例谈基于深度教学理念的数学活动课教学

林金菊

深度教学理念是以发展性的教学价值观、课程知识观、学习观、教学过程观和学习环境观为基础，意在促进发展的一整套教学理念和教学策略。实施深度教学，引导学生深度学习，实现学科的育人功能，有利于发展学生的核心素养。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。人教版初中数学教材在每章结束后均设有“数学活动”栏目，笔者通过挖掘教材中的内容，对适合“数学活动课”教学的内容进行整理、改编、补充、拓展、完善、再创造，把教材中静态的文本变为活泼生动的数学活动课的素材，充分发挥此课型在培养学生数学核心素养方面的育人价值。

一、添加梯度，促进学生的层进式学习

案例1：八年级下册第十八章“实验与探究”的切割正方形问题。

给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗？（参考图1）说明你的拼法的道理。

此内容很适合以活动课的形式开展图形的切割拼接探究活动。如何切割、如何拼接，这是学生的困惑点。由于学生没有这方面的经验，如果直接让他们操作，他们会无所适从。因此教师需要增加活动，并设置一系列的问题串，添加活动内容的梯度，让学生能拾阶而上，循序渐进地解决问题。

增加活动：如图2，给你两个大小相等的正方形，你能通过切割把它们拼接成一个大正方形吗？你能提供几种设计方案？

追问1：以上方案的共同点是什么？（从“大正方形面积是小正方形面积的2倍”推知“大正方形边长是小正方形边长的倍”，以此找到大正方形的边长）

追问2：如图3，如果原来的两个小正方形边长不等，又该怎么分割呢？如何表示这两个正方形的边长呢？剪拼得到的正方形面积和边长又分别是多少呢？（设原来两个正方形的边长分别为a和b，则拼成的新正方形的边长为、面积为a2+b2）

追问3：图中有长度为的线段吗？请你作出来。除此之外，还有长度为的线段吗？（利用平移的思想，进一步发现图形中隐藏的大正方形的边）

追问4：以一条线段作为边，怎样作一个正方形？你有几种作法？（以图形中任何一条长度为的线段作正方形都能够找出剪拼方案）

追问5：请对比新的正方形与原来的正方形，将重叠部分并做好标记，你能说出你的剪拼方案吗？（教师邀请学生代表上台展示剪拼方案如图4、图5）

教师增加了一个活动（边长相等的两个小正方形剪拼），学生初步感知剪拼的可行性，找到了问题关键点（依据总面积不变与勾股定理找出正方形的边长），在问题串的引领下，尝试剪拼，思考成功或失败的原因，发现剪拼规律（依据边作出正方形并找到重叠部分，将不重叠部分剪拼填空），展示分享自己的解决方案。在这个活动中，“学生的思维方式由简到繁，由浅到深，依次转化，层层递进，其发展的各个阶段是环环相扣、逐级上升的”，促进了学生的层进式学习，培养了学生的科学态度。

二、丰富厚度，促进学生的沉浸性学习

案例2：七年级上册第一章“实验与探究”的幻方探秘。

传统课堂强调的是幻方的求解方法。而在数学活动课中，教师先介绍幻方起源于“洛书”：相传，在夏禹治水时，洛水河中出现了一只巨大的神龜，背上刻有美妙的图案，史称洛书（如图6）。我们用数字把龟背上的点表示出来，就成了幻方（如图7）。学生欣赏洛书，了解幻方的历史，增强民族自豪感。

教师引导学生观察幻方，引出幻方和幻和的概念，并引申出三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方，接着学生在独立思考、小组交流、合作探究、自主构造三阶幻方后发现以下规律：（1）幻和=中间数×3;（2）与中间数对应的上下、左右、对角两数的和=中间数×2。

然后，教师介绍幻方的其他构造法——杨辉斜排法（图略），并补充：我国数学家杨辉早在公元13世纪就已经编制出3-10阶幻方。

本活动增加了幻方的起源，让学生感受到了祖国文化的深厚底蕴。借助有理数的运算探索规律，揭示三阶幻方的本质特征，学生感受幻方的对称美。在尝试构造三阶幻方中，学生体会数学知识的作用，提高了逻辑思维能力。最后的知识拓展（杨辉斜排法），丰富了内容的厚度，继承和弘扬了中华优秀传统文化，开阔了学生的视野，让学生全身心投入探究活动中，促进了学生的沉浸性学习。

三、转换角度，促进学生的整合性学习

案例3：九年级下册第二十六章“数学活动”的杠杆原理。

杠杆原理亦称“杠杆平衡条件”，是物理学力学定理之一。在物理教学中强调杠杆的概念、要素、分类、动态平衡分析以及应用等。

在数学活动课中，学生通过动手实验、运用表格记录结果、对比分析，发现杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂（用代数式表示为F1·L1=F2·L2）。题目已知F2=9.8，L2=25，则弹簧秤的示数F与距离L是反比例函数，即F=，根据已知条件得K=9.8×25=245，则 F=。最后，教师在计算软件Geogebra上画出F=的函数图像并进行演示。

