项目学习：用向量发现三角形中的“美”

张永刚 赵婧一 常青

摘  要：以项目学习的方式开展数学探究活动——用向量法研究三角形的性质，以学术任务分解为问题驱动，以项目评价指标为调控指引，以形成数学“定理”为项目作品. 项目实施分三个阶段，对应课上三个课时及课下的充分探究. 强调展示交流，智慧分享，完善作品，形成项目报告. 并积累探究经验，体验数学之“美”.

关键词：项目学习;数学探究活动;向量法;三角形;数学美

三角形是几何中最简单的封闭图形，也是最重要的几何图形之一. 三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带，也是学习几何知识、培养逻辑推理能力、发展理性思维的最佳载体之一. 以三角形为研究对象，用向量法对性质进行再研究，尤其是将研究对象聚焦在对三角形的中线与重心、角平分线与内心、中垂线与外心、高与垂心等问题上，既能使学生在已有认识的基础上更加系统地掌握三角形的性质，又能让学生充分体验向量工具的强大优势，形成主动借助向量工具解决问题的意识，加深学生理解向量法在研究几何问题中的作用，积累“研究一个几何对象”的活动经验，进一步明确研究一个几何图形的内容、路径和方法等. 在对三角形性质的研究中，使学生对数学探究活动形成较为完善的体验，发展自主学习能力，提高发现问题和提出问题的能力，积累探究经验.

一、项目设计与实施

1. 项目内容和内容解析

（1）内容.

用向量法表示和证明平面几何中已学的三角形的性质，发现和证明三角形的其他性质，感受数学结论在结构上的“美”.

建议使用三个课时.

课前：布置任务，学生阅读教材，查阅文献，独立探究，教师在汇总学生的问题后根据学生情况与学生共同确定项目研究课题.

第1课时：开题报告，通过示范探究活动积累探究经验，同时提炼用向量法研究三角形性质的一般观念，确定研究对象、研究视角和研究路径. 课下学生先自主探索，再小组合作探索.

第2课时：中期汇报，分组展示发现、提出问题的脉络，分享交流开拓思路，完善论证过程，开展项目中期评价. 课下学生进一步探索，完善、修正探究成果.

第3课时：全面展示项目产品，完成研究报告. 课后作业——完善论文，形成项目作品.

（2）内容解析.

用向量法研究三角形的性质，研究方法是向量法，研究对象是三角形的性质.

三角形的性质根据三角形的要素与相关要素间的关系可概述为五个层次.

第一层次：定义.

第二层次：要素间的相互关系. 例如，边角的相等关系——等边对等角、等角对等边;边角的不等关系——大边对大角、大角对大边;三边的定性关系——两边之和大于第三边;内角的定量关系——内角和等于180°;等等.

第三层次：要素、相关要素间的相互关系. 例如，外角与内角的关系——外角等于不相邻的两个内角之和;外角之间的关系——外角之和为360°;中线的位置关系——三条中线交于一点（重心）;高的位置关系——三条高交于一点（垂心）;角平分线的位置关系——三条角平分线交于一点（内心）;三边的垂直平分线的位置关系——三边的垂直平分线交于一点（外心）;三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线交于一点（旁心）;三边中点连线与三边的位置关系、大小关系——两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半;等等.

第四层次：相关要素的性质研究. 例如，重心的性质有：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1;重心和三角形三个顶点的连线所成的三个三角形面积相等;平面内任意一点到三角形三个顶点距离的平方和中，重心使其取最小值;等等. 运用坐标法和向量法，还可以将重心与三角形三个顶点之间的关系进行量化表达.

第五层次：相关要素性质间的联系，与其他图形之间的联系. 例如，三角形的“五心”之间的关系;三角形与其他几何图形之间的关系. 例如，三角形与直线、四边形、圆等结合，会有怎样的性质？等等.

用向量法進行研究，可以用向量表示要素之间的关系，借助向量的线性运算研究与方向有关的问题. 例如，平行、点分线段成比例等. 借助向量的数量积运算研究与度量有关的问题. 例如，长度、夹角、垂直等. 尝试转变基底，简化运算，化简结论后再对其进行归纳、演绎，不断提出新的问题，这是用向量研究几何问题形成代数发现的一般观念.

