章首课的教学与反思
——以“不等式”的教学为例

2022-05-23 02:14
数理化解题研究 2022年15期
关键词:不等式等式图象

张 丽

(江苏省南京市南师附中秦淮科技高中 210007)

笔者尝试上了一节“不等式”章首课,“不等式”是苏教版普通高中课程标准试验教科书《数学5》(必修)第三章章首节.它对后续的不等关系、一元二次不等式、二元一次不等式表示的平面区域、简单的线性规划问题及基本不等式的证明等学习内容具有“先行组织者”的影响.以下介绍的是这节章首课的主要教学过程及若干思考,与同行交流.

1 教学过程

片段一“为什么要学”

师:本章学习“不等式”,我们为什么要研究不等式?

生1:因为在生活中有大量的不等关系.

师:数学中用什么表示这些不等关系?举例.

生2:不等式.

生3:例如x>1,(a+b)2≥0,(a-b)2≥0,x2<1,sin60°<1……

片段二“学什么”

师:我们对等式有过大量的研究,我们能对不等式做些什么研究呢?

生4:首先要搞清楚什么是不等式.用不等号表示的式子叫不等式.

师规范:用不等号连接的式子叫做不等式.

师追问:有哪些不等号呢?

生4:“<”“>”“≤”“≥”“≠”

生5:不等式可以研究一次不等式,二次不等式,三次不等式等等,还可以研究有几个未知量的不等式和不等式的应用.

生6:由不等式想到等式,由等式的性质想到可以研究不等式的性质.

师:请举例.

生6:比如由“若a=b,则a+1=b+1”类比得到“若a>b,则a+1>b+1”.

师:类比迁移时需要注意什么?

生6:等式性质与不等式性质,他们各自有成立的前提条件,需要特别注意.

生7:等式研究的是确定的关系,不等式研究的是不确定的关系,不确定的关系可能是范围,也可能是其他形式.如非常常见的不等式a2+b2≥2ab,它是个对其它问题有影响的不等式,我们先研究它,再应用它.

师追问:确定关系反映在等式上是什么?比如x+1=0.

生7:能把方程解出来.

师:就是我们可以通过“解方程”来解释这个确定的关系.

师追问:那么不确定的关系反映在不等式上是什么?

生7:解不等式.

师继续追问:你说的非常常见的不等式,我们怎么研究它?(生7回答不出.)

师:那你认可这样的不等式吗?怎么说明它可以被应用?

生7:认可,我可以证明它是正确的.

师:非常好!

生8:我考虑的是不等式自身的特性,如恒成立,再如不等式与不等式之间的关系.

片段三“怎么学”

师:同学们说得都很棒!如果确定了研究的内容,你打算如何去研究呢?比如,在初中我们学过了一元一次不等式,不妨以此为例,我们一起回顾一下是如何研究一元一次不等式的.我们解一下不等式3x+2>0.

师:他这样解有依据吗?

生10:用了不等式的性质.

师:还有什么方法可以解这个不等式?

师:这位同学条理清晰地找到了函数图象、方程(即等式)与不等式之间的联系,利用函数图象研究了一元一次不等式解法.我们在此基础上进一步研究不等式,可以研究哪一类?

生12:一元二次不等式,如x2-3x+2<0,

生13:先构造一元二次函数y=x2-3x+2,并作出它的图象,令y=0,得到x=1和x=2,也即找到了函数图象与x轴交点的横坐标.解不等式x2-3x+2<0,就是解y<0.

师:这是从形的角度去思考,能换一个角度解决一元二次不等式吗?

师:你是怎么想到的?

生14:我们已经会解一元一次不等式,那么可以考虑把一元二次转化为一元一次的问题,因式分解就是实现转化的一种手段.

师:如果不能因式分解呢?如求解不等式x2-3x+1<0.

生15:用配方或求根公式,只要能找到方程的根,结合图象即可.

生16:不一定都能找到方程的根,但是可以作图,结合图象解决.比如,x2+1<0,无解,不等式的解集为空集.(掌声自然的响起.)

师:如何进一步求解一元三次不等式,如x3-2x2-x+2<0?

生17:找到方程的一个根,即可将三次方程降为二次方程,然后研究三次函数图象,再解决一元三次不等式问题.

师:非常好,用了降次与化归的思想方法.当然,也许还有一些简便的解法,可待后续研究.一元不等式我们暂且讨论至此,在同学们举例的等式中有一个x+y=2,这是什么方程?

生18:二元一次方程.

师:它的解是什么?

生18:无数组解.

师:怎么表示这些解?

生19:直线y=-x+2上所有的点的坐标都是方程x-y=2的解.

师:你能仿此等式写出一个不等式,并且求解吗?(先充分独立思考,然后再小组合作讨论.)

生20:我们组研究了二元一次不等式x+y>0的解法.先画函数x+y=0的图象,然后发现直线y=-x右上方的区域中点的坐标都满足不等式x+y>0,因此不等式x+y>0的解在直线x+y=0的右上方区域.

PPT上呈现问题:

已知bg糖水中有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖(m>0),则糖水更甜(即浓度更高).请根据这个事实写出a,b,m所满足的不等关系.

师:同学们能提炼出实际问题数学化的思维链吗?

(请独立思考2分钟,然后小组讨论3分钟.一个小组发言,其它小组点评.)

师:同学们可以类比证明等式恒成立的方法,来证明一些恒成立的不等式,请课后完善此题证明.

片段四“梳理知识,归纳小结”

师:学完这节课你知识上、方法上有什么收获?还有什么困惑吗?请先独立思考,然后小组合作填写小结表格.

课后作业:自学必修五第三章不等式,写出你的收获、困惑,并设计成一个表格.

2 教后反思

2.1“等”与“不等”是辩证关系

“等”与“不等”是对立统一的.从量的关系上看“等”是相对的,“不等”则是绝对的;从运算性质上看,“等式”和“不等式”有相似的一面,如传递性,但又有差异的一面,如两边同乘一个数等式仍然成立,而不等式不一定成立;从矛盾双方转化来看,“等”的问题有时要转化为“不等”问题,而“不等”问题有时又要转化为“等”的问题,如判断一元二次方程实根情况和解一元二次不等式便是在“等”和“不等”之间进行相互转化.

2.2 学生已有认知作为新知的重要生长点

要充分分析学情.了解学生已经具备了哪些知识,如学生已有“等式”和已经研究过的“一元一次不等式”的认知;了解学生已有的数学思想方法,如类比思想、转化与化归思想、降次思想、数形结合思想;学生已有的研究数学问题的经验,如从特殊到一般、从低次到高次、从一元到多元、从为什么学到学什么再到怎么学.学生已有的认知决定有哪些知识点作为新授课的生长点,哪些方法和经验可以迁移到新的学习内容中来,最后引导学生探索各知识点之间的内在联系,形成知识框架.

2.3 上章首课的理由

章首课的内容和研究方法有利于学生搭建知识框架,并能为后续学习本章内容提供重要的思想方法.

2.4 章首课的形态

章首课宜多“虚”少“实”,宜多“宏观”少“微观”,宜多“粗”少“细”,甚至问题都不用解决到底,可留待后续探究.简单来说就是“看似什么都讲了,又好似什么都没讲”.

科学地设计、合理地实施章首课教学,对一章的学习能起到事半功倍的效果,章首课丰富的教学价值值得教者深思.

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