把握研究规律 促进智慧生长

蒋飞

一、教学目标

通过实例归纳出研究函数的一般方法，运用总结的方法探究新函数的图像和性质；经历对新函数图像和性质的探究过程，掌握探究新函数图像和性质的一般方法；通过对新函数图像和性质的探究，体会数学研究方法的一致性和可迁移性，发展学生思维，形成科学的思维习惯，培养学生核心素养。

二、教学重难点

归纳总结研究新函数图像和性质的方法；感悟探究新函数图像的一般方法。

三、教学流程

1.先行体验，方法提炼。

例1 画出下列三个函数的图像，并尽可能多地写出它的性质：①y=x+1，②y=[4x]，③y=（x+1）2+1。归纳并总结研究函数的一般思路与方法。

师：同学们，你们是如何快速地画出这些函数图像的呢？

生1：通过列表、描点、连线。

师：那么我们又是根据什么来画出函数图像的呢？

生2：根据函数表达式。

师：的确如此。事实上，我们需要根据函数表达式，通过列表、描点、连线，画出函数的图像，进而研究函数的性质。我们又是从哪几方面来描述函数图像与性质的呢？

生3：我们通过增减性、最值来描述函数图像与性质。

生4：还有与坐标轴的交点。

生5：我觉得对称性以及它们在哪几个象限也可以用来描述函数的图像与性质。

师：同学们回答得都非常好。但是还有一点值得同学们关注，请同学们观察y=[4x]的图像，你会发现它的图像并不是连续的。这是因为自变量x的取值范围是x≠0，导致它的图像被分成了两条曲线，故我们称之为“双曲线”，所以图像的连续性与间断情况也是描述函数图像与性质的一个方面。

2.简单应用，感悟内化。

（1）提出新问题，引入课题。

师：同学们，根据刚才的讨论我们知道，研究函数的方法是有规律可循的，描述函数的性质也是有基本思路的。那么对于函数y=[4/x+1]，你还能快速地画出它的图像，描述它的性质吗？

生6：我们可以通过列表、描点、连线画出图像，然后再读取其性质。

师：你知道它图像的“长相”吗？如果不确定“长相”的话，怎么能用有限个点画出它的图像呢？

生6：因为这个函数和我们先前学的都不一样，所以它的图像长什么样我们并不清楚。

师：的确如此，当我们已有的知识储备不能解决此问题时，我们就要寻求新的办法来解决。

（2）例题示范，感悟方法。

师：同学们，我们根据之前总结描述函数图像与性质的几个角度，分析函数y=[4x+1]图像的一些性质。请问该图像的连续性和间断性如何？

生7：因为自变量x≠-1，所以函数图像不与直线x=-1相交，即位于直线x=-1的两侧，故图像是不连续的。

师：该函数图像与坐标轴的交点如何？

生8：当x=0时，y=4，所以它与y轴的交点坐标为（0，4）；而y≠0，所以它与x轴没有交点。

师：该函数图像的位置分布情况如何？

生9：当x＞-1时，y＞0，此时函数图像在x轴上方；当x＜-1时，y＜0，此时函数图像在x轴下方。

师：该函数的最值情况如何？

生10：该函数既没有最大值也没有最小值。

师：该函数的增减情况如何？

生11：y随x的增大而减小。

师：从左到右一直是这样吗？

生11：噢，要分两段看。当x＜-1时，y随x的增大而减小；当x＞-1时，y也随x的增大而减小。

师：同学们，刚才我们从数的角度对函数y=[4x+1]的图像与性质作出了合情分析，为了更精准地描述函数图像与性质，下面，请同学们尝试画出该函数图像。

［同学们根据列表、描点、连线，再结合刚才的分析画出图像（图略）。完成后，教师投影正确的函数图像并让学生相互交流，说一说该函数还有哪些性质。］

师：请你再画出y=[4x]的图像，看看这两个图像有什么位置关系？

生12：将y=[4x]的图像向左平移1个单位，即是y=[4x+1]的图像。

师：那你能说说y=[4x+1]+2的图像是由y=[4x]怎样平移得到的吗？

生12：是由y=[4x]的图像先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。

师：非常好！同学们，通过这个例題的分析，你有哪些收获？

生13：对于一个新的函数，我们不能一上来就通过列表、描点、连线画出函数图像，因为画出来的图像往往不准确，不能正确地描述其函数性质。

生14：我们要掌握研究函数的一般方法，先根据新的函数表达式从几个方面分析函数性质，然后在此基础上进行准确画图，最后再精准地描述其性质。

师：请同学们按刚才总结的方法，继续分析y=[4（x+1）2+1]图像的一些性质，并尝试画出其图像。

［学生独立思考2～3分钟后，再小组讨论，根据例题的讨论方式，逐步得到该函数的图像（图略）。］

3.知识升华，迁移应用。

师：同学们基本掌握了研究新函数的方法。下面，我们一起来解决例2。

例2 为了探究函数y=[x+3x-1]的图像与性质，小李根据学习函数的经验，对函数y=[x+3x-1]的图像与性质进行研究。下面是小李探究的过程，请补充完整：

（1）函数y=[x+3x-1]的自变量x的取值范围是               ；

（2）下表是y与x的几组对应值：

[x … -3 -2 -1 0 2 3 4 5 … y … 0 m -1 -3 5 3 [73] 2 … ]