用向量法对三角形性质进行再研究，重在形成研究一个几何图形的一般观念. 先对三角形性质进行分层梳理，形成探究发现的外在目标，再借助不同向量运算针对解决不同的几何问题，开展探索尝试，形成发现图形性质的内在动力，两者相连，就构成了发展网络.（网络图见本文对应线上资源.）

数学探究的研究起点是数学问题，所以整个探究就是从网络图中的问题“闭合回路”，即[AB+BC+][CA=0]出发，应用类比、特殊化、一般化等方法，不断发现问题、提出问题、解决问题的过程.

数学探究是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.

最后尝试从数学的角度刻画审美的共性，主要包括简洁、对称、周期、和谐等. 学生在感受美的同时记忆和掌握具有“美”感的结论. 学会审美不仅可以陶冶情操，而且能够改善思维品质.

综上所述，确定本单元的教学重点是：聚焦用向量法对三角形性质的探究，系统掌握三角形的性质，积累探究经验.

2. 项目目标及目标解析

（1）目标.

① 经历用向量法研究三角形性质的过程，会用向量符号表达三角形的几何性质，掌握三角形的性质，理解向量法在研究几何问题中的作用.

② 通过开展用向量法研究三角形性质的探究活动，了解探究，经历提出、发现、证明或反驳的过程，积累探究经验.

③ 通过对数学探究活动完整的体验，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养，感受数学“美”.

（2）目标解析.

① 能分层、有序梳理三角形的性质，能用向量符号表达已知的三角形性质，通过自主实验与合作交流找出三角形的一些性质，并用向量法合理表达;能借助向量运算对三角形性质进行论证，形成美观的数学结论;选择不同的基底对性质进行论证，能举例说明向量法与平面几何综合法在论证和表达形式上的特点.

② 能通过实验探究，尝试各种向量的运算，形成具有数学“美”的结论，并对运算结果进行几何解释，或对结果产生疑问并且能够借助已有知识对问题进行论证或反驳;面临逐渐深入的探究，能够大胆合理猜想、主动驳斥论证、探讨解决方案，直至提出新的问题，形成探索发现的一般路径.

③ 体验向量法在探索和证明几何图形性质中的作用，得到一些三角形的性质，整理成具有数学“美”的结论，并撰写和交流小论文（即项目产品），能在已有成果的基础上，通过类比、一般化等方法发现和提出有意义的数学问题;会有逻辑地表达和交流，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.

3. 项目问题诊断分析

在平面几何中，学生已研究过三角形并掌握了三角形的一些基本性质.

本项目的教学难点之一是如何开展数学探究活动. 为破解此难点，教师要加强设计和实施指导. 首先，要指导学生在课前进行选题，让学生打开思路，提出问题. 在第一节课上，给予学生示范引导——怎样用向量法证明三角形的性质，并发现值得研究的问题. 其次，要指导学生的推导过程，鼓励学生克服困难坚持下去. 组织项目中期交流，激发思维，促进更深的探索研究. 最后，组织结项汇报，梳理思路，整理成果，完成数学探究.

本项目的教学难点之二是如何发现系列的有价值的数学结论. 学生对用平面向量解决几何问题具备了一定的方法和能力，但对向量法在研究几何问题中的优势并未全面、系统体验与掌握. 他们能够探索出三角形的一些性质，但还不能用向量法有序、有目的地探究发现. 为破解此难点，要给予学生有效的指导：针对学生无序的、感性的探索，引导学生先分层梳理三角形的性质，再按照向量运算的特点进行整理，启发学生找到用向量法展开探究的几条思路，即向量的线性运算、向量的数量积、两种运算的结合. 探究基础是已有的三角形的性质，用联系的观点看待它们，用向量方法对它们进行运算，就是发现之路.

