中华优秀传统数学文化融入数学教学的若干路径

摘要：将中华优秀传统数学文化融入数学教学，教师要深入学习和研究中国古代数学史，收集和分析有关素材，并且运用不同的方式加工和整合。中国古代数学史中的概念、问题、方法等融入小学数学教学的具体路径有概念引入、问题设计、方法运用以及公式推导等。

关键词：小学数学；中国古代数学史；中华优秀传统文化；数学文化

在提倡中华优秀传统文化进中小学课程（教材）的当下，尤其要注意将中国古代数学史料融入小学数学教学。本文试从概念引入、问题设计、方法运用以及公式推导四个方面，说明中国古代数学史中的概念、问题、方法等在小学数学教学中的具体应用。

一、概念引入方面

借鑒中国古代数学史中某些概念产生的动因，可以采用发生教学法来教授有关主题。

小数概念最早诞生于中国。刘徽在注释《九章算术》中的“开方术”时，针对开不尽的情形称：“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。”此外，他在注释“割圆术”时，使用了大量的“微数”。如图1，已知圆O的半径OA=1尺，则圆内接正六边形的边长AB=1尺，由勾股定理得OD的长度为75寸，约等于八寸六分六厘二秒五忽十分忽之四（即866025.4忽），于是又得CD的长度为一寸三分三厘九毫七秒四忽十分忽之六（即133974.6忽），进而可求圆内接正十二边形的边长AC……从刘徽对“微数”的定义以及“割圆术”的计算实例来看，小数产生的动因是“无名”，即“没有单位可用”。

我们可以借鉴小数的诞生过程来引入小数概念。例如，姚明的身高为2米 2分米 6厘米，即226厘米，那么，他的身高分别是几分米、几米呢？当“厘米”这个单位缺失时，原来位于个位的6现在“无家可归”了。教师可以从1厘米和1分米之间的关系出发，引导学生给6寻找一个“新家”。当学生找到“新家”十分位时，小数概念应运而生。类似地，当“厘米”和“分米”这两个单位都缺失时，原来分别位于个位和十位的6和2现在都“无家可归”了，教师可以从1厘米、1分米和1米之间的关系出发，引导学生分别给6和2寻找“新家”，从而再引出百分位。

二、问题设计方面

根据数学史料来编制数学问题的策略有再现式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式和自由式七种。汪晓勤.基于数学史料的高中数学问题编制策略［J］.数学通报，2020（5）：915。再现式指的是直接采用历史上的问题，除了文字翻译以外，原题中的条件和目标保持不变。其他方式都有不同程度的改编。

以《九章算术》为代表的中国古代数学典籍往往都是以问题集的形式呈现的，为今日小学数学教学提供了丰富多彩的问题：除了纯粹的计算问题、常规图形的面积计算问题之外，还有很多实际应用的算术问题、特殊图形的面积计算问题，都具有很强的趣味性和适度的挑战性。教师可以直接有选择地“再现”它们。

例如，《孙子算经》中一些实际应用的算术问题如下郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1994：242244。：

河上荡杯：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”

百鹿入城：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽；又三家共一鹿，适尽。问：城中家几何？”

鸡兔同笼：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：鸡兔各几何？”

禽兽问数：“今有兽六首四足，禽二首二足。上有七十六首，下有四十六足，问：禽兽各几何？”

再如，明代数学家程大位的《算法统宗》中一些以诗歌来表达的实际应用的算术问题如下郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（二）［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1994：13781400。：

老人问甲：“有一公公不记年，手持竹杖在门前。借问公公年几岁？家中数目记分明。一两八铢泥弹子，每岁盘中放一丸。日久岁深经雨湿，总然化作一泥团。秤重八斤零八两，加减方知得几年。”（1斤=16两，1两=24铢）

苏武牧羊：“当年苏武去北边，不知去了几周年。分明记得天边月，二百三十五番圆。”（19年7闰）

排鱼求数：“三寸鱼儿九里沟，口尾相衔直到头。试问鱼儿多少数，请君对面说因由。”（1里=360步，1步=15寸）

房客分银：“隔墙听得客分银，不知人数不知银。七两分之多四两，九两分之少半斤。”（1斤=16两）

牧童分杏：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏。三人五个多十枚，四人八枚两个剩。”

僧分馒头：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁。”

狐鹏共舞：“今有狐狸一头九尾，鹏鸟一尾九头。只云前有七十二头，后有八十八尾，问二禽兽各若干。”

龟鳖同池：“三足团鱼六眼龟，共同山下一深池。九十三足乱浮水，一百二眼将人窥。或出没，往东西，倚栏观看不能知。有人算得无差错，好酒重酌赠数杯。”