则m的值为               ；

（3）如图1，在平面直角坐标系中，根据描出的点，补全函数的图像；

（4）观察图像，写出该函数的一条性质：

；

（5）若函数y=x的图像在函数y=[x+3x-1]的图像上方，直接写出x的取值范围                    。

学生独立完成后，小组交流，学生代表上台展示讲解答案，形成共识。

师：同学们，如果这个函数的图像可以看作是由某个函数图像平移得到的，那么它是由哪个函数图像经过什么样的图形变换得到的呢？

生15：我发现这个函数的图像是双曲线，对称中心是（1，1），那么我把它和我们学过的反比例函数产生联系，然后观察图像，可以发现它是由函数y=[4x]的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的。

师（追问）：的确是这样的。我们可以用类比反比例函数图像的方法，观察图像得出答案。那么你还有其他方法吗？

生16：我把该函数表达式进行变形，可以化为y=[4x-1]+1，然后从数的角度得出它是由y=[4x]图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的。

师：非常好！同学们不仅会由图像观察得出图形变换的过程，还能从数的角度，根据对函数表达式的分析进行归纳总结，得出变换过程。

4.课堂总结，交流体会。

师：同学们，通过本节课的学习，你有哪些收获？

生17：我知道了可以从以下几个方面研究新函数的图像与性质：图像的连续性、分布情况、与坐标轴的交点情况、最值情况、增减性、对称性等。

生18：我還学到了面对新的问题、新的背景，我们可以从已有经验出发，采用类比、知识迁移等方法解决新的问题。

师：同学们讲得非常好。今天这节课我们一起探究了新函数的图像和性质，并掌握了其研究的基本规律和一般方法，相信大家都有所感悟。同学们，知识是相互联系的，又是相互作用的，而研究问题的方法是有规律可循的。希望同学们在今后的数学学习中，积极思考，把握问题的研究规律，以促成智慧生长。

四、教学反思

本节课是在学生学习完一次函数、反比例函数、二次函数等内容后的一节总结拓展课。探究新函数的图像和性质对初中学生来说颇具难度，教师需要以智慧的教促进学生智慧的学，引导学生不断进行总结提炼，形成更高层次的结构体系，发展学生的数学思维，培育学生的核心素养。

1.聚焦函数本质，提升教学智慧。

初中教材内容的安排往往以章为单元，但有些章与章之间研究内容及路径是相通的，是一种螺旋式上升。如函数分别研究了一次函数、反比例函数、二次函数等。进入九年级复习时，教师对这些内容进行有效整合，聚焦函数本质，不仅能帮助学生提高复习效率，更主要的是能够使学生以联系、共性的思维来思考，让学生从中总结出一般规律，积累经验并解决新的函数问题，进一步升华相关思想，这就是智慧教学生长的过程。有了这样的探究经历后，学生进入高中学习新的函数，就会得心应手，自然就有一种水到渠成的感觉。

2.问题驱动探究，发展学生智慧。

问题驱动的教学由数学教育家张奠宙教授提出，从问题出发，为解决问题或者发展问题结论而不断设计新问题，在一系列问题链的解决过程中逐步加深对原始问题的理解，从而发展学生智慧。本节课上，笔者从如何探究所给的新函数引入课题，基于学生的困难点，围绕研究函数图像与性质的几个方面设置了多个问题串，创设符合学生认知规律的问题情境，以问题来驱动学生探究，充分调动学生思维，激发学生智慧。通过实践，笔者认为基于问题驱动的探究活动，易于发展学生智慧，提升学生核心素养。

3.把握知识建构，促进智慧生长。

著名数学家华罗庚将读书的过程归纳为“由薄到厚”与“由厚到薄”两个阶段，初中阶段函数的学习过程亦是如此。如果将初中教材中三大函数的内容看成是“由薄到厚”阶段，则本节课新函数图像和性质的探究可看成是“由厚到薄”阶段。将原来彼此分散、彼此分割开来的知识联系成一个统一的整体，即学生在对知识进行内化的基础上，通过顺应和同化，构成新的认知结构，实现知识与方法的第二次整体建构。这一过程不仅仅是知识层面的整理及建构，更主要是能从整体把握处理问题的多种视角和方法，真正促进了教与学的智慧生长，指向学生核心素养的培育。

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）