4. 项目支持条件分析

本单元在探索初始阶段，可以直接通过绘制图形，合理转化向量，探索和发现结论. 随着探究的深入，让学生自主借助GeoGebra、几何画板等软件改变三角形形状和向量方向等，直观验证结论的适用范围，或提出新的猜想.

5. 教学方式设计

在教师的带领下，学生利用项目学习的方式进行探究活动.

6. 项目研究规划

以“让我发现数学‘美”为项目的驱动问题，让学生体验数学中的简洁美、对称美、和谐美，提升思维品质. 以三角形为载体、向量法为方法逐步展开数学探究活动，研究三角形的性质. 学生假定自己是一个从事数学研究的科研人员，从学术真实的数学情境入手，通过实验或借助信息技术提出（发现）数学猜想，分小组合作探究、论证反驳，形成具有一定推广价值的数学结论，最终形成项目产品——自己命名的“定理”，并对自己发现的数学“定理”尝试从数学的角度刻画审美的共性. 根据每个阶段形成的阶段性项目产品，开展现场质性评价. 最终在结题活动中展示項目产品，撰写论文，形成项目作品，教师分别给出项目产品评价.

7. 项目设计与实施过程

课前：布置任务，确定项目研究课题.

说明：因为是第一次做数学探究，所以课上、课下的活动都是教师指导学生去做的.

引导语：（项目研究背景）三角形是几何中最简单的封闭图形，也是最重要的几何图形之一. 三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带，现在就让我们带上向量这一神奇的工具，展开我们奇妙的探究之旅吧！

任务1：阅读人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）中“用向量法研究三角形的性质”的内容，梳理你对“数学探究”的认识和理解.

师生活动：学生自主完成阅读，交流对“数学探究”的认识和理解. 教师给出评价.

预设答案：数学探究活动是从一个数学自身的问题出发，探索其解决办法，并进一步发现和提出有意义的问题，猜想合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动. 问题是开放的，成果是多样的.

【设计意图】阐述课题研究的必要性，激发学生的研究兴趣，让学生初步了解数学探究活动.

任务2：试以学习小组为单位，先独立思考，之后与小组内成员共同完成如下“项目作业”.

（1）回顾初中研究三角形的过程，从研究思路、内容、方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论.

（2）用向量法对已有结论进行证明，总结用向量法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理过程进行比较，阐述各自特点.

（3）阅读教材中“探究三角形重心的性质”的示范. 谈谈示范中是如何发现和提出问题的？如何探索与论证的？仿照示例提出项目实施规划.

预设师生活动：学生分小组按照要求完成项目作业，教师批阅并评价.

预设答案：（1）学生需要从研究一个几何图形的“基本套路”出发，有结构、有系统地进行梳理.

① 研究思路.

确定研究对象—发现性质—证明性质—研究特例（判定、性质）.

② 研究内容.

三角形组成要素（边、角）、相关要素（外角、高、中线、角平分线）之间的位置或数量关系. 例如，角与角的关系（内角和为180°）;边与角的关系（大边对大角、等角对等边）;边与边的关系（两边之和大于第三边）;中线与边的关系（中线过一边中点）;中线与中线的关系（三条中线交于一点）.

③ 研究方法.

通过对若干具体三角形的度量、观察、实验，从中发现共性，得出猜想，再通过逻辑推理证明得到有关性质.

从三角形的性质角度来看. 一方面，特殊要素一般化. 例如，锐角三角形中三条垂线交于一点，那么在一般三角形中还成立吗？另一方面，一般要素特殊化. 例如，余弦定理中的已知角为直角，则可将余弦定理转化为勾股定理.

从向量法角度来看. 一方面，是运算方法推进研究，按照线性运算、数量积运算及其联合的角度发现和提出问题;另一方面，是运算对象推进研究，即对哪些元素进行运算发现和提出问题.

（2）对比向量法与平面几何综合法，实际上两者没有绝对的优劣，但向量是研究几何的工具，是将几何问题代数化，用计算发现、解决问题，因此向量工具的使用本身就是一种进步.

