教会学生类比 提高数学能力

钱晨

[摘  要] 利用类比可以引导学生更好地理解数学，培养学生的自主学习能力与创新意识，帮助学生构建完整的数学知识体系，提高数学能力. 研究者结合教学实践，提出“教会学生类比，提高数学能力”的策略，即类比概念形式，理解异同;类比学习方法，指导学法;类比解题方法，激活思维.

[关键词] 类比;概念;学法;解题

类比是指依据两个对象之间存在着某些相同或相似的属性，推出其存在其他相同或相似属性的一种思维方法.教育家波利亚说过，类比是一个伟大的领路人. 可见，类比对发展学生思维水平的重要性. 在高中数学教学中，利用类比可以引导学生更好地理解数学，培养学生的自主学习能力与创新意识，帮助学生构建完整的数学知识体系，提高数学能力.

[?]类比概念形式，理解异同

数学概念是构建数学大厦的“基本单位”. 在数学教学中，概念教学是至关重要的一个环节，尤其是对概念本质及概念引发的相关性质的理解. 概念定义形式类比教学是一种值得推崇的有效途径和方法. 在数学学习中，学生学习大量的数学概念，如果只是孤立地去理解或记忆，则会让学习成为一个沉重的负担，且学习效果不佳，而引导学生用联系的观点和类比的思维去审视概念，学生的思维就会变得流畅，会加深对概念的理解.

例如等差数列与等比数列，两个数列的概念虽有差别，但它们也有惊人相似的一幕. 通过概念定义的类比，由等差数列的“等差”与“公差”，可类比出等比数列的“等比”与“公比”;由等差数列与一次函数的关系，可类比出等比数列与指数函数的关系;由等差数列的等差中项，可类比出等比数列中的等比中项;由等差数列中“若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），则a+a=a+a”，可类比出等比数列中“若p+q=m+n（p，q，m，n∈N*），则apaq=aman”，等等. 在数学概念教学中，教师引导学生抓住概念间的相似之处进行类比，有利于学生抓住概念的本质，更加轻松地理解概念并解决相关问题.

例1 若数列{a}的每一项都是正数，且为等比数列，则b=（n∈N*）是等比数列通项. 如果数列{a}是等差数列，那么可以类比得出关于等差数列的一个性质是（  ）

A. b=是等差数列通项

B. b=是等差数列通项

C. b=是等差数列通项

D. b=是等差数列通项

在等比数列中，许多性质是通过乘除运算和乘方开方运算得到的，而在等差数列中，自然可以想到加减运算和数乘运算. 本题中的等比数列用到了乘法运算和开方运算，因此类比等比数列，将乘法运算类比成加法运算，将开方运算类比成除法运算. 所以，若{a}是等差数列，则b=是等差数列通项.

证明：设等差数列{a}的公差为d，则b-b=-==.

因为{a}为等差数列，所以a-a=（n+1-i）d，i=1，2，…，n.

所以b-b====.

所以{b}是公差为的等差数列.

[?]类比学习方法，指导学法

著名的学习理论家奥苏贝尔说过，要进行有意义的学习必须知道学生已经知道了什么. 学习椭圆后，学生已经知道了椭圆的产生过程，即动点到定点的距离之和为定值（

F=2c，a>c），也知道了椭圆的有关性质，因此教学双曲线时，教师就可以利用类比思想，借助椭圆的学习过程帮助学生学习双曲线，具体步骤见图1.

授人以鱼，不如授人以渔. 在数学学习中，由一个数学知识点的学习方法类比另一个数学知识点的学习方法，在减轻教师教学负担的同时，还能提高学生的学习效率. 例如，从命题“以抛物线的焦点弦为直径的圆必與抛物线的准线相切”出发，可以类比得出下面两个命题：（1）在椭圆中，以任意一条焦半径为直径的圆一定与以长轴为直径的圆内切;（2）在双曲线中，以任意一条焦半径为直径的圆一定与以实轴为直径的圆相切.

例2 对圆O：x2+y2=r2，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上一点（异于A，B），则k·k=-1.那么对椭圆+=1和双曲线-=1，是否有类似的结论？

在教师的引导下，学生合作探究，通过类比发现：k·k=-和k·k=分别为椭圆、双曲线的结论，这与圆的结论非常相似. 于是教师趁热打铁，进一步指出：（1）与圆类似，以圆锥曲线上任意两点为端点的线段称为圆锥曲线的弦，椭圆与双曲线是有心曲线，过它们中心的弦也可称为它们的直径;（2）抛物线没有中心，所以它没有与圆类似的结论.不难发现，通过这个问题的类比探究，学生对圆锥曲线的特征有了一个整体认识.

[?]类比解题方法，激活思维

类比是科学发现的一条途径，也是数学解题的一种方法. 解题教学，是数学教学的主旋律之一. 教会学生利用类比思想探究有关数学问题，教师责无旁贷. 数学解题中的类比主要有三种：横向类比、纵向类比和联想特征类比. 在解题教学中，引入相关问题，利用类比思想加以分析，可以激活学生的思维，培养学生的创造力.

例3 已知结论：在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即==. 若把该结论推广到空间，则结论为：在三棱锥A-BCD中，侧棱AB与平面ACD，平面BCD所成的角为α，β，则有（   ）

A. =

B. =

C. =

D. =

本题属于维度推广题，将平面中的线段夹角推广成空间中的线面角，因此，可以把正弦定理中的边长类比推广成面积，即将一维推广为二维，而正弦定理中的角所对的边长，在三棱锥中就可以推广成线面角所对的侧面面积，即α所对的侧面为平面BCD，β所对的侧面为平面ACD，所以猜测=. 为证明其正确性，分别过B，A作平面ACD，平面BCD的垂线，垂足分别为E，F. 由线面角的定义可知∠BAE=α，∠ABF=β，所以V=·S·BE=·S·AB·sinα;同理，V=·S·AF=·S·AB·sinβ. 所以·S·AB·sinα=·S·AB·sinβ?S·sinα=S·sinβ，所以=.

基于数学学科的特点，数学思维的呈现往往不明显，具有一定的隐蔽性，学生很难从教材中直接获取，这时需要教师在教学中有意识、有目的地将思维方法渗透其中.通过数学思维的多角度类比，积极为学生创设类比情境，并加以深化引导，如此，学生的数学思维能力和数学素养自然会相应得以提高.

本文最后值得一说的是，类比推理有时是一把“双刃剑”，应用类比推理应当注意：类比不具有随意性，只有在本质上相同或相似的两类问题才能相类比. 如果只注重形式而不关注内容进行类比，则会造成知识“错位”，对学生的数学思维的培养反而起到副作用. 此外，类比不能仅仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象上，还应对类比所得的数学结论加以科学分析和详尽推理，引导学生从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在关联，这样的类比，才是帮助学生提高数学能力的好助手.