直击中考——函数的应用

骆丽叶

数学来源于生活，又应用于生活。从历年各地的中考试卷命题趋势来看，命题者越来越倾向于考查同学们解决实际问题的能力。函数是用来刻画现实世界数量关系的模型之一，因此，对函数的考查，越来越贴近生活，综合性也越来越强。

例1 （2021·浙江丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地。行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图1所示（中途休息、加油的时间不计）。当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒。设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图像解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程;

（2）求s关于t的函数表达式;

（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？

解：（1）由图像可知，当t=0时，s=880，即工厂离目的地的路程为880千米。

（2）设s=kt+b（k≠0）。

将（0，880）和（4，560）代入s=kt+b，

得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880。]

∴s关于t的函数表达式为s=-80t+880（0≤t≤11）。

（3）当油箱中剩余油量为10升时，

s=880-（60-10）÷0.1=380（千米），

∴380=-80t+880，解得t=[254]（小时）。

当油箱中剩余油量为0升时，

s=880-60÷0.1=280（千米），

∴280=-80t+880，解得t=[152]（小時）。

∵k=-80<0，∴s随t的增大而减小，

∴t的取值范围是[254]

【点评】本题以图像形式考查了一次函数的应用，答题的关键是读懂图像，看清横轴、纵轴的实际意义，并且明确图像中一些特殊点的实际意义。同时，用待定系数法求函数表达式，将一个变量的值代入表达式，求出另一个变量的值，再利用函数的增减性判定这个变量的取值范围。以上都是中考常考知识点。

例2 （2021·辽宁营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少。商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元。该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图2所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）。

（1）直接写出y与x的函数表达式;

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设线段AB的表达式为y=kx+b（40≤x≤60），将点（40，300），（60，100）代入，得[300=40k+b，100=60k+b，]解得[k=-10，b=700，]

∴函数的表达式为y=-10x+700（40≤x≤60）。

设线段BC的表达式为y=mx+n（60

60，100），（70，150）代入，

得[60m+n=100，70m+n=150，]解得[m=5，n=-200，]

∴函数的表达式为y=5x-200（60

∴y与x的函数关系式为

[y=-10x+700（40≤x≤60），5x-200（60

（2）设获得的利润为w元。

①当40≤x≤60时，

w=（x-30）（-10x+700）

=-10（x-50）2+4000。

∵-10<0，∴当x=50时，w的值最大，最大值为4000元。

②当60

w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）

=5（x-50）2+2500。

∵5>0，∴当60

∴当x=70时，w的值最大，最大值为5×（70-50）2+2500=4500（元）。

综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元。

【点评】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的综合应用，注意要分类讨论求出函数表达式以及利润的最大值。对于最大销售利润问题，我们常利用函数的增减性来解答，解决的关键是要明确题意，确定变量，建立函数模型。特别要注意的是，我们一定要在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=[-b2a]处取得。