（3）示例中首先是发现、提出问题：通过“重心”在物理与几何中的重要性，三角形两条中线一定会交于一点，第三条中线是否过这个点呢？虽然我们早对其有所共识，但从严谨性的角度来看，是需要证明的. 引发对其性质探究的必要性. 然后，用向量法探索、论证：用向量法“三步曲”，证明“三角形的三条中线交于一点”. 最后，反思探究过程、类比发现新命题. 通过对探究过程的反思，观察过程中得到的数量关系，发现“三角形的重心是中线的三等分点”这个新的结论.

实际教学情况：学生对三角形的性质缺乏整体认知，容易割裂性质之间的联系，表述性质杂乱无章，教师鼓励学生用联系的观点表述性质，引导学生按照三角形要素及其关系进行分层梳理.

【设计意图】学生提前形成自我认知，培养学生的自主学习能力，为后期逐渐深入研究做准备，提升学生的数学抽象、逻辑推理等素养.

第1课时：示范研究，启动项目.

引导语：（项目驱动任务）数学是唯美的，数学美大致包含简洁美、对称美、周期美、和谐美等. 庞加莱认为，感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的美的感觉. 让我们也做一次数学家，发现美、体验美、感受美！

环节1：启动项目，布置任务.

项目驱动问题：以三角形为研究对象，用向量法对其性质进行再研究，尤其是将研究对象聚焦在对三角形的中线与重心、高线与垂心、角平分线与内心、中垂线与外心等问题上，你还能发现什么结论？你的结论符合数学的审美标准吗？证明你的发现，并像数学家那样给它“命名”吧！

項目实施要求与建议：（1）在独立思考的基础上，小组集体讨论探究方案，确定研究思路. 小组成员各自展开独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告. 小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告或项目作品论文，在全班进行成果交流、评价.

（2）充分利用信息技术手段（如GeoGebra软件），可能会有更加丰富的成果.

（3）为你们收获的“定理”命名，注意留存过程性记录，重要活动与讨论都要有文字与图片记录. 每组成员原则上不超过六人.

（4）采用统一规范的符号和图形，以便交流探讨.

规范表示：如图1，在[△ABC]中，点[D，E，F]分别是边[BC，CA，AB]的中点，点[G]是重心. 为了符号表示的一致性，我们习惯在[△ABC]中，用点[G]表示重心，点I表示内心，点O表示外心，点H表示垂心.

【设计意图】以终为始，用驱动问题激发学生开展数学探究的欲望，给出项目实施的要求、规范使用的符号及图形语言，明确探究任务和最后的成果，让学生对项目有整体的认知.

环节2：示范探究，指导方法.

探究任务：教材在证明三角形三条中线交于一点的同时，“顺便”发现了重心的一个性质——重心到顶点的距离与重心到其对边中点的距离之比为2∶1. 显然，中线与重心的性质还没有被完全挖掘，试沿着这条线索继续探索属于我们自己的“定理”吧！

问题1：面积是三角形的一个重要性质，结合图1，你能“顺便”得到与面积有关的结论吗？

师生活动：教师指导学生观察教材中关于三角形中线交于一点的证明过程，引导学生尝试发现结论，并给出证明. 让学生感受数学定理的发现过程.

预设答案：（1）发现面积关系.

如图1，每条中线等分三角形的面积，当三条中线交于一点后必有：[S△AFG=S△BFG=S△BDG=S△CDG=S△CEG=][S△AEG][=16S△ABC，] 于是得到以下结论.

结论1：三角形重心与顶点的连线将三角形分为面积相等的三部分，即[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.]

（2）发现中线的向量表达式.

结论2：[AD=12AB+12AC.]

把中线向量回归到边所在的向量：[AD=12AB+][12AC， BE=12BA+12BC， CF=12CA+12CB，] 将三个式子叠加，得到以下结论.

结论3：[AD+BE+CF=0.]

（3）重心的向量表达式.

在结论3两边同乘[-23，] 就可以得到结论4.

结论4：点G为△ABC的重心的充要条件是[GA+][GB+GC=0.]

证明：如图1，可知[2GD=GB+GC.]

由[GA+GB+GC=0，] 得[-GA=GB+GC.]

