解决高中生数学语言学习障碍的研究与对策

【摘要】本文针对高中生普遍存在数学语言学习障碍的现象，分析高中生数学语言学习障碍的主要表现和成因，提出做好初高中数学教学衔接，提升学生的数学抽象素养;创设学生熟悉的情境，让感性认识上升到理性思维;积累数学语言学习经验，提升学生的直观想象、逻辑推理素养;培养學生用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的能力，以及提升教师数学语言素质等问题解决策略。

【关键词】高中生 数学语言 学习障碍 研究与策略

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）14-0115-05

数学语言是一种高度抽象的符号系统，其呈现形式非常丰富，有揭示概念本质属性的文字语言，有指意简明的符号语言，还有直观形象的图形语言。对学生而言，数学学习的过程，就是运用数学语言将数学知识、数学思维等内化为自身认知结构的过程。因此，要想学好数学，学生必须具备较好的数学语言运用能力。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称数学课标）将能否恰当运用数学语言及自然语言进行表达与交流，作为高中生评价的重要内容，可见学习数学语言的重要性。

一、高中生数学语言学习障碍的主要表现和成因

数学语言是数学知识的重要载体，具有简练、严谨、精确等特点，是培养数学思维的有力工具。灵活运用各种形式的数学语言，有助于学生顺利完成“机械认识→归纳认识→理性认识”的认知过程。然而，据笔者观察发现，高中生普遍存在数学语言学习障碍，这不仅降低了学生的解题正确率，还影响了学生数学学科核心素养的发展。数学语言学习障碍，是指学习者在需要运用数学语言进行学习时，不能顺利地进行数学语言的识别、理解、转换、构造、组织和表达等活动的一种学习障碍。

（一）常见的数学语言学习障碍

在教学实践中，笔者发现，高中生常出现的数学语言学习障碍有以下5种：一是数学语言识别障碍，主要是指学生无法从数学语言中识别相关知识的基本属性及内涵等信息，这一障碍在数学基础较差的学生中表现得较为明显，突出表现为在解题时无法读懂题意;二是数学语言理解障碍，主要体现在学生难以理解数学概念、命题、表达式及各种数学关系，有相当数量的学生对数学概念及其表现形式停留在机械记忆层面，无法深入理解概念的内涵和外延;三是数学语言转换障碍，是指在不改变数学对象、数学意义或本质的前提下，改变其表征形式的一种转换过程，突出表现为学生对数学对象进行不同表征形式的转换时，不能准确进行等价转换;四是数学语言构造障碍，其实质就是学生缺乏逻辑推理素养和数学抽象素养，突出表现为学生难以将数学对象形式化、符号化，或难以从现实情境中抽象出数学问题;五是数学语言组织和表达障碍，是指学生难以对数学语言信息进行分析、筛选、加工，突出表现为大部分学生不能发现数学语言中的隐含条件，无法分析数学语言之间的联系，很难找出其中蕴含的数学关系式，不能阐述解决问题的思路，无法与他人进行有效交流。

（二）数学语言学习障碍的主要成因

1.数学学科的高度抽象性造成了数学语言理解障碍

数学是自然学科中最基础的学科，主要是通过抽象的概念表达事物间的联系。高中数学具有很强的抽象性，学习者需要从研究对象或问题中发现一类事物中与数量关系、空间形式有关的一般规律，并通过适当的数学语言将这种规律表示出来，形成一般模型，养成数学方法和数学思维。这就需要学生具备较高的形象化素养和运算能力，能够准确将抽象符号形象化，这对很多学生来说是比较困难的。数学学科的高度抽象性是造成学生数学语言理解障碍的原因之一。

2.学生不良的学习习惯造成了数学语言学习障碍

英国著名数学家怀海特曾说：“如果我们不了解符号的含义，那么我们什么都不知道，对于一个符号，我们只是一知半解地使用它，则无法掌握和运用自如。”在日常教学观察中，笔者发现，学生往往能准确记忆数学概念，可是在实际应用时却往往不知从何处着手。究其原因，主要是因为学生只记住了概念的文字或符号表征，没有理解概念背后的数学本质，而且通常习惯于通过大量练习掌握解题方法，对数学思想往往是一知半解，在进行文字、符号、图形等三种数学语言的转换时常常忽略关键信息，未能进行正确的等价转换，就会出现错漏频出、顾此失彼的窘境。这种不良的学习习惯，是造成学生数学语言学习障碍的另一个原因，最终会阻碍学生数学学科核心素养的发展。

