在操作活动中完善认知结构

洪浩芳

【摘   要】串讲复习指的是将某个大范围的知识通过一条主线按某一个顺序“串起来”进行复习的一种方式。以“三角形的認识”单元复习教学为例，教师通过让学生“经历知识产生的过程，加深知识理解;打通知识之间的联系，突破知识难点;体会知识之间的内在联系，完善认知结构”三个教学环节，沟通“三角形的认识”相关知识，帮助学生建立更为完善的认知结构。

【关键词】串讲复习;操作活动;认知结构

串讲复习指的是将某个大范围的知识通过一条主线按某一个顺序“串起来”进行复习的一种方式。以“三角形的认识”单元为例，本单元的“大范围”知识包含认识三角形的特征、三角形的稳定性、三角形的高、三角形的分类、三角形的三边关系这5大块内容。教师通过解读“三角形的认识”在“图形与几何”版块中的地位与价值，从单元整体把握的角度，确定串联本单元相关知识的“一条主线”为“边—角”。这是因为学生认识三角形的认知顺序是连点成线、连线成角、连角成形的。本单元的所有内容都可以由“边—角”串联起来。如三角形的三条边确定了，那么它的形状也是唯一确定的;三角形的分类从边、角两方面进行;三角形三边关系、三角形的高等内容同样与三角形的边和角紧密相关。几何图形的认识重在操作与体验，因此，本课教学的序可以定位为“数学方法的序”，即让学生在动手操作的过程中回忆旧知，串联成网，完善认知结构。

基于以上分析，教师将本节课的教学目标定为：（1）进一步认识三角形的特征、高、分类、三边关系及稳定性;（2）通过三角形的“边”和“角”，将5个知识点串联成网;（3）经历知识的形成过程，感受数学的严谨性与科学性。

一、经历知识产生的过程，加深知识理解

点、线、角则是组成三角形的基础。学生经历三角形产生的过程，有利于更好地了解知识的来龙去脉，联结点、线、角与三角形之间的关系。

（一）连点成线，感受线段之间的关系

师：请同学们在纸上画两个点，分别标注A和B。连接A点和B点，你看到了什么？

生：看到了一条线段。

（教师在黑板上画一条线段，标注AB，并在线段AB之间任取一点，标注C，如图1）

师：现在，你看到了几条线段。它们长度之间有怎样的关系？

生：我看到了三条线段，它们分别是线段AC、线段BC和线段AB。

生：线段AB比线段AC和线段BC都要长，而且AC+BC=AB。

生：我有补充，要使AB比线段AC和线段BC都要长，C点必须在A点和B点之间，即不能和A点和B点重合。

（二）连线成角，感受角与线之间的关系

师：现在，闭上眼睛，在头脑中画一条线段AB，并在线段AB外任意取一点C，连接A点和C点。想一想，你看到了什么？

生：我看到了三条线段，分别是线段AC、线段AB和线段BC。

师：猜一猜，他把点C画在哪儿了？

生：他的C点画在AB的延长线上。（如图2）

生：我看到了一个角，这个角可能是锐角，可能是钝角，也可能是钝角。

（学生介绍，教师把各种情况展示在黑板上）

师：什么是锐角。

生：比90度小的角叫锐角。（如图3）

生：我看到了一个钝角，钝角是大于90度小于180度的角。（如图4）

生：我看到了一个直角，直角是等于90度的角。（如图5）

（三）连角成形，感受三角形各知识之间的联系

1.复习三角形的特征

师：现在请你连接B点和C点，仔细观察，你又看到了什么？

生：我看到我画的是一个三角形。

生：我看到了三角形有三条边，三个角。

生：我还看到了三角形有三个顶点。

2.复习三角形的三边关系

师：刚才，同一条直线上的三条线段有AC+BC=AB的关系。那么，不在同一条直线上的三条线段，它们的长度之间又有怎样的关系，为什么？

生：我觉得AC+BC>AB，因为AB是一条线段，AC+BC是一条折线，而我们知道两点间的距离，线段最短。所以AC+BC的和一定大于AB。

生：我有补充，同样道理AC+AB>BC、AB+BC>AC。

生：也就是三角形任意两边之和大于第三条，这就是三角形的三边关系。

3.复习三角形的分类

师：再观察一下你画的三角形，是什么三角形？为什么？

生：我画的是一个直角三角形，因为它有一个角是直角。

生：我画的是一个锐角三角形，因为它的三个角都是锐角。

生：我画的是一个等边三角形，因为它的三条边都相等。

生：我画的是一个钝角三角形，因为它有一个角是钝角。

生：我画的是一个等腰三角形，因为它的两条边相等 。

生：我来总结，也就是说三角形按角分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，按边分可以分为等边三角形和等腰三角形。