所以[-GA=2GD.]

所以点G在中线AD上.

同理可得，点G在中线[BE，CF]上.

故点G为△ABC的重心.

在结论3两边同乘[13]，就可以得到结论5.

结论5：三角形与它的中位线三角形（其各边中点连线围成的三角形）共重心. 如图2，即有[GD+GE+][GF=0.]

（4）把点G一般化.

如图3，如果把重心[G]换为任意一点[P]，则有[GA=]

[PA-PG， GB=PB-PG， GC=PC-PG.] 代入结论4，

得[0=PA+PB+PC-3PG.]

结论6：对于平面内任意一点P，关于△ABC有[PA+PB+PC=3PG].

特别地，当点[P]与重心[G]重合时[PG=0，] 此时[GA+GB+GC=0.]

以点P为坐标原点建立平面直角坐标系，结论6也可以看作重心的坐标表示[GxA+xB+xC3， yA+yB+yC3.]

追问：上述探究过程中用到了哪些研究方法？从三角形和向量两个角度进行分析.

师生活动：学生尝试总结，教师予以补充、完善.

从三角形的角度来看，以上所有结论都是围绕重心进行探究的，结论1与面积相关，结论2至结论5是与重心有关的不同线段组成的向量表达式，结论6是通过重心一般化得到的.

从向量法的角度来看，结论2始于向量的加法法则，结论3至结论5是结合三角形中线段的特点进行的数乘运算，结论6利用了向量中的闭合回路.

实际教学情况：部分学生在探究过程中喜欢利用传统几何方法推理论证，不愿意主动应用向量法，不会自觉应用向量的不同运算方法发现新的关系. 教师可以以这一系列发现为契机，进一步阐述向量作为工具的优越性，即向量具备运算与推理两方面的优势.

【设计意图】激发学生的探究兴趣，并让学生初步了解如何依据研究对象（三角形）的特点，利用工具（向量）进行探索发现，为后续自主探究奠基.

问题2：由问题1可知，发现“定理”似乎并不是一件难事. 反思发现与论证的过程，与平时解题是类似的. 如果把解题比作“配钥匙”，数学探究活动就是要解密整个锁的构造原理，就是在“造锁”. 那么，究竟是什么向量关系把三角形的性质都“锁”起来了呢？三角形中最基本的向量关系是什么？在上述探究过程中，哪些地方用到了这个关系？

预设答案：三角形中最基本的向量关系为闭合回路[AB+BC+CA=0.] 证明三角形中线交于一点依据的就是这个闭合回路，因此它是获得以上系列结论的基础.

实际教学情况：学生基本能给出准确回答，但是在提出此问题前他们未感受到基本回路的重要性.

【设计意图】厘清探究的起点，为学生搭建探究支架，提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.

环节3：梳理方法，形成方案.

任务要求：梳理结论的发现过程，把发现问题的脉络绘制成思维导图，归纳研究内容、视角、方法和路径，提炼用向量法研究三角形性质的一般观念.

师生活动：学生自主梳理，之后展示发现问题的脉络，提炼用向量法研究三角形性质的一般观念.

预设答案：（1）从研究对象及方法来看：三角形的丰富性质蕴含在边与角、顶点与边、特殊的点与边、点与线、线与线的关系中，于是我们把主要研究对象确定为上述几何量. 通过观察它们之间的联系，采用一般化、特殊化、类比等方法发现值得研究的问题.

教材中论证了勾股定理，我们可以把三角形的形状一般化探究出余弦定理;教材论证了三条中线交于一点即重心，我们可以类比研究角平分线与内心，中垂线与外心. 因此，我们把主要研究路径确定为“类比、特殊—一般—特殊”.

（2）从研究工具来看：向量是实现数形结合研究几何问题的重要工具，三角形的许多性质都能转化成向量的运算加以论证，三角形的性质可以借助向量运算不断拓展.

在证明三角形中线交于一点时，用向量法研究三角形的几何性质，尝试合理选择基底，可以使运算更加简洁. 在进一步探索发现如上结论1到结论6的过程中，了解了用向量的线性运算通过计算发现结论的途径，知道了探究的起点——三角形闭合回路[AB+BC+][CA=0.]

