初中数学中考应用性问题解题技巧探析

刘欣和

数学应用性问题体现了数学理论知识的应用场景。为了提高学生的学习效率，降低学生学习难度，初中数学教师有必要多让学生接触一些应用性问题，让学生将理念同实践充分地结合起来。通过多多实践，学生可以丰富数学思维，学会数学方法，提升数学技能。教师应提醒学生在实践中积累经验，学会总结归纳，提高数学逻辑思维能力，以出色的成绩备战中考。

1. 初中数学中考应用性问题剖析

初中数学应用性问题在中考中通常以压轴题形式出现，考验着学生解决综合问题的能力。应用性问题通常具有分值大、难度高、综合性强、解题步骤多的特点，重要性不言而喻。由于部分学生综合能力偏差、逻辑思维能力较差、解题技巧掌握得不多，因而就导致在应用性问题上失分较多。所以说，应用性问题解决的好坏，在某种程度上将直接影响一名学生的中考数学成绩。为了不让学生因应用性问题过多丢分，教师在平日的教学过程中，有必要对学生进行专项优化训练，传授学生一些解决应用性问题的技巧，提高学生解决应用性问题的能力。

纵观近几年的中考数学题，考查范围大致集中在方程或方程组类、函数类、不等式类、几何类和统计类。这几类应用题几乎涵盖了初中数学的各个领域，且与人们的日常生活具有紧密的关联性。为了提高学生的中考数学得分率，数学教师必须精选例题，准确把握中考动向，多选择一些较为学生熟悉的热点问题，有针对性地对学生进行指导训练，让学生把握好每一类题型的解题方法和解题技巧，为提高整体成绩奠定基础。

2. 数学中考应用性问题解题技巧

数学中考应用性问题的解题思路可以概括为阅读、理解题干，将具体问题转化为数学问题，利用所学数学知识解决问题三大步。这是解决此类数学问题的最常用方法。当然，面对不同的数学问题，所选用的数学方法、所运用的数学知识也不尽相同，学生需要根据具体情况灵活掌握。下面，本文将以两个数学应用题的解题思路和解题方法为例，分步进行探讨，以期达到和各位同仁交流之目的。

2.1 方程类应用题

汶川发生地震后，为了尽快驰援震区，某帐篷厂需要完成24000顶帐篷的生产任务，每天的生产量比原来的多一半，且提前4天完成任务。问该厂原来每天生产多少頂帐篷？

为了顺利解决问题，教师需要一步步地引导学生，理清逻辑关系和数量关系。

2.1.1 读材料、分析问题、寻找等量关系

通过阅读材料可以知道，要想顺利解决这道应用题，首先要建立起等量关系来。根据题意，我们可以确定两个等量关系：数量上的等量关系：由题意可知：扩大产能后每天的生产量比原来的多一半，也就是说，扩大产能后每天的生产量是原来的1.5 倍，如果设原来每天的生产量为X，则现在每天的生产量为1.5X;时间上的等量关系：由题意可知：由于扩大了产能，任务提前4天完成了。由此我们不难找到数量关系。扩大产能前，总共需要24000/X天才能完成生产任务，现在，只需用（24000/1.5X）天即可完成生产任务。

2.2 根据等量关系，列方程

24000/X=（24000/1.5X）+4

2.3 解方程

方程不难，经解得：x=2000

现在再来回顾一下解决此类问题的技巧。面对此类应用性问题，第一步是要设定一个未知数。设未知数通常有两种思路，一种是直接根据问题所问，将最终所问设定成未知数;另一种是寻找一个适宜的量，也就是说，根据题意看设哪个量方便就设哪个量。等将未知数求出来以后，再根据未知数同最终所问的量的关系来求出最终所问。通过读题可以知道，此题问的是该厂原来每天生产多少顶帐篷。由于题中直接给出一个条件：扩大产能后每天的生产量是原来的1.5倍，所以，我们可以采取第一种设定未知数的方法，将问题所问（该厂原来每天生产多少顶帐篷）直接设定成未知数。解决这个问题的第二个关键是寻找等量关系。由于根据确定的24000顶帐篷的生产任务，我们可以通过带有未知数的代数式表达出扩能前和扩能后为完成生产任务分别所需的天数。又由于题中说明了通过扩大产能使工厂提前4天完成了任务，所以，可以通过天数来建立等式。这是这个问题能够得到解决的关键所在。

为了提高教学效率，数学教师应教会学生一通百通，即掌握了一道题的解决方法后，要能够解决类似的许多问题。学生通过解决典型题捋清了解题思路，再面对同类问题时就可以在短时间内找到问题的关键所在，从而顺利将问题解决。教师要提醒学生进行验算，将所求得结果带回原题中检验一下，以验证解得是否正确。以本题来说，学生可以将2000带回去验算一下。扩大产能前，工厂每天生产2000顶帐篷，为了完成24000顶帐篷的生产任务，需要12天。扩大产能后，工厂每天生产3000顶帐篷，为了完成24000顶帐篷的生产任务，则需要8天，正好提前4天完成了任务。可见，此题解得无误。利用方程解数学应用题的关键是读懂题意后捋清数量关系，进而列出等式。对于复杂一点的应用题，选择合适的未知数列方程是关键的一步。得出未知数后，再在未知数与所要求的数之间建立数量关系，即可得出最终答案。运用方程解数学应用题的关键是通过准确寻找数量关系建立起等式来。只有建立起等式，才能求出未知数。未知数有时是直接要求的数，有时与要求的数具有一定的数量关系。总之，求出未知数后，距离最终解决问题就只差一步之遥了。