师：为什么同样是三个点首尾连接，却可以产生这么多不同的三角形呢？

生：因为我们每个人确定的C点位置都不一样，所以画的三角形都不一样。

4.复习三角形的稳定性

师：老师在黑板上画的三角形它的长度分别为3分米、4分米、6分米，如果有这样的三根小棒让你摆三角形，你能摆出几个形状不同的三角形？为什么？

生：只能摆一个，因为三角形具有稳定性。相同的三根小棒不管怎么摆都只能摆出1种形状的三角形。

师：那为什么三角形具有稳定性呢？让我们来听听小博士的讲解吧！

（多媒体播放微课，讲解三角形的稳定性）

二、打通知识之间的联系，突破知识难点

画钝角三角形的钝角边上的高是学生学习的难点。师生就画垂线和畫高进行了有效的沟通，较好地解决了这个难点问题。

（一）画三角形的垂线

师：请同学们过点C画AB的垂线。

（教师展示学生作品，重点交流图6中的第3幅）

师：线段AB为什么要向左延长？

生：因为过C点，在线段AB中间找不到垂足，只能在线段AB所在的直线上，又因为点C在线段AB的左边，所以要把线段AB向左延长。

师：说得太好了，作业纸上也有这样一个三角形，请大家画一画AB边上的垂线。

（二）沟通垂线与高之间的关系

师：请同学们仔细观察，我们所画的垂线，你发现了什么？

生：我发现我们画的垂线其实就是三角形AB边上的高。

师：是的，其实画三角形的高就是过一点画已知直线的垂线。现在我们已经画了三角形的其中一条高，请你画出三角形的另外两条高。

（画完后，重点展示钝角三角形钝角边上的两条高，并请学生说一说是怎么画的;画完自己画的三角形的三条高，让学生再把作业纸上钝角三角形的三条高也画出来。）

（三）比较三种不同三角形三条高的异同点

（教师展示的三种三角形三条高如图7），并让学生仔细观察，这三种三角形的高有什么相同的地方，有什么不同的地方;学生先独立观察，再小组交流）

生：不同的地方是锐角三角形的三条高都在三角形里面，直角三角形有两条高是它的两条直角边，钝角三角形的两条高在三角形的外面。

师：如果把钝角三角形的三条高延长相交于一点，你能发现他们的相同之处吗？

生：哦，我发现这三种三角形的三条高最后都相交于一个点。（如图8）

三、体会知识之间的内在联系，完善认知结构

数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解。几何图形的认识归根结底要从边和角两个维度去思考。本节课教师引导学生从边和角之间的关系，把三角形相关的各个知识点串联在一起，形成一个完整知识结构，从而使学生真正体会到数学知识之间的内在联系及数学本质。

师：同学们，刚才我们动手操作了三角形的形成过程，并复习回顾了三角形的特征、三角形的高、三角形的稳定性和三角形的三边关系。那么，这些知识的内在联系有哪些呢？为什么？

（让学生先独立思考，再在小组内交流）

生：我们小组认为是“边”。因为三角形的三边关系就是根据边的长短来确定的。

生：我们小组也认为是“边”。因为，三角形可以根据边的长短来进行分类，也可以根据边的长短来判断是否能组成三角形。

生：我们小组认为是“边”和“角”。我们有几点理由，一是三角形的特征就是研究有几个顶点，几条边，几个角。二是三角形的分类可以根据边的长短来分，还可以根据角的大小来分。三是三角形的稳定性，也是由边和角决定的。

师：同学们说得都很有道理。的确，我们在研究三角形的时候就是在研究它的边和角。那么，请同学们思考一下，三角形的高与它的边和角有没有关系呢？

生：我认为也是有关系的，三角形的高其实就是从顶点向它的对边所画的一条垂线，而这条垂线与对边必须相交成直角。

（教师根据学生的回答，从三角形的边和角出发，联系各个知识点之间的关系，在板书中勾画出图9的思维导图）

师：看到这个图，你有什么想说的？

生：我觉得边和角很重要，三角形的每个知识都与它有关。

生：我想到了我们原来认识四边形的时候也是根据边的长短和角的大小来给四边形分类的。

……

师：是的，不管是以前学习的四边形，现在学习的三角形，还是将来要学习的平行四边形、梯形等图形，我们都需要从“边”和“角”两个维度去观察、研究它。

整节课，教师设计了一系列让学生动手操作的数学活动，紧紧围绕“边”和“角”，引导学生感悟三角形各类知识之间的内在联系，并链接过去与未来，跳出单元的框架，帮助学生串联了一个完善的认知结构。

（浙江省绍兴市柯桥区夏履镇中心小学   312026）