问题3：我们发现用向量研究平面几何的核心是运算，之前的探究都集中在线性运算，能否用数量积运算进行探索发现呢？将两种运算联系起来还能发现其他结论吗？

预设答案：（1）用数量积计算中线模长.

如图2，从结论2出发，进行数量积运算. 由[AD=][12AB+AC，] 得[AD2=14AB+AC2=14AB2+AC2+4AD2-CB22.]

化简得中线长公式.

结论7：[AD2=12AB2+12AC2-14CB2.]

上述用数量积的算法比较常见，如果放在平行四边形中不难得到以下结论.

结论8：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.

（2）将点D的位置一般化.

如果將中线长问题一般化，使点D仍然在边BC上，但不一定是中点.

如图4，设[CD=λCB，] 借助三角闭合回路拆分向量，得[AD-AC=λAB-AC，] 即有三点共线的充要条件.

结论9：[AD=λAB+1-λAC.]

平方后用余弦定理换掉数量积，得到如下结论.

结论10：[AD2=λAB2+1-λAC2-λ1-λCB2.]

特别地，当[λ=12]时，为中线长公式.

追问：你能从教材中找到上述探究推进思路的身影吗？谈一谈你对向量法研究几何问题的一般套路的理解.

预设答案：（1）教材第32页的例9，定比分点公式的探究体现了从特殊到一般的研究路径.

（2）教材中余弦定理与正弦定理的发现过程借助了向量的数量积运算.

教师讲解：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论. 数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容. 因此，数学探究的基本程序及对应行为如图5所示.

实际教学情况：学生初涉数学探究活动，仅凭教师阐述《普通高中课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）给出的数学探究活动的概念很难真正理解其内涵，这就需要教师在第1课时后的课下活动中，通过不断指导学生认为的“探究成果”，解释何为真正的数学探究活动，即我们究竟要做什么. 这样更能促进学生理解探究的真谛.

【设计意图】在梳理、总结环节2中研究内容、思路和方法的基础上，又补充了利用向量的数量积进行探究的实例，理解用向量法研究三角形性质的一般观念，掌握探究，并让学生了解数学探究活动的本质，积累探究经验.

环节4：布置作业，自主探究.

项目作业：延续上述探究过程，还能提出哪些有价值的问题？在自主探究的基础上，以小组为单位完成中期报告. 注意梳理问题發现的脉络，完善思维导图.

要求：在两周之内完成，期间可以求助教师，也要经常开展小组内的讨论交流.

师生活动：学生课下完成. 教师监督、指导，并批阅学生的探究成果，梳理出中期报告的基本思路.

【设计意图】给学生充足的时间，让学生进行深度探究，在教师的指导下开展真正的数学探究.

实际教学情况：（1）大多数学生容易把数学探究活动误认为习题课，实际操作中可能会将以往在解题中发现的结论，或直接查阅资料获得的结论，逐一罗列，再加以证明. 教师应及时追问这些结论是如何被发现的（习题是如何被设计出来的），引导学生利用已有结论按照三角形性质的五个层次及向量法的“三步曲”展开探究.

（2）部分学生在探究过程中会利用查阅资料得到的一些结论，“执果索因”探索来源，这样容易造成各个结论之间彼此孤立，导致探究成果杂乱无章. 教师可以引导学生绘制思维导图，借助逻辑链条有序串联，进一步厘清探究发现的路径，双向递进.

（3）部分学生在探究过程中不会自觉地应用向量的不同运算方法发现新的关系，尤其对数量积运算运用的意识薄弱. 教师可以引导学生体验两类向量运算的探究方向，进行不定向探索，对所得结论进行化简，在运算过程中提取有价值的向量表达式. 同时，进一步指出向量具备运算与推理两方面的优势，强化树立向量工具的优越性.

