化新为旧 回归已知

刘燕

“新定义”问题主要是指先定义尚未学过的新概念、新运算或新符号等，再结合已有知识、能力进行理解，最后迁移运用相关知识的题型。因此，我们在平时的学习中，要注意培养自己用新知识解决问题的能力。解决“新定义”问题的一般步骤是“阅读→分析→理解→应用”，最关键的是理解阅读材料中的含义和用意。下面，以2020年浙江省宁波市的一道中考题为例加以说明。

例 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角。

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E。

（2）如圖2，四边形ABCD内接于⊙O，[AD]=[BD]，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E。求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE、AF，AC是⊙O的直径。

①求∠AED的度数;

②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积。

【分析】（1）审题后不难发现，新定义的“遥望角”的本质是我们所学的三角形的内外角的平分线相交所成的锐角，因此很快得出∠E=[12]∠BAC。

（2）要证∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，从新定义可知，需满足两个条件：①BE平分∠ABC;②CE平分∠ACT（如图4）。

（3）①结合（1）（2）易得∠BAC=2∠BEC，进而证明∠BEC=∠FAD，根据△FDE≌△FDA得到DE=DA即可求解。②是难点题，需要通过作垂线构造出相似三角形，这样可以充分利用①中的45°角，再利用勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式得出答案。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。

解：（1）如图1，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠E=∠ECD-∠EBD=[12]（∠ACD-∠ABC）=[12]∠BAC=[12]α。

（2）如图4，延长BC到点T。

∵四边形FBCD内接于⊙O，

∴∠FDC+∠FBC=180°。

又∵∠FDE+∠FDC=180°，

∴∠FDE=∠FBC。

∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE。

∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC。

∴BE是∠ABC的平分线。

∵[AD]=[BD]，∴∠ACD=∠BFD。

∵∠BFD+∠BCD=180°，

∠DCT+∠BCD=180°，

∴∠DCT=∠BFD，

∴∠ACD=∠DCT，

∴CE是△ABC的外角平分线，

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角。

（3）①如图5，连接CF。

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，

∴由（1）的结论可得∠BAC=2∠BEC。

∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC。

∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，

∴∠BEC=∠FCE。

∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD。

又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，

∴△FDE≌△FDA，

∴DE=DA，

∴∠AED=∠DAE。

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，

∴∠AED+∠DAE=90°，

∴∠AED=∠DAE=45°。

②同学们可根据分析里的提示，自己来完成这一小题，答案是[259]。

这是一道与几何知识相结合的新定义问题。我们在解决这类问题时，不要有畏惧心理，比如此例题，虽然有新定义，但解题策略还是运用基本知识和基本方法。因此，对于这类“新定义”问题，我们应仔细阅读材料，找出关键信息，正确理解定义，联想依据，结合以前所学的知识，探索、归纳、推理，从而发现解决问题的方法。