PCK视域下初高中函数概念衔接教学策略

[摘  要] PCK（教学内容知识）是数学教师教学必备知识. 以初高中函数概念衔接教学为载体，从MK，PK和CK三个维度，以高中数学课程标准为要求，探讨PCK在数学教学过程中的作用.

[关键词] PCK;函数概念;初高中衔接

《普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）》明确指出：数学学科核心素养是“具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现”[1]. 这样的背景下，数学教师的教育教学理念、教学方法和手段以及教师角色都需要重新定位. 实践证明，不管采用哪种教学模式，学生主体地位的体现程度都取决于教师的主导作用的发挥，而PCK（教学内容知识）是能够支持教师体现主导作用并进行有效教学的最直接、最有效的专业知识.  黄毅英、许世红明确给出了数学教师教学知识的结构，包括MK（数学知识）、PK（教学法知识）、CK（内容知识）三个部分，是数学教师教学必备知识，而PCK是这些必备知识的公共部分[2].

函数作为初高中衔接的核心知识，不仅在高中知识体系中具有统领作用，而且对于发展学生的抽象思维和符号语言意识、帮助学生建立模型思想具有重要的意义，影响着高中数学中所有函数内容的学习.

[?]从CK的角度来看

CK（内容知识）是指教师具备的数学学科概念及其他知识，即教师要掌握数学概念的本质、内涵和外延以及学科内和学科间的联系，也就是“教什么”的问题.

1. “课程标准”分析

“初中课程标准”的要求是通过简单实例，了解函数的概念和三种表示方法[3];“高中课程标准”的要求是通过学生日常生活中熟悉的实例，用变量的关系，从集合的角度描述函数概念，通过学习建立完整的函数概念，深刻理解对应关系和符号的意义.

2. 高中教材分析

（1）高中教材（人教A版，后同）的“函数的概念和性质”位于“一元二次函数”和“幂函数”之间. 通过回顾初中熟悉的一元二次函数模型，再从集合角度学习函数概念和性质，紧跟着学习幂函数，巩固研究函数的一般思路和方法. 在函数的概念教学中，应该把握概念教学的基本路径，增强教学的整体性.

（2）注重现实问题情境的设置. 教材通过四个日常生活中的真实情境，引导学生思考“上述问题中的函数有哪些共同特征？”由此概括出函数概念的本质特征. 在丰富的活动情境中，培养学生的数学思维.

（3）例题、习题的设置有梯度，循序渐进地培养学生的抽象能力和建模能力. 教材注重数学内容本身的背景和模型应用，重视发展学生的抽象思维和符号语言意识.

综合以上分析，高中的“函数概念”对内容知识（CK）有以下要求：

（1）对函数三要素、“集合对应说”的理解不能停留于表面;

（2）掌握函数与方程、不等式之间的密切联系，课堂问题的设置要呈现梯度;

（3）运用函数观察、研究事物运动变化规律是一种重要的思想，函数是客观世界运动变化规律的重要模型;

（4）整体而言，要从整个单元的高度进行函数概念教学，让学生循序渐进地掌握知识.

[?]从MK的角度来看

MK（数学知识）需要结合学生已有知识和认知水平来分析教学内容，从知识内容、思想方法、能力素养等方面分析学生已经掌握的情况，即教师要掌握学生的最近发展区的情况. 同时，教师要了解学生在高中函数概念学习中可能遇到的知识困难和思维障碍，也就是“学什么”的问题.

1. 知识层面

在初中阶段，学生已经从“变量说”层面学习过函数概念，并且学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，这是高中阶段从“对应说”层面学习函数概念的基础. 以初中所学的函数知识为基础，在“预备知识”（必修第一册第二章）中回顾梳理了二次函数知识. 这样学生就充分具备了进一步学习函数概念的最近发展区知识. 但是，为什么要重新定义函数概念？如何通过实例体会对应关系的真正含义和函数的抽象符号表示？解答这些问题对学生来说还是比较困难的.

2. 思想方法、核心素养层面

在初中阶段，通过具体函数的学习，已经初步培养了学生函数与方程思想、转化與化归思想、数形结合思想以及数学建模素养、数学抽象素养. 高中教材在实例分析的基础上，通过比较、归纳、总结出不同案例的共同特征，建立函数概念，这是在初中阶段学习函数的基础上强化培养学生数学抽象素养的过程. 因此，要让学生充分观察、分析、归纳（舍弃无关信息，聚集关键特征，获得共同属性），形成总结函数概念所需要的素材，然后归纳总结函数三要素，这有助于培养学生的分析能力和创新精神[4]. 构建问题情境解释函数的对应关系，可以进一步让学生体会函数的模型应用，强化培养学生的数学建模核心素养.

