精心设计教学过程 建构生本高效课堂

周扬

[摘  要] 一堂好课不仅需要课前反复推敲、仔细打磨，还需要结合教学实际灵活调整，从而使教学更具普适性，让学生自然地走进课堂，以此提升教学效率. 文章以“弦长问题”的复习为例，从学生已有认知、已有经验出发，通过循序渐进的引导，让学生自然地走进课堂，参与课堂，以此培养学生良好的学习品质和思维习惯，提升教学品质.

[关键词] 教学效率;自然;教学品质;高效课堂

传统课堂过多强调教师的价值，忽视了学生的主体作用，使得学生参与课堂的积极性不高，影响了教学效率. 在高三复习“弦长问题”时，笔者以生为出发点，结合学生实际学情，精心打磨教学过程，课堂上取得了喜人的教学成果，现将教学片段呈现给大家，供参考.

[?] 开门见山，直奔主题

高三教学时间紧、任务重，因此在课堂引入阶段尽量追求简洁明了，这样可以让学生快速进入学习状态.

师：谁来说一说直线与椭圆有哪些位置关系？

生1：直线与椭圆相交、相切、相离.

师：你的判断依据是什么？

生1：根据交点个数.

师：很好，根据交点个数是从几何的角度思考的，如果从代数的角度来思考，应该看什么呢？

生2：联立直线方程与椭圆方程，看方程组的解.

师：很好！这节课我们重点研究直线与椭圆相交时，两交点之间的线段长度——弦长问题.

师：现在请看例1，看看这个问题应该如何求解.

例1 如图1所示，已知椭圆+y2=1，过右焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB的长为______.

问题给出后，学生很快就解出了正确答案，教师让学生简述了求解过程.

师：大家都做得非常好，看来大家对基础知识掌握得非常扎实. 思考一下，如果将例1中的“倾斜角为45°”这一条件去掉，又该如何求线段AB的长呢？

设计意图：教师带领学生进行简单的内容回顾后就直接给出了本节课探究的主题——弦长问题，这样学生会自主思考求弦长的方法，以此提高学生的注意力. 同时，教师以促进全员发展为目标，设计了一个“低起点”的问题，这样既让学生觉得易于上手，又突出了主题，有利于提升学生参与课堂的积极性.

教学反思：高三复习课堂，教师要把握好引例的难度，过于简单和复杂都会影响教学效果：若过于简单将难以激发学生的探究欲，若过于复杂则会把基础薄弱的学生排斥在课堂外. 因此，复习时教师需要结合教学实际设计一个适宜的入口问题，使学生可以自然地进入主题，有效避免问题过难或过易带来的唐突，为教学目标的实现架桥铺路.

[?] 顺应学生，集思广益

高三学生已经有了一定的知识储备，个体认知也已形成，他们解决问题时会有自己独特的想法，因此教师要为学生营造一个自由的、平等的、互动的学习氛围，鼓励学生提出自己的看法，以此提高课堂参与度，提升教学效率. 另外，教学中教师切勿将自己的经验强加给学生，那样的课堂虽然表面上看似精彩绝伦，但因忽视学生的参与感受，课堂实质空洞，不利于学生长远发展.

师：对于以下这个变式问题，你认为可以通过哪些方法来求解呢？

变式：如图2所示，已知椭圆+y2=1，过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB的长为______. （重点探究求线段AB长的方法）

生3：我认为可以用代数法求解，即联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求线段AB的长.

师：如何设直线方程呢？（师追问）

生3：可以先从特殊情况入手——考虑直线AB垂直于x轴. （教师预留时间让学生运算并板书解题过程）

当直线AB垂直于x轴时，AB=. 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），交椭圆于A（x，y），B（x，y）. 联立方程

+y2=1，

y=k（x-1），化简得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，由韦达定理得x+x=，xx=. 又弦长AB==，代入x1+x2=，x1x2=，即可求出AB的长.

师：很好，思路清晰、缜密. 现在我们得到了求线段AB长的第一种方法：利用弦长公式求解. （教师板书为“方法1”）

师：你们还有没有其他方法呢？

生4：根据已知，直线AB过椭圆的右焦点F（1，0），因此可以利用焦半径公式求线段AB的长.

师：具体说一说你是如何求解的.