本活动中，教师整合了物理的杠杆原理、操作活动、记录表格、计算软件演示等资源，引导学生从函数的角度深刻体会弹簧秤的示数F与距离L两个变量之间的一一对应关系，转换了原问题在物理科目的思考角度，引导学生在跨学科的背景下用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界中事物的概念、关系和规律，帮助学生感悟数学与现实世界的联系。

四、拓展广度，促进学生的意义性学习

案例4：九年级上册第二十五章“数学活动”。

关于概率初步知识，教材只设计了两个活动：（1）在A、B、C三个区域的靶型图形中随机撒一把豆子，求事件“豆子落在区域C中”的概率;（2）从只含有一张黑桃的三张扑克牌中抽牌，用频率估计抽到黑桃的概率。

传统课堂并没有放手让学生操作，只是运用数学逻辑推理列举其结果。课题组教师发现教材设计的这两个活动还不够说明用频率估计概率的操作方法，也不够贴近学生的生活，所以在处理教材时就增加了另外两个活动，一个是求同学在罚球线上投篮投中的概率，另一个活动是重复多次抛一枚硬币，验证正面向上的概率是二分之一。于是，教师提前一周分组、布置活动任务，各组按分好的任务设计实验步骤，并用课余时间反复多次试验，收集试验数据后进行分析整理计算，全过程录像，并以小组为单位做好频率估计概率的PPT课件，在课堂上进行活动汇报。

深度教学理论指出，“构筑知识学习与学生发展之间的意义关系，是深度教学的质的规定性”，增加的这两个活动更贴近学生的实际生活，调动了他们参与活动的积极性。通过分组试验，学生体会了用试验法求概率的全过程，加深了对“从收集数据、整理数据、分析数据到描述数据等统计过程每一步操作”的理解，感悟了用频率估计概率的方法和现实意义，形成了数据观念。学会用数学语言表达现实世界，促进了学生的意义性学习。

五、增加“前传”，促进学生的生成性学习

案例5：七年级下册第五章“两平行线间的拐点”问题。

如图8至图12，已知AB//CD，请用含∠A、∠C的式子表示∠E。

学生在学习了相交线和平行线等知识后，遇到两平行线间的拐点问题。传统课堂上教师着重于题目的讲解，至于这些图形是怎么来的，学生无从得知。这个问题在活动课中又应该如何处理？教师应该增加数学探究活动，让学生明晰研究内容的“来龙去脉”。

教师结合题目特点，自主开发教学用具（如图12）：在一块矩形的硬纸板上，画出两条平行直线AB∥CD，在点A、C处分别钻一个小孔，穿上一条拉直的橡皮筋AC，这样学具就做好了。课堂上，教师引导学生分析学具特点并思考：在AC上任取一点E，向不同的方向拉动点E，能得到几种不同的图形？你能把这些图形进行分类吗？新颖的学具，激发了学生的探究兴趣，他们在实物模具上操作，动手动脑动笔，画出了相应的图形，并展示在黑板上。学生通过观察发现，点E在两直线的位置关系不同，导致图形不一样，于是图形分类的问题迎刃而解。自主探究体验到的成功感鼓舞了学生，提高了课堂学习效率。

生成性即建构性，是主体自我的建构过程，生成彰显了教学的过程属性和过程价值。学生在操作学具探究的过程中，通过观察、比较、联想、分析、归纳、大胆猜想和概括，识别了基本图形，理清解题思路，体会图形之间变化及联系，提高了图形建构能力。

六、續写“后传”，促进学生的理解性学习

案例6：八年级下册第十七章“拓广探索”的“蚂蚁爬行圆柱体表面”问题。

圆柱体的底面周长为18cm，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。（图略）

此题目在传统课堂教学中教师往往只是讲授或者进行模型展示，学生被动接受和理解，但是把它设计成数学活动课，学生就可以对圆柱体模型进行动手操作，把圆柱体的侧面展开成矩形，标注出A、B两点，多次尝试后，发现线段AB就是最短路径（学生画出线段AB后，还会把矩形重新卷回圆柱体模型，多次反复操作以验证结果），再运用“勾股定理”解决问题。

接着，把上述活动中的圆柱体先后分别换成以下物体：（1）棱长为1cm的正方体盒子;（2）长、宽、高分别为6cm、3cm和12cm的长方体;（3）每一级的长、宽、高分别等于20cm、3cm和2cm的三级台阶。蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路程又是多少呢？

所谓数学思考，就是在遇到各种各样问题情境时，能够运用数学知识、数学方法和数学思想去分析、探究，从而发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学知识和数学方法加以解决的过程。从圆柱体延伸到正方体、长方体和三级台阶，学生在对以上模型进行动手操作的过程中，体会到不变的是：需要把立体图形转化为平面图形，再利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”解决问题。在这个过程中，学生体会到了转化思想，锻炼了分类讨论的意识，提高了逻辑思维能力，丰富了数学活动经验，拓展了知识广度、深度和关联度。

教师要尊重教材、理解教材、拓展教材、活用教材，让教材成为数学活动课设计的重要素材及载体。开展数学活动课，引导学生通过动手操作、实践活动等形式来学习数学、探究数学，并运用数学知识解决实际问题，有利于促进学生深度学习，提升学生数学核心素养。

责任编辑 罗 峰