在动手实践中培养学生的数学核心素养

贺洪秋

苏科版八（下）第11章“反比例函数”是初中函数内容的重要组成部分，是介于一次函数与二次函数之间的一个过渡函数，在函数的学习过程中，起到了承前启后的作用。本节课是本章的复习课，笔者从生活情境出发，自始至终利用同一个背景函数y=[4x]，层层递进，融和了基本知识、基本技能、基本思想方法，有效地启发和推动学生对知识的内化。在这个过程中，力求发展学生数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。基于这样的想法，笔者设计了如下环节。

一、创设情境

师：我打算周末带家人去焦山游玩，家里没有口罩了，我让儿子去超市买，他回来后列了个表（如表1）。你能从学习过的一次函数和反比例函数中确定一种函数来表示其变化规律吗？请求出它的函数表达式。

【设计意图】从学生感兴趣的生活情境入手，结合时事和文化背景，让学生感受数学就在我们身边；对比一次函数和反比例函数特征，从数的角度进行数据分析，得到反比例函数表达式的一般形式，进而构建出反比例函数表达式的三种等价形式（y=[kx]，xy=k，y=x-1）以及变量的取值范围；自然地过渡到从“形”的角度解决此问题，在平面直角坐标系中描点、画线，观察图形形状，渗透“数形结合”的思想方法。

二、动手实践

师：请同学们在平面直角坐标系中描出三个点A（1，4）、B（2，2）、C（4，1），根据三个点之间的关系，你能发现什么？

生1：我发现A、B、C三点不共线，得出它们在反比例函数图像上。

生2：我知道该函数的图像是双曲线，所以图像还有一支，在第三象限。根据双曲线的中心对称性，我还可以画出另一支图像。

生3：当k＞0时，反比例函数图像过第一、三象限；k＜0时，反比例函数图像过第二、四象限。

【设计意图】反比例函数的知识要点就是它的图像与性质。笔者通过让学生自己画图，主动搭建知识框架，引出了反比例函数的对称性、增减性等。

例1 已知点A（-2，y1）、B（-1，y2）都在反比例函数y=[4x]的图像上，则y1与y2的大小关系为__________。

师：你是怎样得到y1与y2的大小关系的？

生4：代入法、性质法、图像法。

变式训练1 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜0＜x2）都在反比例函数y=[4x]的图像上，则y1与y2的大小关系为__________。

变式训练2 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）都在反比例函数y=[4x]的图像上，则y1与y2的大小关系为__________。

【设计意图】比较大小题型可以考查学生对反比例函数性质的理解，也能检验学生利用图像解决问题的能力。变式训练1把特殊值一般化，让学生感受利用图像解决问题的必要性；变式训练2要讨论A、B两点所在象限的三种情况，可培养学生的分类意识和逻辑能力。

例2 结合函数y=[4x]的图像回答下列问题：当x＞1时，y的取值范围为__________；当x＜1时，y的取值范围为 __________；当y＞1时，x的取值范围为__________ 。

【设计意图】在例2中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围，目前学生用代数方法解不等式是解决不了的，只能结合图像来研究。同时，有的问题答案是多段的，解决问题时教师要提醒学生注意临界值能否取到以及不能漏解两大易错点。该类题型能够培养学生的图形意识和分析能力。

例3 若反比例函数y=[4x]的图像与一次函数的图像交于A（-4，m）、B（n，4），如图1，你能根据题意提出一个问题并指定同学解决吗？

【设计意图】本题开放性的问法让学生打开自己的思路，拓展思维，充分尊重学生的思维方式和解决问题的方法，让学生出题考学生的设计也会让他们更加积极地参与到活动中来。学生在提出问题的过程中更能理解题目的考点和要求，提出问题比解决问题更能训练思维。

例4 如图2，双曲线交矩形OCED于A、B两点，已知点E（2，4），点A为CE的中点。

（1）求线段AB的长；

（2）在线段OA上存在一点M，当△MOB的面积等于[34]时，求点M的坐标；

（3）是否存在一点N，使得O、A、B、N四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由。

【设计意图】本题综合性较强，是对学生掌握了基础知识后的综合运用与提升，也是对学生数学核心素养的检验。

师：你能发现反比例函数的美吗？

生5：对称美——图像中心对称。

生6：曲线美——双曲线。

生7：简洁美——表达式只有一个参数。

生8：距离美——图像和坐标轴永不相交。

师：在本节课开头，我们以买口罩过程中所涉及的“销售问题”为背景，得到了反比例函数y=[4x]及其图像，你还能给该函数赋予其他不同的实际背景吗？

【设计意图】学生在数学学习的过程中发现数学之美，培养欣赏美的能力，知道数学不仅是一门理性学科，也可以很感性。

三、教学反思

本节课的每一个问题都紧紧围绕着同一个反比例函数来探索研究，不断延伸该反比例函数，变化出新的问题，考查了多个知识点，使学生无需重新熟悉新问题的背景，很有连贯性，大大地提高了课堂效率。同时，本节课培养学生的数学核心素养，发展建模意识，让学生学会抓住问题本质，掌握“在生活中发现问题→抽象出函数表达式→画出图像→结合图像研究性质→回归生活解决问题”的过程。最终，在完成知识体系建构的同时，培养了学生的数学核心素养。

（作者單位：江苏省镇江市江南学校）

专家点评

“反比例函数”是初中数学的重要内容。贺老师从生活情境出发，引发学生多方面思考，提高学生核心素养，具体表现在以下三个方面：

巧妙的问题设计。问题是课堂中的重要元素，没有问题的课堂是没有活力的，问题串的设计是课堂教学的重要组成部分。贺老师巧妙设计问题，把知识点串联起来。如，根据三个点之间的关系，你能发现什么？你怎么得到y1与y2的大小关系？等等。

真实情境的问题设计能有效激发学生的兴趣，提升课堂效率。

频繁的师生互动。师生互动的过程是教师和学生不断沟通的过程，主要有三个特点：一是沟通，二是平等，三是开放。本节课的推进始终是在师生互动的方式下进行的，教师作为引导者，在平等的状态下与学生交流，可以看出学生生成非常自然，思维始终处于活跃状态。

多角度的问题思考。多角度思考问题就是从不同的角度、不同的方向去思考问题，以感知、记忆、联想、理解为基础，寻求多样性答案的一种展开性思维方式，它在课堂教学中能培养学生创造性思维。贺老师在比较函数的大小关系时，启发学生用代入法、性质法、图像法等不同方式比较大小；接下来的一题多变，层层深入，使得知识结构化，网络化；最后，从不同角度总结出反比例函数图像的对称美、曲线美、距离美、简洁美。

（点评专家：倪军，江苏省特级教师，南京市鼓楼区教师发展中心中学研训部主任）