生4：AB=AF+BF=a-ex+a-ex=2a-e（x+x）=2-=.

师：非常棒，这样我们就得到了第二种方法：利用椭圆的第二定义求焦半径之和. （教师板书为“方法2”）

师：还有其他要补充的吗？

生5：還可以利用极坐标方程来表示线段AF，BF的长.

师：是一个不错的思路，具体说一说.

生5：如图3所示，以焦点F（1，0）为极点，以Fx为极轴建立坐标系，因为e=，p==1，所以椭圆的极坐标方程为ρ==. 所以设A（ρ，θ），B（ρ，θ+π），于是AB=

ρ+

ρ=.

师：非常好. （教师板书为“方法3”）

师：还有其他要补充的吗？

师：思考一下，若将题设中的“过右焦点F的直线”改为“不过右焦点F的直线”，可以用什么方法求线段AB的长呢？

学生齐声答：利用方法1，根据弦长公式求解.

师：很好，我们解决问题时一定要仔细审题，根据题设信息的特殊性和一般性选择合适的方法.

师：现在我们再将问题变一变，你想怎么变呢？

生6：可以把椭圆的条件换一换.

师：现在我们索性将椭圆这一条件撤掉，仅给出条件“直线AB过F（1，0）”，此时线段AB的长该如何表示呢？

生7：可以直接利用两点的距离公式来表示，即AB===

x

-x.

师：观察以上结果容易发现，其实只要A，B确定了，距离也就确定了.

探究至此，问题的本质逐渐显现，接下来教师又给出图4，引导学生体会“化斜为直”的数学思想方法.

设计意图：课堂教学活动采用应“生”而动的教学策略，顺着学生的思维脉搏开展教学活动，通过巧妙引导让学生自主发现求线段AB长的常用方法. 教学中教师重视学生的主体作用，让学生参与并经历教学全过程，并在参与和经历的过程中将知识内化于心，培养学生自主发现和解决问题的能力.

教学反思：求线段AB的长有多种方法，若教师刻意引导学生理解，会显得有些死板，有些强求，因此教师并没有将各种方法一网打尽，而是选择尊重学生、尊重学情，顺应发展. 教学中教师利用一题多解能够有效发散学生的思维、拓展学生的视野，但是在追求“多解”的过程中一定要以学生的实际学情为出发点，切勿将教师的经验强加给学生，那样不仅不易于学生理解，而且容易造成他们的心理负担;不仅难以发挥“多解”的优势，而且会挫伤学生的学习信心，得不偿失. 因此，教学的重点不是演示各种方法，而是引导学生把重难点知识自然地讲解出来，让学生体会什么才是问题的本质，什么才是解决问题的通性通法，从而理解并掌握普适性的解决问题的方法，以此提升解题能力.

[?] 题目演绎，升华认知

1. 解后反思，让思考更深入

数学题目是复杂的，解题时难免会出现各种各样的问题，如解题过程烦琐、思维定式、思考不周等，因此解题后有必要引导学生进行反思，帮助他们巩固认识、深化理解.

师：现在请大家完成下面的问题.

例2 如图5所示，已知椭圆+y2=1，过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆左准线于点P，交直线AB于点C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

问题给出后，教师预留充足的时间让学生独自求解，教师巡视，并指定学生简述解题思路.

生8：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x，y），B（x，y），将AB的方程代入椭圆方程得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，则x=，则点C的坐标为

，-

，且AB=

x

-x=，故直线PC的方程为y= -x+，得点P-2

，. 又点C

，-

，根据两点的距离公式可得线段PC=. 因为PC=2AB，所以PC==，解得k=±1. 所以直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

师：分析以上过程，是否少了点什么？

生9：直线PC的斜率是否存在需要进行分类讨论.

师：很好，请未进行分类讨论的学生课后补充完整.

师：思考一下，生8求线段AB的中点C，用的是方程的思路，若不用该方法，是否还有其他方法可以求出点C呢？

生10：可以应用点差法. 设中点P（x，y），由此可得线段AB=2a-e（x+x）=2a-2ex，也可得线段PC=

x+2.

师：非常好！遇到中点弦的问题时经常会应用点差法，根据点差法得到关系式+2yk=0，由此还能得到一个性质，你知道是什么吗？

生11：直线AB与OC的斜率之积是定值，其值为-.