（4）教师指导学生按照不同的探究路径梳理自己的探究成果，不断强化学生对数学探究活动的认知，针对学生在探究过程中遇到的问题与障碍，筛选、收集示范展示案例，按照一定的逻辑关系，对学生探究获得的结论进行排序，指导学生为第2课时的展示交流做好准备. 具体内容见第2课时的展示.

第2课时：项目研究中期交流.

环节1：展示成果，启迪思维.

具体任务：大家经过前期的探究各自收获了一些成果，也遇到了一些困难，深切感受到提出一个有价值的问题比论证一个已有的结论困难得多. 因此，我们把本次中期汇报的重点确定为展示并交流“发现和提出问题的脉络”.

师生活动：教师在课前对学生的成果进行整理，课上引导学生按照在第1课时环节2及环节3中总结出来的研究思路有序地、系统地表述研究成果，重点展示发现、提出问题的过程，小组间相互评价，提出下一步研究的建议.

实际教学情况：以三角形“向量闭合回路”为起点，按照向量的线性运算与数量积运算为两条展示方向，分层展示三角形性质的发现过程，注重强调性质之间的联系.

例如，三角形重心与顶点的连线将三角形的面积三等分[S△ABG=S△BCG=S△CAG=13S△ABC.] 将重心一般化会有什么类似结论？利用GeoGebra软件发现，在[△ABC]中，[G]是重心，[GA+GB+GC=0]已经呈现，再把上式中[GA， GB， GC]分别作任意伸缩[GA=xGA， GB=yGB，][GC=zGC，] 即[?x，y，z∈R+，] 使得[xGA+yGB+zGC=0.] 此时点[G]是[△ABC]内任意一点，收获如下一般性结论.

结论11：对于[△ABC]内任意一点P，有[S△APBPA+][S△BPCPB+S△CPAPC=0. ]

再由一般到特殊：可将点P位置特殊化，分别让点P与“四心”之一重合能收获什么成果呢？

在[△ABC]中，点[G]表示重心，点I表示内心，点O表示外心，点H表示垂心. 得[GA+GB+GC=0.]

结论12：对于[△ABC]的内心I，有[aIA+bIB+][cIC=0.]

结论13：对于[△ABC]的外心O，有[sin2A · OA+][sin2B · OB+sin2C · ?OC=0.]

结论14：对于[△ABC]的垂心H，有[tanA · ?OA+][tanB · OB+tanC · ?OC=0.]

由于外心与垂心不一定在三角形内部，因此可以把点P再一般化到[△ABC]所在平面内的任意一点P，还会有类似结论吗？

环节2：布置作业，完善成果.

项目专题作业：（1）对已有成果整理所成的资料中的论证过程进行仔细阅读并纠错，对重大逻辑缺陷进行修订.

（2）对本组未能想到的问题开展探究，或将探究进一步延伸，同时完成结题报告.

要求：小组课下活动完成，一周之内完成.

实际教学情况：（1）学生此时容易满足于某一组结论的发现和论证，裹足不前. 教师可以引导学生展开小组间研讨，取长补短，同时给予学生精神上的鼓励与支持，促进探究活动不断深入推进.

（2）随着探究的深入，三角形中的要素和相关要素会变得生疏、关系复杂，探究对象的直观性降低，计算难度提升，导致探究推进的难度增加. 教师应该引导学生主动借助GeoGebra软件等信息技术手段，提升图形直观性. 合理确定基底，降低运算的复杂性.

（3）学生对评价方案的理解较为单一，普遍认为评价即为量化评价. 教师应该引导并鼓励学生提前相互审阅探究成果，结合该组在活动中的综合表现，对比自我表现，认真撰写客观公正、富有创意、言辞优美且富有数学韵味的结题评价语.

（4）学生在教师的指导下，按照展示要求制作演示文稿，撰写结题报告.

第3课时：项目作品，展示分享.

环节1：分组汇报，成果分享.

师生活动：小组项目负责人汇报成果，其他成员补充并做好记录，认真反思，取长补短，教师记录对该组的质疑，汇报后可以提问，指出各组的优、缺点.

实际教学情况：经过前期充分的探究和认真的梳理，学生此次汇报非常精彩.（汇报成果见本文对应线上资源.）

环节2：项目总结，反思升华.