3.教师不重视学生数学语言转换能力的培养

受应试教育观念的影响，不少一线教师没有树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，课堂教学依然以知识灌输为主，特别是在数学概念的教学中往往存在重结果而轻过程、重视解题技巧而轻视概念形成的现象，不重视引导学生将各种数学语言进行有效转换，致使学生不能深入理解数学概念的本质。如此教学数学概念，会导致学生对概念的理解一直处于表层状态，无法深刻理解这些符号化概念的内涵和外延，长此以往就会影响学生数学语言转换能力的培养，甚至影响数学学科核心素养的发展。另外，部分教师使用的教学语言不够严谨、规范，有些教师在讲解过程中则过于依赖书面语言，使数学概念的讲解更加抽象、枯燥无味，这就会对培养学生的数学语言转换能力产生消极作用。数学语言的转换可以帮助学生在不改变其本质属性的情况下，将抽象的数学定义和数学命题变为通俗易懂、直观形象、易于接受的语言或图象，这不仅能有效提高学生的学习兴趣，树立学好数学的信心，还能帮助学生快捷地从错综复杂的条件中提取有效信息，形成良好的认知结构、数学思想和数学思维。

二、破解高中生数学语言学习障碍的策略

（一）做好初高中数学教学衔接，提升学生的数学抽象素养

初中阶段的数学知识比较具象，对学生的数学抽象素养要求不高;高中阶段的数学知识则相对抽象，需要学生具备较高的数学抽象素养。数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式进行抽象，从而得到数学研究对象的素养，其内容主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念间的联系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。数学抽象素养是数学学科基本素养之一，是发展学生理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿于数学产生、发展、应用的全过程。数学课标要求发展学生的数学抽象素养，具体而言就是：学生通过高中数学课程的学习，能够抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的学习经验;养成在日常生活和实践中进行一般性思考问题的习惯，能够把握事物的本质，并运用数学抽象思维方式思考、解决问题。

培养学生的数学抽象素养，高中教师一方面应做好初高中数学教学的衔接，帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡;另一方面要遵循语言学习规律，培养学生对文字、符号、图形等三种数学语言进行有效转换的能力，提高学生从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构的能力，以及用数学语言表征抽象概念和知识的能力。发展学生的数学抽象素养，能够进一步发展高中生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）、提高“四能”（发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力）。

以人教A版高中数学必修1中“集合”“常用逻辑用语”的教学为例，数学课标将集合与常用逻辑用语作为高中数学课程的预备知识，要求学生用集合的语言简洁、准确地表述数学对象，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡。集合是刻画一类事物的语言和工具，描述其概念的数学语言简洁、抽象，只有通过系统学习这些抽象的数学语言，才能提高学生抽象表达数学的能力，积累数学抽象的经验。因此在教学中，教师可通过运用生活实例，创设使用数学语言的情境，让学生运用集合语言进行表述，并不断尝试进行文字、符号、图形等三种数学语言的相互转换，从而提升学生的数学抽象素养。

而常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。常用逻辑用语这部分内容对学生而言十分抽象，对逻辑推理、数学语言运用等能力要求较高，但通过逻辑用语的学习，能够让学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，提高交流的严谨性与准确性。教师在教学中可从实际生活出发，运用生活案例让学生直观感知逻辑语言，通过现实情境或数学情境，对数学对象进行准确严谨的表述，提升学生的逻辑推理素养。

以下，笔者将通过两道例题的讲解，具体分析如何培养学生的数学抽象素养。

【例1】在a克糖水中含有b克糖（a[>]b[>]0），现再加入m克糖，则糖水变得更甜了，这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式，这个不等关系式为  。

“在糖水中加入糖则糖水变得更甜”是一个生活常识，说明这道例题与学生的实际生活密切相关，设计这道题的目的是让学生从实际生活情境中抽象出数学问题，并用数学语言予以表征。然而，要从这样一个大家都熟悉的情境中抽象出一个数学不等式，却让很多学生感到无从入手。造成这一现象的原因是学生欠缺数学抽象能力，难以完成文字语言与符号语言的转换。针对这道例题，用学科知识解释糖水变甜了这一现象，就是加糖后的糖水浓度大于原有的糖水浓度（糖水的浓度=[糖的质量糖水的质量]），于是将两次糖水浓度的大小关系用不等式表示出來，即可得到不等关系式为[ba][<][b+ma+m]（a[>]b[>]0，m[>]0）。在解决这一问题过程中，教师除了引导学生将题中的各种数量关系转换为现实生活中易于认识的事物，还列举了在盐水中加入更多盐让盐水变咸等现实案例，引导学生抽象出一般的浓度变化的规律和概念，从而发展了学生的数学抽象素养。

【例2】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…和xn和y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率[π]的近似值为（  ）。

A.[4nm]   B.[2nm]   C.[4mn]   D.[2mn]