且看下面案例：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发，沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地。问：A、B两地间的路程是多少？

若想求得A、B两地之间的距离，就要首先知道交通工具运行的时间和速度。现在，客车和卡车的速度都已经知道了，只是不知道它们运行的具体时间。不过，题中已经说从A地到B地客车比卡车少用了1个小时。由此，我们就可以建立起等式来。由于A地到B地的距离是固定不变的，我们可以根据这个条件建立起数学等式。现在，我们可以假设客车从A地到B地一共走了X小时，那么，卡车从A地到B地则需要走（X+1）小时。根据A地到B地的距离是固定的，现在建立起数学等式：

70X=60（X+1）

解方程得：X=6

现在知道了客车从A地到B地的运行时间。用时间乘以速度，就可得出全程距离了。

6×70=420

所以，A、B两地间的路程是420km。

有的同学习惯将问题要求的最终结果设定为未知数。当然，这样也同样可以得出答案。不过，等量关系就需重新来进行确定。比如，就上面这个问题来说，我们如果将A、B两地间的路程设定为未知数，那么就要在交通工具运行时间上建立起等量关系来。根据题意我们知道：客车比卡车早1小时经过B地。现在，我们假设A、B两地间的路程为X，那么，客车需要运行的时间是X/70，卡车需要运行的时间即是X/60，根据客车比卡车早1小时经过B地这一已知条件，我们建立起等式关系：

（X/70）+1=X/60

同样可以求得X=420km。

可见，只要找到等量关系，不论怎样设定未知数，均可求得最终答案。许多学生不会运用方程解决应用性问题，其存在的最大障碍就是捋不清应用性问题的逻辑关系。针对此类困难，数学教师无需过于着急，而应通过具体问题的解决一点点教会学生建立起数学逻辑思维来，找准解决问题的关键。且看下面这一例题：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？要想顺利解决这个应用性问题，学生必须具备一定的数学逻辑思维能力。根据问题所问，要求学校总共有多少学生，就需要将该校的男生和女生加起来，这是最简单的逻辑推理。可是，题中既未给男同学的具体数量，也没有给出女同学的数量，只是给了两个数量关系：一是说女生占全体学生数的52%，一是说女生比男生多80人。我们可以根据这两个仅有的线索，建立初步的数量关系，然后再求得最终结果。现在，我们可以根据问题所问，直接设定该校共有X名学生，这样，女生数就是52%X。根据“女生比男生多80人”这个已知条件，可以知道该校男生总数为52%X-80。这样，将男生数和女生数加在一起就是学校学生的总人数，这是一个等量关系。学生如果能够想到这一步，也需具备简单的逻辑思维能力。

52%X+52%X-80=X

解方程得：X=2000

同理，如果将男生数或女生数设定为未知数，通过寻找相应的数量关系，最终也可求出答案来。可见，不论如何设定未知数，只要保持清醒的逻辑思维，进而建立起准确的数量关系，都是解决此类问题的关键。

2.4 方程组类应用题

某校组织学生到海边去旅游，需要准备一批帐篷。供销商提供两种帐篷规格，一种是可供3人纳凉的小帐篷，每顶价格是160元;一种是可供10人纳凉的大帐篷，每顶价格是400 元。学校总共支付供销商96000元，正好供2300名学生使用，请问：每种规格的帐篷学校各需采购多少？现有甲、乙两种类型的卡车若干辆，甲类卡车可以同时运送4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙类卡车可以运送8顶小帐篷和7顶大帐篷，应如何分配帐篷才能一次将所有帐篷运至度假地？面对此类问题首先仍要确定好未知数。我们可以首先设采购X顶小帐篷，采购Y顶大帐篷，则可得方程组如下：

160X+400Y=96000

3X+10Y=2300

很容易解得方程，求出两个未知数：

X=100

Y=200

也就是说，总共需要采购100顶小帐篷和200顶大帐篷。下面考量车的安排。我们可以设安排甲类卡車X量，安排乙类卡车则为Y辆。那么甲类卡车共能运送4X顶小帐篷和11X顶大帐篷，乙类卡车共能运送8Y顶小帐篷和7Y顶大帐篷。下面建立方程组：

100=4X+8Y

200=11X+7Y

解不等式组得：

X=15

Y=5

总结：

利用方程解数学应用题的关键是读懂题意后捋清数量关系，进而列出等式。对于复杂一点的应用题，选择合适的未知数列方程是关键的一步。得出未知数后，再在未知数与所要求的数之间建立数量关系，即可得出最终答案。当然，并非所有应用性问题均需通过方程（或方程组）来解决。有时，具体运用何种数学方法还要结合具体问题特征。比如，涉及到几何问题时，教师要提醒学生首先构图，然后根据图形特点寻找数形关系，寻找解题路径。有时，学生需要借助于辅助线解决几何类问题，这需要学生通过大量的实践摸索出构筑辅助线的方法。教师应提醒学生在生活中留意观察与数学问题相关的生产生活难题，如果学生经常能够运用数学知识解决此类问题，在中考时，面对应用性问题就不会发慌。在解决函数类应用性问题时，学生要准确辨识迷惑项，找准存在函数关系的两个变量，这是至关重要的一步。在解决不等式类问题时，学生要确定上下限数值，这样才能够构建起符合题意的不等式来。