简述数形结合思想在初中数学教学中的渗透

摘 要：初中数学知识具有承上启下的作用，既能帮助学生巩固小学数学知识，又能为学生今后更高层次的学习打下基础。文章从数形结合的使用原则和常用方法入手，指出数形结合思想在初中数学教学中的重要价值，详细阐述了数形结合思想的教学应用和渗透途径，以期为相关教师提供参考。

关键词：初中数学;数形结合;使用原则;教学方法

中图分类号：G427                                文献标识码：A                                       文章编号：2097-1737（2022）30-0067-04

引  言

初中數学知识体系主要分为三大类：一是关于数字的知识，如实数、代数、方程及方程组、不等式及不等式组等;二是关于图形的知识，如平面几何、立体几何;三是数形结合的知识，主要体现在解析几何

上。数形结合思想本质上是将直观的图像和抽象的数学语言相结合，在图形问题和代数问题之间相互转化，实现代数问题几何化，几何问题代数化[1]。随着教学理念的转变和教学方法的创新，近年来数形结合思想在初中数学教学中的应用越来越广泛，已经成为解决实际问题的一种重要方法。以下笔者结合实践经验，针对数形结合思想在初中数学教学中的应用和渗透进行探讨。

一、数形结合的使用原则和常用方法

（一）数形结合的使用原则

1.等价性原则

数形结合并不是在所有数学问题中均可以应用，而是当代数和几何具有等价性时，才能实现两者的转化。一些图形的表达方式有局限，提供的信息量少，盲目采用数形结合，会导致解题不严谨。以数轴为例，数轴上的点和实数是一一对应的关系，这两者具有等价性，因此可以采用数形结合思想。

2.双向性原则

对于一些数学问题，如果只进行代数分析或几何分析，都不能明确知识的内在联系，此时便可采用数形结合，实现图形和代数的双向转化。以平方差公式、完全平方公式的推导为例，基于双向性的数形结合思想，一方面是利用多项式的乘法法则，从数的角度进行推导;另一方面是利用四边形面积的变化，从形的角度进行推导[2]。如此便可将数字问题直观化、图形问题逻辑化，方便学生理解。

3.简单性原则

针对不同的数学问题，采用的解题方法也不同，而且解题方法可能不止一种。有些问题采用图形法更加简单快捷，有些问题则需要精准计算。在应用数形结合时，学生应找到最简单的解题方法，而不是机械性地将数与形结合，应对复杂问题进行简单化处理，以形成清晰的逻辑和解题步骤。

（二）数形结合的常用方法

1.以形助数

以形助数有利于学生直观理解抽象问题，帮助学生形成清晰的解题思路。初中生的阅历少，而且思维容易受到多方面因素的影响，理解抽象知识时有难度。以形助数，就是利用简单的图形来理解复杂的数学问题，形成一定的解题技巧。

2.以数解形

以数解形有利于分析图形结构特点，实现从几何到数量的有效转化。学生掌握几何中的数量关系后，结合图形的结构特征，将两者整合起来就能形成解题思路，为解答更复杂的数形结合问题打下基础。初中数学教材中有很多使用字母或数字表示的公式，在教学这些公式时，教师可以采用数形结合。教师在教学中渗透这一思想时，应注重培养学生的信息筛选能力，引导学生对数量关系进行深入理解，从而使其掌握相应的图形结构[3]。

3.数形互变

数形互变有利于把握数与形的关联，在解题中实现数形互助。教学时，教师应引导学生从已经掌握的数学知识和结论入手，探究数和形之间的变化，使其深入挖掘这两者的内在联系，更好地感知数字与图形。

二、数形结合思想在初中数学教学中的重要价值

（一）激发学生的学习兴趣

和小学数学相比，初中数学涉及的知识体系有所扩大，学习难度也有所提高。初中生的思维方式正处于过渡时期，他们对理论知识的学习兴趣不浓，学习效率低下。在教学过程中，教师采用数形结合思想可以改变这一现状，图形和数字的结合、转化、互变，能为学生创设一个真实的学习情境，有助于激发学生学习兴趣，提高学生学习积极性，使其自觉参与到课堂活动中。