这是一道高考数学试题，其原型为人教A版高中数学必修3中圆周率的计算一课的例题3，通过比较分析可以看出两道题的出题背景、解题思路基本相同，但是由于两道题题干中的条件描述方式不同，结果就有很多学生不懂如何解决这道高考数学试题。究其原因，在于学生数学抽象能力弱，不能有效进行数学语言的等价转换，无法把所学知识迁移到新的解题情境。因此在讲解例题时，笔者注重引导学生充分挖掘教材、例题的知识背景，通过运用黄豆排列或有序数对的落点问题，创设生活情境引导学生开展随机模拟实验，发现和提炼圆周率的估算问题，强化学生的数学抽象素养、数学建模意识，让学生能够从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念和概念间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构。

通过以上两道例题的讲解可知，数学抽象过程也是数学建模过程，是通过对现实问题进行抽象概括，用数学语言表征和解决问题的过程。当教师通过现实情境引导学生从数学的视角提炼不同计算角度下的概率数量关系（等式）时，也就是在引导学生构建数学模型，积累用数学语言表征实际问题的经验，提高学生的应用能力和创新意识，进而培养学生的数学抽象素养。

（二）创设学生熟悉的情境，让感性认识上升到理性认识

符号语言因具有高度的抽象性、严密的逻辑性等特性，而广泛用于表征数学定义。正因为符号语言具有高度的抽象性，所以学生不易于理解和接受。因此，在教学中，教师应从学生的最近发展区出发，在引进一个新的数学符号时，首先通过展示有代表性的具体模型，让学生进行观察、分析和概括，形成感性认识，然后离开具体的模型结合定义对符号实质进行理性分析，形成理性思维，完成由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程。

以函数的单调性教学为例。在初中阶段，学生通过图象观察可以直观地认识函数的单调性，函数的单调性的相关定义表征还比较通俗易懂。到了高中阶段，学生需要在此基础上进一步用符号语言来表征函数的单调性。因此，高中教师在讲解函数的单调性概念时，可以从学生熟悉的函数图象入手，让学生观察图象的变与不变，认识“变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质”这一道理。在具体教学中，笔者通过创设问题情境，引导学生完成从感性认识上升到理性认识的认知过程。问题如下：①在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据下页图1所示的函数图象，分别述说x在哪个范围变化时，y随着x的增大而增大或者随着x的减小而减小？②如何用数学符号语言准确刻画二次函数y=（x-1）2-1在区间[1，+∞）上y随着x的增大而增大？③在区间[0，+∞）内取x1，x2，当x1[<]x2时都有f（x1）[<]f（x2），能不能反映出函数图象在区间[0，+∞）内一直呈上升趋势呢？④要满足怎样的条件，才能保证函数图象在给定的区间内图象一直呈上升趋势呢？⑤你能试着用符号语言给单调递增函数下定义吗？⑥我们能否说反比例函数y=[1x]（x≠0）是减函数？

通过以上6个问题，让学生经历由具体到抽象、由图形语言和文字语言抽象出符号语言的认知过程，从而抽象出函数的单调性的概念，体会用符号语言表征数学定义的必要性，理解符号化定义在讨论函数的单调性中的作用，从而促进学生数学抽象素养的发展。如在引导学生深入理解函数的单调性定义“当x1，x2∈（a，b）时，对任意x1[<]x2，都有f（x1）[<]f（x2），则函数y=f（x）在区间（a，b）上是单调递增函数”时，其中“任意”两字是学生理解的难点，因此笔者通过问题③、问题④，让学生体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，然后不断引导学生进行文字语言和符号语言间的等价转换，培养学生从具体问题抽象出数量关系、寻找变化规律并用符号语言表达数学关系的良好习惯，真正理解符号语言的数学内涵和本质，发展学生的数学抽象素养。

（三）积累数学语言学习经验，提升学生的直观想象、逻辑推理素养

数学课标所提的“四基”，是在《普通高中数学课程标准（实验版）》提出的“双基”的基础上，增加了“基本思想”“基本活动经验”两项内容，这一变化能促使数学学习中结果与过程、客观与主观、静态与动态、外在与内化的有机融合，这无疑有助于学生破解数学语言学习障碍，发展数学学科核心素养。笔者认为，开展丰富的学习活动，能够帮助学生积累数学语言学习经验，提升学生的直观想象、逻辑推理素养。

