借“4个问题”，窥发展深度思维的历程

范从芹

［摘  要］ 深度思維的发展不仅有助于提高学生的数学学习能力，还有助于发展学生的数学素养，让学习真正发生。文章以“长方体和正方体的体积计算（2）”为例，通过激趣式、探究式、对比式、发散式4类问题来展示学生深度思维发展的历程。

［关键词］ 深度思维；数学素养；教学策略；小学数学

小学生数学的学习过程是“内外兼修”的过程：说它“外”，是指它要借助于外在的活动因素，说它“内”，是指它同时也要借助于学生内在的思维因素和思考因素。小学生数学学习的成效和他们的数学深度思维有着休戚与共的关系。数学的深度思维呈现个性化、隐性化、稳定化。因此，从小学阶段起，作为数学教师就要注意培养学生的深度思维。深度思维的发展不仅有助于提高学生的数学学习能力，还有助于发展学生的数学素养，让他们的学习真正发生。鉴于此，文章以“长方体和正方体的体积计算（2）”为例，通过“4个问题”来展示学生深度思维发展的历程，供大家商榷。

“长方体和正方体的体积计算（2）”是苏教版小学数学六年级上册第一单元的内容，它是在“长方体和正方体的体积计算（1）”学习基础（学生已初步掌握了“长方体”和“正方体”的体积公式）上进行的。教材首先从揭示“底面积”的概念入手，让学生看图，并总结出长方体和正方体底面积的计算方法；接着设问“还可以怎么计算长方体和正方体的体积”，最后引导得出结论“长方体（正方体）的体积=底面积×高”。整个认知过程可谓“顺风顺水”，学生很容易就理解了该知识点。但是，对照数学三维目标的要求，达成知识与技能目标仅仅是达成教学目标的一部分，不能以偏概全。如何在这种浅显的课中挖掘知识点背后的实际价值，让问题“驱动”学生的深度思维？笔者在实际教学中从以下几个问题入手，引导学生步步深入，展现深度思维的发展历程。

[?]一、用激趣式的问题引出深度思维

良好的开端是成功的一半。孔子说：学习某个知识或某种本领，了解学习的人、喜爱学习的人和以此为乐的人中，最后一种人接受得更快。因此，在本节课中，笔者从创新课堂导入环节入手，创设恰当的情境——“小糊涂日记一则”，让情境与本课内容相融合，让情境与学生的思维激发相关联，让学生从导入环节的问题情境中激发深度思维的兴趣。

“小糊涂日记一则”片段：放学了，小糊涂将自己底面积约100平方分米的学具盒收进了书包，匆匆跑出占地面积为60平方厘米的教室。

生1：老师，我发现这两个单位用错了，学具盒的底面积不可能是100平方分米。以前我们量过教室地面一个方块的面积大约100平方分米。如果学具盒的底面积这么大的话，肯定放不进书包里了。

老师：请你拿出学具盒给大家演示一下学具盒的底面积，可以吗？

生1（拿出学具盒，摸下面）：这就是学具盒的底面，我觉得大约是100平方厘米。

生2：教室占地面积60平方厘米也不对，60平方厘米比刚才学具盒的底面积还要小，一只脚都站不下，我觉得这里应该改为60平方米。

教师：你能给大家说说什么是占地面积吗？

生2踩了踩地面，然后比画了教室的地面，说：“教室就是一个长方体，教室的占地面积就是这个长方体底面的面积。”

可以看出“底面积100平方分米的学具盒”和“占地面积为60平方厘米的教室”这两个数据，既承载了学生的笑点，又能触摸他们对“底面积”“占地面积”的理解程度。这个导入环节将“底面积”和“兴趣”结合在一起。从两个学生的回答中，我们可以知道，他们对于“底面积”“占地面积”的概念不是一片空白，而是理解透彻。如果教师还像以前教材上所安排的用“涂色面积”来揭示“底面积”的概念，就完全没有必要了，学生也会觉得索然无味。笔者设计的“小糊涂日记一则”，立足学生视觉，让学生能轻松地结合实际找出日记中的单位问题，为接下来的探究活动奠定了心理基础。

[?]二、用探究式的问题引出深度思维

教育家的理论研究和实践结论都告诉我们：教师应留给学生充足的时间和空间去探究，引导学生充分经历探究的过程，提供彰显思维含金量的探究问题，引领他们拓宽思维的广度、提升思维的深度，凸显学生的主体性。

