灵活应用所学知识解决问题

王岚

学习知识一定要活学活用，学习数学亦是如此，切记不能生搬硬套、墨守成规.“看菜吃饭，量体裁衣”，说的也是这个道理.我们一定要根据实际情况灵活应用所学知识解决问题.

例1 甲、乙两人分别在六次射击中的成绩（单位：环）如右表所示：你知道在六次射击中成绩发挥比较稳定的是哪一位吗？

思路点拨：看过此题就知道是要比较稳定性，有的同学立刻联想到老师讲过的规律，“方差越小，数据的波动就越小，该组数据就越稳定;方差越大，数据的波动就越大，该组数据就越不稳定”，从而得出结论.这种做法有点墨守成规，计算起来比较麻烦.仔细观察两组数据就会发现：甲组数据的极差是：8 - 6 = 2，乙组数据的极差是：9 - 5 = 4，且甲组数据中有3对相同的数据，乙组数据中仅有2对相同的数据. 另外甲组数据中有2个数等于平均数7，而乙组数据中没有等于平均数的数据. 据此断定甲组数据波动小，也就是说甲組数据稳定，根本没有必要计算方差.

例2  如图1，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O分别作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求证：OE = OF.

马小虎同学不假思索地做出如下证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA = OC.

∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO = ∠CFO = 90°.

∵∠1 = ∠2，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE = OF.

这种证法看似天衣无缝，其实却有漏洞.通过证明△AOE与△COF全等，然后利用“全等三角形的对应边相等”来证明OE = OF，这个证明思路没有问题. 不过为什么会有“∠1 = ∠2”呢？他竟理直气壮地回答：“∠1与∠2是对顶角，当然相等.” ∠1与∠2真是对顶角吗？假如∠1与∠2是对顶角，那么点E，O，F三点应该在一条直线上.可是从已知条件中无法得出这个结论. 俗话说，“条条大道通罗马”. 由于证明E，O，F三点共线既困难又麻烦，因此我们可以绕过这个“关卡”，避免证明E，O，F三点共线. 下面提供三种思路.

思路点拨：方法一：从证明∠EAO = ∠FCO入手，证明△AOE≌△COF.

方法二：由OE，OF分别是△AOD与△BOC的高，联想“全等三角形对应边上的高相等”，可以考虑证明△AOD≌△COB.

方法三：由高联想面积，要证OE = OF，由于AD = BC，可以考虑证明△AOD与△BOC的面积相等.

由此看来，解决数学问题时，不要“钻牛角尖”，要注意“避其锋芒”，换一个角度，曲径通幽，会达到“柳暗花明”的境界.

例3 如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 2，D是线段AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF，则四边形DECF的面积 = .

思路点拨：常规解法：如图3，连接CD，证明△ADE≌△CDF（或△CDE≌△BDF），将S四边形DECF转化为S△ADC（或S△BDC），从而有S四边形DECF = [12]S△ABC = [12] × [12] × 2 × 2 = 1.

特殊解法：正方形有如下性质：两个边长相等的正方形，如果其中一个正方形的顶点经过另一个正方形的中心（两条对角线的交点），那么这两个正方形重叠部分的面积等于其中一个正方形面积的[14]. 即如图4，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A'B'C'O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等. 设OA'交AB于点E，OC'交BC于点F，则S四边形BEOF = [14]S正方形ABCD = [14]S正方形A'B'C'O. 运用正方形的这个性质，就能根据图4将图2补成图5，直接得出正确答案.

希望以上三例对同学们学习数学会有一定启发. 活学活用能让思维更加灵活，同时还能让我们感受到学习数学的快乐！

（作者单位：福建省石狮市石光中学）