以诱导公式的教学为例，教师可引导学生利用单位圆的对称性，探索三角函数在变化中的不变的性质，从而归纳出符号化的诱导公式。在单位圆中（如图2所示），角[α]的終边与单位圆的交点记为P（x，y），角-[α]的终边与单位圆的交点记为P′，根据点P与P′关于x轴对称得到P′点的坐标为P′（x，-y），然后由三角函数定义可知sin[α]=[yr]，sin（-[α]）=[yr]，发现角[α]与角-[α]的三角函数值间存在“sin（-[α]）=-sin[α]，同理可得到cos（-[α]）=cos[α]，tan（[-α]）=-tan[α]”的关系，由此学生探究得到了角-[α]的诱导公式。在此基础上，教师引导学生运用研究角-[α]诱导公式的方法，自主探究得到了角[π+α]的诱导公式（如图3所示）。通过这样两个推导实践活动，一方面让学生亲身感受类比思维在数学学习中的重要性，另一方面让学生积累了推导数学定义、公式的经验，学会进行文字、符号、图形等三种语言的相互转换，完成了由数解形、由形助数的学习过程，提升了学生的直观想象和逻辑推理素养。

（四）培养学生用数学思维分析世界、用数学语言表征世界的能力

数学课标明确指出如下两个学习目标：一是通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表征现实世界，发现问题、提出问题，感悟数学与现实之间的联系;二是学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验。

如人教A版高中数学必修2中有这样一道习题：已知0[<]x[<]1，0[<]y[<]1，求证：[x2+y2]+[x2+（1-y）  2+][（1-x） 2+y2]+[（1-x） 2+（1-y） 2][≥]2[2]。对这道题大部分学生都会心生畏惧，因为不等号左边的式子很复杂，学生不知该如何化简。解决这道题，如果从函数或纯证明不等式的角度去理解，确实会感觉无从入手。此时，数学语言的转换对解决这道习题就起了关键性作用。因此，笔者在讲解过程中将符号语言转换为图形语言（如图4所示）：设有4个点，P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），利用两点间的距离公式可知[PO]=[x2+y2]，[PA]=[（1-x）  2+y2]，[PB]=[（1-x） 2+（1-y） 2]，[PC]=[x2+（1-y） 2]，所以[PO] + [PB] [≥] [BO] =[2]，[PA] + [PC] [≥] [AC]  =[2]，所以[PO] + [PB] +[PA] + [PC] [≥] 2[2]（当且仅当点P为正方形ABCO的对角线AC与OB的交点时取等号）。

在这道题中，笔者引导学生用数形结合思想将复杂问题简单化，让学生能更好地用数学语言分析、理解世界。数形结合是高中数学的重要思想方法之一，其实质是把数量关系的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合起来，直观展现出问题的条件与结论间的内在联系，借助图形将复杂的数量关系转换为直观的图形关系，提高了学生的解题效率。由此可见，进行文字、图形、符号三种数学语言间的等价转换，是数学语言学习的重中之重。

数学是一门基础学科，为学生学习物理学、力学、天文学、化学、生物学等自然科学提供了基础。从本质上说，数学作为一门描述、研究数量关系和空间形式的学科，其作用不仅是通过学习完成学科知识的积累，更重要的是发展学生的逻辑思维能力、数学思想方法、创新精神、实践能力和正确的价值观。因此，在教学实践过程中培养学生用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的能力，不仅能培养学生的数学学科核心素养，更有利于促进学生的终身发展。

（五）提升教师的数学语言素质

数学语言是数学知识和数学思想的载体，是进行数学思维和数学交流的重要工具。高中数学教材中概念、公式、定理的呈现具有非常突出的抽象化、形式化特点，学生只有清楚理解每一个数学符号的内涵，才能准确理解和把握各种数学概念、公式。要完成这样的教学，教师就要对相关概念、定理、公式的内涵和实质有深刻透彻的理解，并且能够用准确、科学的数学语言向学生表述，因此教师必须具备较高的数学语言素质。教师要着力提升自身的数学语言驾驭能力，能够用多种数学语言表征同一数学概念、数学现象、数学问题，从而不断提高学生的理解能力、知识应用能力，破解学生的数学语言学习障碍。

总而言之，发展学生的数学语言转换和应用能力，不仅能够有效提高学生学习数学的效率，增强学生迁移应用知识的能力，还能够促使学生构建起科学、完善的数学知识结构体系，深入理解数学概念，以更好地揭示和表征数学实质，促进学生数学学科核心素养的全面发展。

参考文献

[1]卓斌.概念教学：追求数学语言的精致化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（5）.

[2]高艳苗.高中生数学语言转换能力培养途径的研究[D].西安：陕西师范大学，2014.

[3]桂林.高中生数学语言学习障碍及其对策研究[D].武汉：华中师范大学，2004.

作者简介：李俊（1973— ），湖南郴州人，高级教师，主要研究方向为基础教育数学教学。