探索图形世界 感受归纳思想

丁叶谦

一、设计理念

“平面图形的认识（二）”这一章的知识要点有平行线的性质及其判断条件、三角形角的大小的求解及面积问题、多边形内外角和的求解及实际问题的解决。由于学生在七年级上册“平面图形的认识（一）”的基础上，已经对平面图形有了初步的认识，所以结合“夯实简单的平面图形的基础，提高学生解题能力，强化复杂题型的演练”这一教学目标，本节复习课，可以从三角形的角平分线、垂线和中线这三条特殊的线段入手，从培养学生数学核心素养的角度出发，坚持目标导向、问题导向和创新导向，层层递进，注重研究方法的引领以及数学思想的渗透。

二、激学导思，回顾旧知

课前，笔者提前布置了作业，让学生画出本章的“思维导图”，目的是让学生提前回顾、梳理、总结、归纳本章的知识要点及重要的图形。对本章的知识点、内容以及问题进行全方位和系统的描述与分析，这有助于学生对本章所研究的问题进行深刻和富有创造性的思考，从而有利于学生找到解决问题的关键因素或关键环节。

课堂上，笔者对学生们的“思维导图”进行了展示（图略）。观察他人作品对学生的启发比教师的“满堂灌”效果要好很多，因为七年级学生的心理正处于一种积极向上、你追我赶的状态，周围优秀学生的一言一行，都可能成为他们追逐的目标，这样也有助于营造一种良好的班级学习氛围。同时，教师让学生认真观察他人的作品之后，再请学生谈谈“观后感”，不仅可以让学生找到自己与别人的差距，同时也可以查漏补缺，完善自己的“思维导图”，从而让学生的知识系统更加完善。

三、乐学求思，美美与共

笔者抛出问题：“通过本章的学习，你了解到三角形中有哪些特殊的线段？谈谈你对它们的认识。”

对照所给的三幅图（如图1、2、3），笔者与学生一起回忆学过的三角形中的特殊线段，潜移默化地开启了学生的知识库，让学生有条理地梳理基本知识点以及它们之间的内在联系。随后，小组之间的短暂交流与沟通，使得学生之间可以相互查漏补缺，弥补知识上的漏洞，以至于所有学生都能把本章的知识点整理成一个体系，从而让记忆变得更加清晰、深刻，也为后续的学习、探究打下扎实的基础。

笔者根据三角形中三条特殊的线段，将本环节分成三大块。每块内容对应着一种线段，并搭配一个独立的专题。针对每个专题，笔者均设置了“活动探究→图形提炼→变式训练”教学模式，目的是给学生搭好“脚手架”，凸显学生的主体地位，引导学生不断思考，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的数学眼光，帮助学生养成独立思考、合作交流的习惯。

比如，对于角平分线的教学，笔者遵循“从一等分到n等分，从一条角平分线到两条角平分线，从内角角平分线到外角角平分线”的原则，让学生从一个点的思维计算，发展到一片、一类的思维计算（如图4）。

对于高线的教学，笔者遵循“从一条到两条，从单一高线到复合角平分线”的原则，让学生体会从单一到复合的思维训练（如图5）。

对于中线的教学，笔者同样遵循“从一条到两条，从基础到外延”的原则，让学生灵活多变地去思考和解题，从而培养他们的发散性思维（如图6）。

在此过程中，笔者注重“教、学、评”流程，细化了教学过程，强化了怎么教，增强了教学与育人目标的联系。同时，在计算过程中，笔者先给出具体的数据，让学生计算出结果，再将数转变成字母，用代数式表示结果的一般形式，从有形到无形，从具体到抽象，从特殊到一般，将数学学习和数学思想有机结合；通过研究数量和数量关系、图形和图形关系，得到数学的研究对象及其关系。教师关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，使得人人学有价值的数学，让每个学生在学习数学的过程中都能得到发展。

四、拓学创思，各美其美

本环节中，笔者设置了一道拓展题（题目略），以帮助学生运用所学的知识解决问题，激发学生的潜力，增强自信心。不同的学生会有不同的思考方向、解题方法和解题策略，教师要鼓励学生用数学思维思考，用数学语言大胆表达。

学生能否顺利解决这道题并不是重点，克服畏难心理、勇于挑战自我才是关键。教师要正确对待和处理学生的错误，巧妙利用这一教学资源，使学生的思维能力、情感态度、价值观等方面得到发展。面对学生无意中犯下的错误，教师未必要立即指出，可以顺势诱导学生将错题再次解答，发现矛盾后，再让学生交流、探讨，从不同角度探索出错的原因，这样可以给学生留下非常深刻的印象。

最后，笔者和学生一起从具体的问题中概括出一般结论，把握问题的本质，明晰思维的路径，形成数学的方法和策略，用数学语言归纳出图形的性质，这样也帮助学生生成了抽象能力、推理能力和模型观念，建立了数与形的联系。

（作者单位：江苏省常州市金坛区段玉裁初级中学）

专家点评

本节课，丁老师以目标、问题为导向，引导学生探索图形世界，注重数学思想的渗透及方法的引领，具体表现在以下三个方面：

绘制知识树，生成知识网络。单元复习课的起点是知识回顾。丁老师给学生足够的时间梳理本章的知识要点，绘制知识树有助于唤醒学生对内容的回忆。知识树触动了学生学习的灵性，激发了学生主动学习的欲望，调动了学生的学习热情。他们都能从平行线、三角形、多边形等角度比较全面地呈现本章知识要点，同时也训练了发散性思维。

教师随后的补充启发也是很有必要的，从图形、文字、符号等方面来完善知识树，体现三种几何语言转化的重要性。教师的点评引导恰到好处。

控制变量法，凸显思维进阶。数学中有些问题涉及多个可变因素，带来了问题解决的复杂性，合理运用控制变量法有助于提升课堂教学效率。我们常常控制变量从少到多，使得问题从简单到复杂。丁老师通过控制三角形中的线段、角度等条件，把问题一个个串联起来，如从给定两个角度数到一个角度数，从形内到形外，再到探究一般性的规律，呈现出思维的连续性和拓展性。

探究过程中，丁老师通过问题引导，让学生充分表达自己的思考，认识到几何图形学习中分类讨论思想的必要性和重要性，教学过程始终以学生为主体。

精选一道题，促进深度学习。借助于知识的条件化、情景化可以实现高阶思维的发展和深度学习。丁老师以三角形为基本图形，结合三角形中的主要线段：角平分线、中线和高线衍生出各种变化，不仅复习了本章内容的主要知识点，更强化了模型思想。本節课通过一道题的变化，呈现一个整体的结构化设计，让学生的思维更有序、更自然，从而体现真实情境下的深度学习。

（点评专家：倪军，江苏省特级教师，南京市鼓楼区教师发展中心中学研训部主任）