又如，南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中、明代数学家吴敬在《九章算法比类大全》中、明代数学家王文素在《算学宝鉴》中相继记载的一些特殊图形的面积计算问题如下郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1994：10801085；郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷（二）［M］.沈阳：辽宁教育出版社，1994：6269，437445。：

1.今有梭田（如图2，为菱形），中阔八步，正长十二步，问田几何。

2.偏梭田（如图3，为平行四边形），长四十步，左畔阔二十步，右畔阔十步，问田几何。

3.今有腰鼓田（如图4，为两个梯形的组合），两头各广八步，中广四步，正长一十二步，问田几何。

4.三广田（如图5，为两个梯形的组合），一头广四步，一头广六步，中广八步，正长一十二步，问田几何。

5.有曲尺田（如图6，为两个梯形的组合），内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何。

6.有箭筈田（如图7，为两个梯形的组合），两畔各长八步，中长四步，阔十二步，问田几何。

7.有箭翎田（如图8，为两个梯形的组合），中长八步，东西两畔各长四步，阔一十二步，问田几何。

8.四广田（如图9，为多个梯形的组合），南广十四步，南中广二十一步，北中广十二步，北广十六步，长六十步。问：为田几何？

9.五广田（如图10，为多个梯形的组合），南广十三步，南中廣十八步，正十二步，北中广十九步，北广十七步，长六十步。问：为田几何？

此外，《算法统宗》中给出了很多特殊图形，这些图形可以由两个基本图形组合或从一个图形中挖去另一个图形而形成。据此，教师可以直接提出很多特殊图形的面积计算问题。

这里，值得一提的是，中国古代数学典籍中有过一些错误的面积计算公式，后来被纠正了。例如，北周的甄鸾在《五曹算经》中给出了腰鼓田（图4）面积的算法：取三广的平均值，乘以正长；四不等田（四边两两不相等的四边形）面积的算法：取两组对边长度的平均值，相乘。此后，杨辉、王文素等人纠正了甄鸾的错误。教学中，教师可以呈现历史上的一些错误的面积计算公式，让学生判断并纠正，从而感悟数学的演进性。

根据中国古代数学史料，还可以通过再现式以外的各种方式，改编得到大量数学问题。

例如，根据“鸡兔同笼”问题（或“禽兽问数”问题、“狐鹏共舞”问题、“龟鳖同池”问题、“僧分馒头”问题，它们本质上是一样的），可以通过条件式改编得到以下问题：

1.已知自行车和三轮车共有32辆，轮子共有75个。问：自行车和三轮车各有几辆？

2.小明在某个家具店里看到了两种凳子，一种有三只脚，一种有四只脚。他数了一下凳子，共有25张；再数了一下脚，共有90只。问：三只脚和四只脚的凳子各有几张？

3.育才小学五年级和六年级共有750名学生，学校安排核酸混合检测，五年级10人共1管，六年级5人共1管，共用了110个试管。问：五、六年级各有多少学生？

4.一旅游小队去爬山，上午8时上山，每小时平均行3千米，到达山顶休息1小时，下山时每小时平均行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？叶丽艳，喻平.学习策略的心理学研究及其对小学数学教学的启示［J］.教育研究与评论（小学教育教学），2021（2）：9。

再如，根据中国古代的益智游戏工具七巧板（如图11所示），可以通过自由式编制各类相关问题：

1.用七巧板分别拼一个三角形、梯形、平行四边形；

2.组块1—7的面积分别是整个正方形面积的几分之几？

3.组块1、3和7的面积之和是整个正方形面积的几分之几？

4.组块4、6和7的面积有怎样的关系？

5.在七巧板中，找出所有的轴对称图形。

6.试用七巧板拼一个新的轴对称图形。

三、方法运用方面

中国古代数学史为数的运算及各类算术问题的求解提供了丰富的素材和多元的方法。

例如，《九章算术》是世界上最早给出分数四则运算法则的数学文献。其中，分数的加法、减法、乘法和除法分别被称为“合分”“减分”“乘分”和“经分”，它们的运算法则如下：

合分术：“母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而一。”ba+dc=bcac+adac=bc+adac

减分术：“母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。”ba－dc=bcac－

adac=bc－adac

乘分术：“母相乘为法，子相乘为实。实如法而一。”ba×dc=bdac

经分术：“以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。”刘徽注称：“以法分母乘实，实分母乘法。”ab÷cd=

adbd÷bcbd=adbc

对乘分术和经分术，刘徽的解释用现代的数学符号表示就是：ba×dc=bcac×bdbc=bdac，ba÷dc=bcac÷adac=bcad。

在分数四则运算的教学中，教师可以制作微视频，追溯中国古代的运算法则。在分数乘法和除法的教学中，教师还可以让学生探究：为什么两个分数相乘，结果会等于以分子的乘积为分子、分母的乘积为分母的分数？为什么两个分数相除，结果会等于除数的倒数与被除数相乘？进而将学生的解释与古人的方法加以对比。