（二）强化知识记忆能力

数学是一门工具性学科，要想学好数学、用好数学，学生首先要牢牢记忆概念、特征、定理、公式等基础知识，如此才能在解决问题时选用相应的知识点。学生在采用数形结合思想记忆数学知识时，能在脑海中形成具象的画面，不但记得准确，而且记得时间更长。如此，在面对真实的数学问题时，学生才能做到“下笔如有神”。

（三）培养学生的数学思维

数学知识源于生活，同时又为实际生活服务。从生活中提炼数学元素，有助于培养学生的数学思维，使其真正做到学以致用[4]。在学生采用数形结合思想解决抽象问题时，教师要引导学生观察、联想、分析，拓展学生思维空间。学生掌握数形结合思想，又能反作用于学习过程，将不同知识点融会贯通，建立属于自己的知识体系。

三、数形结合思想在初中数学教学中的应用

以下结合例题，介绍数形结合思想在实数、整式运算、坐标系、函数、方程中的应用情况。

（一）实数

例题1：如图1，数轴上有A、B、C、D四个点，根据它们各自的位置，判断哪一个点最接近？

数轴上的点和实数一一对应，利用数轴可以进行实数加减，也能表示相反数、绝对值、不等式的解集等。例题1本质上是求解的大小，可按照以下步骤进行：先计算，再计算、，最后计算。解题过程如下。

由30.25<35<36，可得5.5<<6;所以11<<12，-12<<-11;所以-1<<0，即C点最接近。

（二）整式运算

例题2：图2是由4个全等的长方形拼成，根据中间空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b关系的恒等式。

图形比较形象直观，但定量计算时要依靠代数。对于复杂的图形，学生应从不同角度观察图形的特征，从而发现隐藏条件，用数量正确表示图形。针对例题2，可以采用以数解形法，解题过程如下。

观察图形，中间空白部分的面积有两种表示方法：①先得出中间正方形的边长，然后根据面积公式计算面积，即中间正方形的边长是（a-b），面积表示为（a-b）2。②先计算大正方形的面积，然后减去周边4个长方形的面积，大正方形的边长是（a+b），面积表示为（a+b）2;1个长方形的面积是ab，4个长方形的面积之和是4ab;因此中间小正方形的面积是（a+b）2-4ab。

即根据图2得到a、b关系的恒等式是：（a-b）2=（a+b）2-

4ab，刚好是完全平方公式的推导过程。

（三）坐标系

例题3：如图3，已知正方形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，边AB上有一点D坐标是（4，3）。当△CBD绕着点C旋转90°，那么旋转后点D对应的点D坐标是（）。

A.（1，8）           B.（-1，0）

C.（8，1）或（-1，0） D.（1，8）或（-1，0）

该题考查的是在平面直角坐标系中，坐标点位和图形变换的关系。围绕已知条件，解题时重点有两个：一是△CBD旋转90°分顺时针和逆时针两种情况;二是根据图形特征计算点D的坐标。解题过程如下。

因为点D（4，3）在边AB上，可得BC=OA=4，

AD=3，BD=1。①当△CBD顺时针旋转90°，点D在x轴上，此时OD=1，即D坐标是（-1，0）。②当△CBD逆时针旋转90°，点D到x轴、y轴的距离分别是8和1，即D坐标是（1，8）。综上，点D的坐标是（-1，0）或（1，8），答案选择D。

（四）函数

例题4：已知一次函数y1=kx+b和y2=x+a的图像如图4，对于以下结论：①k<0;②a>0;③当x<3时，y1A.0B.1C.2D.3

数形结合思想在函数中的应用具有代表性，因为函数不仅有表达式，还有对应的图像[5]。表达式和图像的相互转化，能提供全面的信息，这些信息就是解题关键，解题过程如下。

分析图像可知：①y1=kx+b的图像呈下降趋势，和y轴相交于正半轴，说明k<0，b>0。②y2=x+a的图像呈上升趋势，和y轴相交于负半轴，说明a<0。③两个函数的交点横坐标是3，从图像位置关系看，x<3时，y1的图像在y2上方，说明y1>y2。因此，正确结论只有1个，答案选择B。