根据以上分析，笔者认为做好初高中函数概念教学衔接的关键是：以初中阶段已学的函数知识（变量之间的依赖关系）为基础，用数集的对应关系来描述函数，建立新的函数定义，理解新定义的必要性，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

[?]从PK的角度来看

PK（教学法知识）就是教师在MK和CK的基础上，具体落实课堂教学内容. 换句话讲，就是教师根据MK确定教学重点，根据CK确定教学难点，并有针对性地提出突出重点和突破难点的策略，创设合适的情境，设置合理的问题，利用多种途径获取能够反馈学生学习过程的信息. 综合各方因素，选择合适的教学策略，做好相关的概念表征来帮助学生理解数学概念，建立相应的数学概念知识体系，等等. 简单地说，就是“怎么教”的问题.

1. 用集合与对应语言建立函数概念

（1）具体实例，感知概念

教材中的实例1是“复兴号”高速列车行进的路程和运行时间的关系，回顾初中阶段所学的“变量说”函数概念，同时强调运行时间的变化范围;课堂中，教师由此可以提出问题：你认为怎样描述才能准确反映这个问题情境中的函数？教师在与学生讨论的基础上给出表述的示范.

实例2是工人工资与工作天数的关系，是离散型函数;课堂中，教师可以让学生模仿实例1给出精确的表述，然后设置“问题串”：问题1，比较实例1与实例2，是同一个函数吗？问题2，这两个函数有相同的对应关系，为什么不是同一个函数？问题3，你认为影响两个函数不同的要素有哪些？引导学生认识到不能只由对应关系相同判定两个函数相同，促使学生思考怎样区别不同的函数，进一步认识函数自变量的变化范围的重要性，归纳概括出函数三要素.

实例3将“空气质量指数”的函数关系用图像表示，体会其中的对应关系对学生来说是不容易的. 课堂中，教师必须给学生适当的阅读思考的时间，可以给出以下几个问题引导学生思考探索：问题1，根据给出的图像，你能说出8：00的空气质量指数值I吗？你能说出16：00的空气质量指数值I吗？问题2，给定任意时刻t，能确定空气质量指数值I吗？问题3，给定时间t，如何找到唯一确定的I与它对应？（让学生在图上先找出来，再把对应过程表达出来——体会对应关系）问题4，I是t的函数吗？函数的解析式是什么？问题5，这个函数可以怎样表示？（体会用符号表示的必要性）问题6，模仿实例1和实例2，你能用集合语言和对应关系来描述这个问题情境中的函数吗？I的取值范围无法完全确定，这是学生在初中函数学习中不具备的，教师要适当引导学生可以通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落在范围内”（为区分函数概念中的集合B和函数的值域做好铺垫）.

实例4提供的是恩格爾系数表，学生在初中已经知道可以用表格表示函数，实例4能进一步让学生认识用表格表示函数的对应关系，为函数的符号表示做好了充分的铺垫.

（2）归纳函数概念

课堂上首先可以设置以下几个问题：实例1至实例4的四个函数的共同特征有哪些？你能由此总结概括出函数的一般特征吗？教学中一定要给予充分的时间让学生总结归纳，当学生遇到困难时教师再适时提醒他们重新回顾实例中对函数的表述，然后师生一起概括出函数的本质特征，最后由教师引导学生总结：我们可以用图像、表格、解析式等方式表示函数的对应关系. 为了方便统一表述，用符号表示对应关系.

笔者认为，在函数概念教学中，可以设置学生熟悉的日常生活情境，引导学生在多个情境中聚焦共性;可以设置有梯度的问题，引导学生从多个情境中概括出共同特征，总结得到函数的一般特征. 在这个过程中可以落实学生抽象素养的培养.

2. 用具体实例体会对应关系的真正含义

学生对函数概念中的“任意”“唯一”是比较难以理解的，如果教师只是强调这些字眼，然后就进入解题训练，这样做的效果是不太好的. 为了让学生更好地理解函数概念，笔者设置了三个问题：问题1，我们学习了新的函数概念，那你能用新概念解释旧知识吗？例如一次函数、二次函数和反比例函数，你会怎样表述这些函数呢？问题2，你能构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x）来表述吗？问题3，y=t2（t∈R），y=x2（x∈R）是同一个函数吗？引导学生从函数的定义与要素进行判断，加深理解函数符号y=f（x），进一步体会“f”是一种对应关系. 在这个过程中可以落实学生数学建模素养和抽象素养的培养.

总之，作为青年教师，一定要认识到PCK对自身专业成长的重要性. 在平时的教学实践中，多反思自己的教学过程，从CK，MK，PK三个维度提升自己的能力. 有了丰富的学识，良好的表达能力，并且能站在学生的立场进行思考，自然就会发展出许多不同的教学策略，使用不同的教学表征让学生理解数学概念.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]  刘璇燕. 国内关于学科教学知识（PCK）的研究综述及其对师资培训的启示[J]. 中学数学杂志（初中版），2010（06）：10-13.

[3]  中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]  章建跃. 第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议[J]. 中学数学教学参考，2019（10）：17-24.