这样通过解后反思得到了中点弦的一个性质：对于焦点在x轴上的椭圆，其中心与弦的中点连线的斜率与弦的斜率的乘积为定值-. 经历以上过程，学生对解题思路更加明晰，理解更加深入，有效地规避了复杂运算，使解题变得更加简单.

2. 变式探究，让视野更开阔

师：现在弱化例2的条件，那么问题如何求解呢？（教师继续给出问题）

探究1：如图6所示，已知椭圆+y2=1，过右焦点F的直线（斜率存在）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆长轴于点M，交线段AB于点C，求证：为定值.

基于前面的准备及学生已经形成的解题思路，在师生的共同努力下，总结归纳出了椭圆的另外一个几何性质：已知椭圆+=1（a>b>0），过右焦点F的直线（斜率存在）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交椭圆长轴于点M，则为定值.

师：课后请大家思考一下，若将探究1中的结论“为定值”变为已知条件，是否能证明“直线过线段AB的中点”呢？

师：接下来我们再把探究1中的条件变一变，将中垂线这一条件改编为“BF-AF=”，如何求直线AB的方程呢？

生12：利用椭圆的第二定义得BF=a-ex，AF=a-ex，于是x-x=，结合前面所求的根，容易求得k2=1.

师：很好，接下来继续变一变条件，你还会求解吗？

探究2：如图7所示，已知椭圆+y2=1，A，B′是椭圆上位于x轴上方的两点，直线AF和B′F′平行（F，F′为焦点），满足B′F′-AF=，求直线AF的方程.

问题给出后，学生很快发现其本质与刚刚改编的问题相同，只要延长AF交椭圆于点B，由对称性知BF=B′F′. 厘清问题的来龙去脉后，问题即可迎刃而解.

师：其实大家刚刚研究的例2和探究2都是高考题，现在你们还感觉高考题难吗？

学生齐声答：不难. （学生露出了自信的笑容）

设计意图：通过一条主线将相关知识串联起来，将复杂的内容逐渐转向简单化、有序化，便于学生形成清晰的知识脉络. 以上所有探究活动都是在学生最近发展区内开展的，让学生的思维在思辨中自然得到升华.

教学反思：数学题目虽然是复杂多变的，但是变化中蕴含着不变的规律. 如何让学生抓住这个不变的规律而灵活应用它解决问题，需要教师在日常教学中对学生进行引导，充分挖掘题目中蕴含的信息，认清问题的本质，形成清晰的知识脉络. 相信经历以上过程，学生能够体会到，学好数学并不是盲目地刷题，而是要抓住问题的本质，找到核心知识点，并通过串联和改造的方式将其连成线、织成网，从而实现知识的举一反三、融会贯通. 另外，在教学中，教师引导学生进行解后反思，从而发现了解题中的“亮点”，发现了意外的结论，让学生感受到了探究的喜悦，激发了學生学习数学的兴趣.

[?] 课堂小结，融会贯通

课堂小结是课堂的重要组成部分，利用小结引导学生“回头看”，自然地总结归纳出本节课学习的重难点，提炼出重要的思想方法，有利于学生优化认知结构、建构知识网络.

师：相信这节课大家都收获满满，现在请大家交流一下，这节课你们都有哪些收获？（学生积极交流，气氛和谐）

师：谁愿意和大家分享一下呢？

生13：通过这节课我掌握了求弦长的基本方法，并知晓不同方法的优缺点.

生14：我知道当遇到中点弦问题时，应用点差法可能更方便.

生18：我体会到“设而不求”对解决解析几何问题的重要价值.

……

师：大家都说得非常好. 解题后大家要养成反思的习惯，只有不断反思才能发现隐藏在问题中的秘密，才能认清问题的本质，找到解决问题的通法. 另外，解题后可以尝试将问题“变一变”，养成变相探究的钻研意识，这样会收获意外惊喜.

教学反思：课堂小结应以学生为主，教师切勿越俎代庖，只有聆听学生的真实反馈，才能真正了解学生、了解教学效果，从而通过适当引导和鼓励帮助学生实现知识的融会贯通.

总之，在实际教学中，教师应精心打磨教学过程，善于通过“低起点、小坡度”的问题来诱发学生深度思考，以此激发学生学习的积极性，让学生学会学习，成就高效课堂.