（五）方程

例题5：如图5，已知某花园是长方形ABCD，长度为50m、宽度为30m，规划在内部修建3条宽度相同的道路，其中两条和边AB平行，另一条和边BC平行，其余部分种植花草，每一块草地的面积是50m2，

问道路宽度是多少？

方程及方程组是解决几何问题的有效方法，根据已知条件和图形特征列出方程然后进行计算，可以减少计算量，是数形结合思想的重要体现。本例题考查的知识点是一元二次方程，解题过程如下。

假设道路宽度为x，结合图形将6块草地平移后组成一个长方形，那么它的长是50-2x，宽是30-x。已知每块草地的面积是50m2，6块草地的面积之和是300m2，可列出方程（50-2x）（30-x）=50×6，化简可得x2-55x+600=0，求解得到x1=15，x2=40，结合题目将x2舍去，最终得到道路宽度为15m。

四、如何在教学中更好地渗透数形结合思想

（一）模仿实践，初步感受数形结合思想

数形结合思想刚开始应用在教学中，应该从简单的案例入手，让学生直观感受。例如，数轴可以描述有理数的绝对值，教师可以提出问题：互为相反数的两个数，它们的绝对值有什么关系呢？对于这个问题的解答，教师可以利用数轴上的点表示数，然后让学生模仿和实践，从而发现它们距离原点的距离相等，即绝对值相等。

（二）对比运用，深化理解数形结合思想

初步感受数形结合思想后，教师可在教学中运用对比方法，让学生进行深入理解。以函数为例，一次函数比较函数值的大小，通常结合函数的增减性即可做出判断。但是，反比例函数的图像不连续，是由两条曲线组成的。这时，教师可以让学生自己尝试，画出反比例函数的图像，然后区分象限进行考虑;如果在同一个象限，可利用增减性比较函数值大小。教师让学生对比尝试，借助图形解决问题，能加深其对数形结合思想的理解，以便其解题时灵活运用。

（三）独立思考，充分掌握数形结合思想

当学生对数形结合思想有了深入了解后，教师应作为引导者和管理者，发挥学生的主体作用，让他们通过独立思考，充分掌握数形结合的应用方法。一方面，教师可以利用一连串具有相关性的问题，引导学生培养观察、猜想、归纳能力，通过由数到形、由形到数的转化，提高数形结合思想的运用能力。另一方面，学习数学知识是为了解决实际问题，教师还应为学生创设真实的生活情境，让学生学会采用数形结合的思想去解决实际生活中的问题，从而简化解题步骤，提高解题效率[5]。

结  语

综上所述，数形结合是一种重要的数学思想，能激发学生的学习兴趣，提高学生知识记忆能力，培养学生数学思维。文章以实数、整式运算、坐标系、函数、方程等课程知識为例，结合例题介绍了数形结合思想在解题中的应用。在实际教学过程中，教师应考虑学生的实际情况，合理设计教学方案，让学生循序渐进地感受、理解、掌握数形结合思想，实现预期教学目标。

[参考文献]

【1】李岩青.“四点突破”理念在初中数学数形结合教学中的应用探索：以“反比例函数的几何意义”教学设计为例[J].数学学习与研究，2020（07）：281.

【2】陈小红.初中数学数形结合思想教学研究与案例研究[J].读与写，2021，18（04）：157.

【3】吴学军.数形结合引思激趣：论数形结合思想在初中数学教学中的渗透[J].数理化解题研究，2019（35）：17-18.

【4】李强.如何在初中数学的教学当中运用数形结合思想[J].中学课程辅导（教学研究），2021（30）：3.

【5】陶玉娥.数形结合思想在初中数学教学中的渗透路径[J].科学咨询，2021（20）：252-253.

作者简介：李敏（1977.8-），女，福建光泽人，任教于福建省光泽县第三中学，中学一级教师，本科学历，2004年被评为光泽县“教坛新秀”，多次获得光泽三中“优秀班主任”称号，2021年被评为光泽县“三八红旗手”。