教师：长方体的体积与底面积之间有着怎样的关系？请大家分组合作探究这个问题。

（学生短暂地组内交流。）

生1：昨天我们才学过长方体的体积=长×宽×高，这个图中底面积就是用长×宽，所以用长方体的底面积×高就可以算出长方体的体积了。

生2：长方体的体积除以底面积就等于它的高。

生3：还可以说长方体的体积除以高等于它的底面积。

生4：老师，旁边的正方体的体积还可以用底面积×棱长来计算。

生5：那么不管是长方体的体积，还是正方体的体积，都可以用底面积×高来计算。

……

教材中设置的问题一“底面积的计算方法”，学生其实已经在前几课时的“长方体和正方体的表面积”中接触过；教材中设置的问题二“长方体（正方体）的体积还可以怎么计算”，学生已经有了知识的储备和探究的经验——长方体的长×宽×高就等于它的体积，正方体的棱长×棱长×棱长就等于它的体积。由此可见，学生已经完全具备探究教材两个问题的经验和能力基础。俗话说“思维是最好的礼物”。笔者抛出问题“长方体的体积与底面积之间有着怎样的关系”，这个富有探究性的问题给学生插上了发散思维的翅膀。通过小组合作，学生不仅得出结论“长方体的底面积×高就可以算出长方体的体积”“正方体的体积还可以用底面积×棱长来计算”，还能够逆向思维“长方体的体积除以底面积就等于它的高”“长方体的体积除以高等于它的底面积”等。实践告诉我们，探究思维含量高的问题不仅能让学生的思维更自主，而且能让他们的思维更全面。

[?]三、用对比式的问题引出深度思维

有人将数学的学习当成吃糖葫芦；有人将数学的学习当成编织渔网或将数学的学习当作走迷宫……不管哪种比喻都告诉我们一种道理：教师要帮助学生建立起数学知识的网络，弄清数学知识发生、发展的脉络，在此过程中，学生的思维会更具深度。

教师：前天我们探究出了长方体和正方体的体积公式，我们刚才又探究出了长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，对比一下，你有什么发现？

生1：我觉得用底面积乘高来计算它们的体积更简捷。

生2：今天的公式就是把长方体和正方体的体积公式合并成一个。

生3：只要知道底面积和高就可以计算长方体和正方体的体积了。

生4：对的，不一定非得要知道长方体的长和宽分别是多少。

生5：如果知道了长方体的长、宽、高，就可以把这3种量直接相乘，算体积。

生6：我觉得，不管选用哪一种公式，都要根据题目中提供的具体数据来选择。

生7：我觉得这两种公式是一回事，就是将“长乘宽”和“棱长乘棱长”换成了“底面积”。

教师在课堂中，如果能以对比式的问题为导向，把握好教学的契机，关联两个相近的知识架构，就能够让学生对知识的本质理解得更透彻，思维也会更具广度和深度。在这个片段中，学生既对“合二为一”的思想有了深刻的理解，也对“辩证地看数学、审视数学”有了深刻的感悟，同时萌发了理性思维，学会从高视角理解公式间的联系与区别。对比式的问题，不仅有利于学生的主动建构，还有利于让学生的数学思维更有深度。

[?]四、用发散式的问题引出深度思维

发散式的问题可以培养发散思维。发散思维可以引导学生从不同的角度或者不同的方向去思考问题的解决方法，它是创造性思维的核心。创造性思维需要思维的发散，需要人们去打破常规、改变定式。因此，在小学数学课堂中，教师要善于设计开放性的问题，引导学生从既定的问题中多角度思考问题，鼓励标新立异。

教师：从“长方体（或正方体）的体积=底面积×高”中，你们还能想到还可以怎么计算长方体（或正方体）的体积？

生1：我觉得把底面翻过来，就是上面，那么长（正）方体的体积就是“上面的面积×高”了。

生2：照这样说，如果底面变成了前面，那么长（正）方体的体积就是“前面的面积×宽”了；如果底面变成了左面，那么长（正）方体的体积就是“左面的面积×长”了。

生3：我明白了，底面积是长乘宽，再乘高，就是体积；前面的面积就是长乘高，再乘宽，就是体积；左面的面积就是宽乘高，再乘长，就是体积；不管是哪个面的面积乘第三条棱长，实际都是长×宽×高。

生4：刚才生3的回答又给我启发，这就是长、宽、高三个数相乘时运用了乘法交换律和结合律，结果仍然不变。

教师：如果已知一根长方体木料横截面的面积和长度，你会求这根木料的体积吗？

……

這个片段中教师采用问题“你们还能想到还可以怎么计算长方体（或正方体）的体积”来驱动学生思维的爆发。学生在对话中追寻知识的本源——不管是哪个面的面积（横截面）乘第三条棱长，都可以求体积。在层层递进、步步深入中，教师带领学生逐步迈向知识的本质。在师生、生生对话中，学生的思维更开放、思路也更创新。

综上所述，在小学数学课堂中，教师用激趣式、探究式、对比式、发散式的问题，可以有效地发展学生的深度思维。