对一道清华测试题的探究、变式及反思总结

摘 要：在清华大学2021年11月举办的中学生标准学术能力测试中，有一道二元分式函数最值问题，文章从六个不同角度探析该问题，给出一道二元分式函数的变式题强化该类问题的不同解法，并给出解题教学上的两点思考，以求发挥问题的最大价值.

关键词：分式函数;解法探析;变式训练;通性通法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）25-0015-06

《中国高考评价体系》指出：高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面、横向的交互融合，也包括不同层面之间、纵向的融会贯通.高考要从“知识立意”转向“能力立意”，考查学生的“关键能力”和“核心素养”.这就要求学生在学习中，学会灵活运用所学知识分析、解决问题，达到从“解题”向“解决问题”的转变，对于一些典型问题，能够从不同角度思考，寻求不同的解法，以一题多解的方式寻求知识间的内在联系，构建知识的网络体系，加深对问题的本质认识，从而拓宽解题视野，发散解题思维，提升学习兴趣，提高解题能力.在清华大学2021年11月举办的中学生标准学术能力测试中，有一道二元分式函数最值问题，笔者结合学生的作答情况整理成文，现与读者分享交流，以期抛砖引玉.

4 反思总结

4.1 一题多解，提高解题能力

数学离不开解题，数学研究的过程就是解决问题的过程，掌握数学的一个重要标志就是善于解题.可见，解题是一名教者的必备技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日积月累.数学解题是巩固基础知识、落实基本技能、感悟思想方法、提升思维敏锐度的系统活动，所以对一道典型问题进行多角度的分析与解答是非常必要的.笔者从六个角度对一道清华测试题予以分析，给出六种不同的解法，解法1是在观察出分式的齐次化特征后，比值换元为一次函数，再以导数为工具求函数最值.解法2至5是基于函数式的结构特征，联想所学的基本概念、公式，构造出函數式的几何意义解题，其中解法2和3联想点到直线的距离公式，分别将函数式转化为直角三角形内角的正弦值问题和距离问题;解法4联想向量夹角余弦公式，转化为余弦函数问题;解法5联想三角函数定义，转化为三角函数问题.解法6通过极坐标换元法，同样将问题转化为三角函数问题，与解法5异曲同工.用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握相关的数学知识，还能更灵活地运用所学知识，加强对数学整体性的理解与认识.通过一题多解，分析、比较各种解法，可以找到最佳的解题途径，从而发散学生的思维能力，对巩固数学知识和提高解题能力大有裨益.

4.2 夯实基本知识，强化通性通法

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：在数学高考命题中，考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、性质、方法的理解和应用，强调基础性;注重数学本质和通性通法.因此，笔者认为在日常的解题教学中，教师应加强基础知识、基本技能和基本数学思想方法的训练，以提高学生解题的基本活动经验.我们寻求一题多解，但不能满足于一题多解，更不能为了一题多解而多解，而是要在解答的过程中总结出哪种方法适合哪类题型，选择哪个方法更加合理、高效，对于一些常考题型，甚至于必考题型，教师要指导学生总结该类问题的“通性通法”，形成解题模型.通过文中对问题的多种解法不难看出，六种解法间的计算量和思维深度都有差别，但也都是解决类似分式函数的通法，那如何进行“通性通法”的训练呢？笔者认为，所谓“通性通法”一定是建立在对问题形式、结构、特征等有着深刻理解的基础之上，在有多种方法选择的情况下，能快速找到最合理、高效的方法来完成解答.在日常的解题教学中，教师要指导学生分析每一种解法的优与劣，打破总是求导判断单调性的类似经验解题的惯性思维，如解法1就是最常规解法，虽思路顺畅，但过程冗长、计算量大;解法2至5根据函数式结构特征，联想点到直线距离公式、向量数量积、三角函数定义式、数形结合解出题目;解法6直接极坐标换元，转化为三角函数问题，直接了当，干净利落.因此，教师在解题教学中要指导学生如何根据问题特征，设计最合适的算理，选择最佳的解法，这样在平常的考试及最终的高考中才能“以不变应万变”，顺利完成考试.

参考文献：

[1]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 刘海涛.一个二元条件极值问题的解法探析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（03）：44-45.

[3] 刘海涛，何浩成.例谈极坐标换元法在二元最值问题中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2021（15）：22-24.

[4] 刘海涛.重视解题教学，善于变式推广，探究通解通法——以2020年全国卷Ⅰ导数题为例[J].数学教学研究，2021，40（02）：49-54.

[5] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]