再如，刘徽在《九章算术注》中指出，通分是“齐同术”的一种：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，势不失本数也。”而“齐同术”是一种有着广泛应用的通法：“然则齐同之术要矣：错综度数，动之斯谐，其犹佩觽解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”类似通分那样，“齐同术”的基本思想是从分母或分子（可推广至两个或多个比的一组对应项）的最小公倍数的角度考虑问题，等比放大分子或分母（保持分数大小或比值不变）。以下是“齐同术”在解决不同问题时的一些应用。

行程问题。如《九章算术》“均输章”中的：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问：何日相逢？”利用“齐同术”计算相同天数中凫、雁共同飞行的距离：凫63天飞行南海到北海距离的9倍，雁63天飞行南海到北海距离的7倍，因此，二鸟同时出发，63天共飞行南海到北海距离的16倍，故从出发到第一次相逢，需要6316日，即31516日。

工程问题。如《九章算术》“均输章”中的：“今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。仅令一人一日作瓦，牝、牡相半。问：成瓦几何？”利用“齐同术”，一人二日制牝瓦76枚、一人一日制牡瓦76枚，故一人三日制牝瓦和牡瓦各76枚，于是一人一日制牝瓦和牡瓦各2513枚。

注水问题。如《九章算术》“均输章”中的：“今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问：几何日满池？”利用“齐同术”计算各水渠单独注水相同日数的满池次数（见表1），可知五渠共同注水15天，满池次数为45+16+6+5+3=74，故满池1次需1574日。

盈亏问题。如《九章算术》“盈不足章”中的：“今有共买鸡，人出九，盈一十一，人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？”利用“齐同术”計算盈亏钱数相同时每人所出钱数及所买鸡数，由此算出盈亏平衡时每人所出钱数及所买鸡数（如图12所示）。由此，可以算出所买鸡数为1时每人所出钱数（即人均后的鸡价）为21027=709。因此，每人出钱比人均后的鸡价多9－709=119时，总钱数比鸡价多11，故人数为9，鸡价为70。

实际上，上文所提《孙子算经》中的“河上荡杯”问题和“百鹿入城”问题（也可归入《九章算术》的“均输章”）、《算法统宗》中的“房客分银”和“牧童分杏”问题（也可归入《九章算术的“盈不足章”）也可用“齐同术”来解。（1）12人共吃6碗饭、4碗羹、3碗肉，共用13个碗，已知用碗总数为65，故知人数为65÷13×12=60。（2）三家先共取三鹿，又共取一鹿，故共取四鹿，已知鹿数为100，故家数为100÷4×3=75……

四、公式推导方面

中国古代的多边形面积理论建立在两个公理的基础上。一是长方形面积公式。二是出入相补原理：一个图形从一处移动到另一处，面积不变；将一个图形分割成若干部分，每一部分面积之和等于原图形面积。有了这两个公理，任意多边形的面积问题都可以得到解决，因而中国古代的多边形面积理论是完备的。

例如，《九章算术》中给出了“圭田”（三角形）面积公式“半广以乘正从”，即半底乘以高。刘徽的推导方法如下：“半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。”即如图13，通过“以盈补虚”（即出入相补），将三角形转化为矩形，从而得到三角形面积公式。

类似地，《九章算术》中还给出了梯形面积公式，其中，直角梯形面积公式为“并两邪而半之，以乘正从若广”或“半正从若广，以乘并”，即上下底之和的一半乘以高或高的一半乘以上下底之和。刘徽注称：“并而半之者，以盈补虚也。”即如图14，通过“以盈补虚”，将直角梯形转化为矩形，从而得到直角梯形面积公式。同样的方法，可用于一般梯形。

而杨辉在《田亩比类乘除捷法》中还用“补图”的方法来推求三角形、菱形、梯形的面积，如图15所示。

因此，教师可以设计情境，引导学生探究三角形、平行四边形、梯形面积的计算公式，并将学生的方法与中国古代数学家的方法比较，从而让学生跨越时空与数学家对话，增强数学学习的信心。

热点透视教育研究与评论小学教育教学/2022年11月五、结语

近年来，HPM视角下的小学数学教学开始受到越来越多一线教师的关注，许多教师希望通过数学史的融入来提升教学的质量，更好地落实“立德树人”的目标，但在实践中遇到了很多困难，集中在“融入什么”和“如何融入”两个问题上。要将中华优秀传统数学文化融入数学教学，教师要深入学习和研究中国古代数学史，收集和分析有关素材，并且运用不同的方式加工和整合。

中国古代数学文化博大精深，而本文所举只是沧海一粟。我们有理由相信，教育取向的中国古代数学史研究、中国古代数学史融入数学教学的实践和评价，都将是未来HPM领域的重要课题，也将成为小学数学教师研修培训的重要主题之一。