正方形半角模型常见结论及应用

王雪洁

真题呈现

例 （2021·辽宁·本溪·改编）如图1，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE. 下列结论中：①∠BEC = ∠ECD;②EC平分∠BEG;③S△CEG = S△CBE + S四边形CDQH;④∠ECG = 45°. 正确的是   （填序号即可）.

构建模型

如图2，从正方形的一个顶点引出两条夹角为45°的射线，这两条射线交正方形的边于两点，连接这两个交点，由于两射线的夹角45°是正方形一个内角90°的一半，故该图形被称为“正方形半角模型”，又称“角含半角模型”. 其中，这个包含45°角的三角形称为“半角三角形”（即图2中的△AEF）.

辅助线：1.给出角度，旋转补短，如图3;2. 没给角度，作垂截长，如图4.

模型结论

如图2，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC和CD上，满足∠EAF = 45°，连接EF，则有如下结论：

结论一：EF = BE + DF.

解析：如图3，延长CB到点F′，使BF′ = DF，连接AF′（也可延长CD至点E′，使DE' = BE）. 先证△ABF′≌△ADF（SAS），易得∠EAF′ = ∠EAF，再證△AEF′≌△AEF（SAS），可证得EF = BE + DF.

结论二：EA平分∠BEF，FA平分∠DFE.

解析：将半角两侧的三角形通过旋转合并到一侧形成新的三角形，然后证明新三角形与半角三角形全等，从而得出线段、角之间的数量关系.

如图3，由△AEF′≌△AEF，可得EA平分∠BEF，FA平分∠DFE.

结论三：S△ABE + S△ADF = S△AEF.

解析：如图3，由全等三角形面积相等，易得S△ABE + S△ADF = S△AEF.

结论四：过点A作AH⊥EF，垂足为H，则AH = AB.

解析：如图4，过点A作AH⊥EF，垂足为H，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可得AH = AB.（也可证△AEB≌△AEH，△AFH≌△AFD，得AB = AH = AD，从折纸的角度可以更好地理解半角模型.）

规律：如图2，正方形半角模型命题中的条件和结论可以分为：①∠EAF = 45°;②EF = BE + DF;③EA平分∠BEF，FA平分∠DFE;④AH = AB.只要满足其中任意一个作为已知条件，其他都可成为结论.（请同学们逐一尝试证明）

例如：如图2，已知EA平分∠BEF，FA平分∠DFE，由上述规律可得一系列结论，即规律中的①②④. 例题中就隐藏了这样一个“正方形半角模型”，只是字母顺序不同.

模型应用

解析：如图1，由AB[?]CD，可得∠BEC = ∠ECD，则①正确;

由折叠对称可得∠FEC = ∠ECD，结合①可得∠BEC = ∠FEC，则②正确;

如图5，应用“正方形半角模型”，过C作CI⊥EG，垂足为I，

先证△CBE≌△CIE（AAS），再证Rt△CIG≌Rt△CDG（HL），

可得S△CEG = S△CBE + S△CGD，则③不正确;

易证IG = DG ，∠ICG = ∠DCG，则∠ECG = ∠ICE + ∠ICG = [12]（∠BCI + ∠DCI） = 45°，则④正确.故应填①②④.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：5分钟

如图6，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，∠EAF = [12]∠BAD，点E，F分别在边CD，BC上，探究线段DE，BF，EF 之间的数量关系.

趣味数学

你能用《哆啦A梦》的主题曲把“正方形半角模型”的口诀唱出来吗？

共定点，等线段，遇见半角就旋转，脑子里边想旋转，证明要写造角边.

截长补短用一遍，三条线段变两段，垂直全等来牵线，等量关系就出现.

（作者单位：沈阳市第一四五中学）