数列方程或方程组、解方程或方程组等步骤达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础. 对于方程思想的考查，是从“设—列—解”三个阶段同时体现的，并且三个阶段相互关联.“设”的阶段，关注的是如何设未知量，包括设直接未知量、间接未知量和辅助未知量. 未知量（有时表现为参数）的合理选择，以及如何认识诸多未知量的“身份”常与运算策略的选择和如何消元求解密切相关.“列”的阶段，主要涉及对几何条件的深入分析和合理使用. 例如，长度和角度是直接使用还是转化使用. 如何转化使用往往是简化问题的关键.“解”的过程需要运算能力做支撑. 一般来讲，在“设—列—解”三个阶段中，后一阶段的难度往往来自前一阶段的处理不当. 对此，教师需要指导学生领会其中的规律.

4. 倡导自我调控，学会学习，学会自检

在复习教学过程中，需要师生共同建立章节知识体系和问题体系. 在这个过程中，学生可能做得不够完美，但要尽量让学生自己来做. 否则，教师给的完美的体系框架、方法等对学生来讲很可能是增加了一些不懂且需要记忆的东西.

可以尝试提示学生从以下三个角度管理自己的学习，进行自检：（1）知识掌握是否全面、真懂.（2）常见问题的解决方法是否真懂、会用. 例如，对于求值问题，定点、定值问题，最值和范围的问题等，是否有一般的解决问题策略，以及相应的注意事项.（3）难点问题的解决要有策略. 例如，能否利用分类与整合、转化与化归等思想方法分析问题，能否用特殊与一般、极端原理等思维方法思考问题.

数学教育承载着落实立德树人的根本任务，“学会、会学、乐学”是我们希望学生达到的学习状态. 在教学过程中，教师应该指导学生如何学习、如何进行学习的自我调控，激发学生学习的主观能动性，促使其养成良好的学习习惯.

四、典型模拟题

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考试中心. 高考数学测量理论与实践[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[4]任子朝，赵轩，翟嘉祺，等. 新高考多选题考查功能实证研究[J]. 中学数学教学参考（上旬），2022（1）：4-7.

[5]任子朝. 从能力立意到素养导向[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（5）：5.