师生活动：学生谈对数学探究活动的体会，以及在活动中的收获. 师生共同评出优胜小组. 教师做出结题评价. 教师针对学生在活动中的表现为各小组撰写结题词.

实际教学情况：由于要求学生用相互撰写结题词的方法开展小组间结题评价，这就需要学生仔细阅读与研究其他组收获的成果与结题报告. 因此，小组互评也是开展二次探究相互借鉴的极佳平台. 大量语言优美、客观公正的结题词出现，也是对学生劳动成果的一种肯定，更能激发学生的探究兴趣.

二、教学反思

1. 课下苦耕耘，课上展风采

数学探究活动是转变学生学习方式的一种有效途径. 数学探究活动的主阵地是在课下，课上、课下各有其功能. 课下是开展深度探究的时间，课上是展示交流、互相启迪的场所.

本次探究活动，学生课下活动的时间远远多于课上的时间. 第一次课下活动是在启动项目之前，学生自主阅读教材了解数学探究，了解探究的内容、方法等. 第二次课下活动是在第1课时之后，这是一个艰辛漫长的过程，也是冲破思维定式、超越自我、探索成果、收获成就感、体验数学探究乐趣的过程. 第三次课下活动是在第2课时之后，学生经历了项目研究的中期交流，相互启迪思维，总体思考，构建了探索研究的思维框架，完善了自我研究成果. 第四次课下活动是在第3课时之后，完善成果、发布成果、完成数学探究. 课下探究的方式包括自主探究、小组合作探究，以及教师帮助之下的探究.

课堂上的交流与展示让学生进行思维碰撞是必要的，但必须是在学生经历了课前的思考并形成一定的认知之后. 而且算法的设计、结论的驳斥与论证都需要学生置身于一个安静的环境，通过思考，不断试错，才能最终收获成果，仅凭课堂上的45分钟是无法完成的. 因此，真正的数学探究一定要保证学生充足的自主探究时间.

2. 兴趣开路，成就感引领，攀登“美”的高峰

以项目学习的方式开展数学探究活动，更能让学生在做项目的过程中不断获得“成就感”，使其探究兴趣得以保持.

《标准》指出，尝试从数学的角度刻画审美的共性，主要包括简洁、对称、周期、和谐等. 学生反复尝试向量运算，在众多结论中确定何为终点. 在探究的过程中，由于选择方法不佳，他们陷入了繁杂计算的泥坑，但是他们没有放弃，几次反思之后，终于一跃而出，虽然过程艰辛，但是也有意外收获. 针对相同的问题，不同的小组选择了相同的思路，但是却选择了不同的基底，于是解法难易度的差别很大，但是这两条路没有优劣之分. 选择简洁的路，能够快速达成目标，享受了数学简洁美带来的成就感;选择复杂的路，获得了额外的收获，享受了数学的结构美. 他们一路前行、一路探索，直到一个符合数学美的结论出现. 一个“美”的结论，让人赏心悦目，更容易留下深刻印象. 这一个个“美”的结论，就是攀登数学高峰的阶梯，在这个探究活动中，学生充分感受到了. 特别是最后总结出来的结构图，带领学生攀登到了“美”的高峰.

这一次探究活动，无论对教师还是对学生都是全新的体验. 虽然问题的发现、解决都是由学生完成的，但是教师必须有充分的准备. 一方面，教师要对所探究问题的解决有系统的分析和研究;另一方面，教师要对探究过程中出现的任何问题有敏锐的认知，并给予学生方法的指导及精神的鼓舞，让数学探究历经艰险达到成功. 以成功激励成功，以成功激发兴趣. 数学探究让教学回归数学学习本真，荡涤心灵、陶冶情操. 这次数学探究活动，使学生真切感受到了数学探究的魅力，开拓了学生的思维，增加了学生数学学习的信心，是值得去做且应该去做的.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[3]张永刚.“兴趣”引领 “项目”實施：“正方体截面的探究”教学设计与反思[J]. 中国数学教育（高中版），2021（3）：45-52.