为有源头活水来

杨晓彬

很多同学会觉得，中考试题有一层神秘的面纱。其实，大部分中考题都是由教材中的例题改编而来。从例题出发，改变情境，深度拓展，例题就变成同学们做过的中考试题啦。下面，老师将与同学们分享教材中的一道典型例题及其变化而出的三道中考试题。

例题 （苏科版数学教材九年级下册第30页问题2）某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000kg。若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg。应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？

教材在“用二次函数解决问题”这一节中安排此例题，一是引导同学们掌握数学建模的思想，二是让同学们体会数学模型是数学与外部世界联系的桥梁。此实际问题考查了二次函数的最大值问题。我们还要考虑此最值是否符合实际意义。解题过程见教材。

变式一 （2021·江苏淮安）某超市经销一种商品，每件成本为50元。经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量將减少10件。设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件。

（1）求y与x的函数表达式;

（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】本题是在教材例题的基础上直接改编问题情境，根据等量关系“利润=（每件售价-每件进价）×销量”列出函数表达式，再根据表达式求得利润最大值。

【简要解答】（1）根据题意，得

y=300-10·（x-60）=-10x+900。

（2）设每个月的销售利润为w。由（1）知

w=-10x2+1400x-45000=-10（x-70）2+4000，

∴每件销售价为70元时，获得最大利润，最大利润为4000元。

变式二 （2021·江苏连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份。该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润。售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是_______元。

【分析】本题除了改变问题情境，变量的数量也发生了变化。设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80-2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可求得a与b之间的关系，从而用a表达出一天的总利润W，再结合二次函数的性质就可以得到结论。

【简要解答】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80-2b）份。

由题意得40+2a+80-2b=40+80，化简得a=b，

∴总利润W=（12-a）（40+2a）+（8+a）（80-2a）=-4a2+48a+1120=-4（a-6）2+1264。

∵-4<0，

∴当a=6时，W取得最大值1264，

即两种快餐一天的总利润最多为1264元。

变式三 （2021·江苏扬州节选）甲、乙两家汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两家公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出。如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车。另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元。

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元。

说明：①汽车数量为整数;②月利润=月租车费-月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润。

在两家公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元;当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等。

（2）求两家公司月利润差的最大值。

【分析】本题在变量关系的表述上更加复杂，除了用“月利润=数量×利润”之外，还有额外支付的费用。在第（2）问中，设两家公司的月利润分别为y甲、y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再基于哪个公司利润较大进行分类讨论，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可。

【简要解答】（1）48000;37。

（2）设每个公司租出的汽车为x辆，月利润分别为y甲、y乙，月利润差为y。

y甲=[（50-x）×50+3000]x-200x，

y乙=3500x-1850。

当y甲≥y乙时，0

y=y甲-y乙=-50x2+1800x+1850，

∴当x=[-1800-50×2]=18时，利润差最大，为18050元;

当y甲

y=y乙-y甲=50x2-1800x-1850，

∵对称轴为直线x=[--180050×2]=18，

∴当x=50时，利润差最大，为33150元。

综上，两家公司月利润差的最大值为33150元。