《坐标系与参数方程》专题训练

王采玉

1.在直角坐标系xOy下，曲线 C1的参数方程为下变成曲线 C2.

（1）求曲线 C2的普通方程;

（2）若 m>1，求曲线 C2与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数.

2.在平面直角坐标系xOy中，l 的参数方程为半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2= 12

（1）求 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

（2）求曲线 C上的点到l 距离的最大值及该点坐

3.在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1 的参数方程为y（x）  o，s θ， （θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ2=  4

（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程;

（2）若直线 l：y =kx与曲线 C1、曲线C2在第一象限交于 P，Q 两点，且|OP|=2|OQ|，点 M 的坐标为（2，0），求ΔMPQ 的面积.

4.曲线 C 的参数方程为x =mt+ ， （ t 为参数，y =t - ，m >0），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线θ=α与直线ρ sin θ=2交于点P，动点 Q 在射线 OP 上，且满足|OQ|·|OP|=8.

（1）求曲线 C的普通方程及动点 Q 的轨迹E 的极坐标方程;

（2）曲线E与曲线 C 的一条渐近线交于P1，P2两点，且|P1P2|=2，求 m 的值.

5.以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C1的极坐标方程为ρ=4 cos θ+8 sin θ，P 是C1上一动点，O P =2O Q，Q 的轨迹为 C2.

（1）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程;

（2）若点 M（0，1） ，直线l的参数方程为（t 为参数），直线 l 与曲线 C2的交点为 A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线 l 的普通方程.

6.在在同一平面直角坐标系xOy中，经过伸缩变换 x，， 后，曲线 C1：x2+y2=1变为曲线 C2.

（1）求C2的参数方程;

（2）设 A2， 1，点 P 是C2上的动点，求△OAP 面积的最大值，及此时 P 的坐标.

7.在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为ρ2 cos2θ+3ρ2 sin2θ=48，其左焦点 F 在直线 l 上.

（1）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求FA+FB的值;

（2）求椭圆 C 的内接矩形面积的最大值.

8.在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为y（x） t（t）  ， （t 为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）.

（1）求 l 和 C 的普通方程;

（2）将 l 向左平移 m（m >0）后，得到直线 l′，若圆 C

9.在直角坐标系xOy中，参数方程为y（x） s（c）in（os）（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：y（x） x，， 得到曲线 C.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ sinè（æ）θ+ ø（ö）= .

（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程;（Ⅱ）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线D上的动点，求MN|的最小值.

10.过点 P-1，0作倾斜角为α的直线与曲线x = cos θ，（1）写出曲线 C 的一般方程;

（2）求PM ∙PN 的最小值.

11.在直角坐标系xoy中，曲线 C1 的参数方程为y（x）   o，sα， 其中α为参数，曲线 C2：x2+y2-2y =0，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l：θ= aρ≥0与曲线C1，C2分别交于点 A，B （均异于原点 O ）

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程;

（2）当0<a <时，求OA2+OB2的取值范围.

12.在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为2，s，（ s 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρ cos θ+2ρ sin θ+9=0.

（1）求 C 和 l 的直角坐标方程;

（2）设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值.

13.在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ.

（1）求直線 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程;

（2）已知点 P1，0，直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，设PB=λPAλ>1，求实数λ.

14.在直角坐标系xOy中，曲线 C1的参数方程为 （α为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为θ=θ0（θ0∈（0， π）），将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C .

（1）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程;

（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 的取值范围.

参考答案与解析

1.【解析】（1）因为曲线 C1的参数方程为y（x） s（c）in（os） ，，

所以曲线 C1的普通方程为x2+y2=1，

将变换T ：即 x，′，将其代入x2+y2=1，

得 +y′2=1，

所以曲线 C2的普通方程为+y2=1.

（2）因为 m >1，所以 C3上的点 A0，-m在在椭圆E：x +y2=1外，

当 x >0时，曲线 C3的方程化为y =mx -m ，

将其代入 +y2=1，

得（4m2+1）x2-8m2x +4（m2-1）=0，（*）

因为Δ=64m4-4（4m2+1）∙4（m2-1）=16（3m2+1）>0，所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，

又 x1+x2=8m2 >0，x1x2=4（m2-1）>0，

所以 x1>0，x2>0，

所以当x >0时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，

又因为曲线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称，

所以当x <0时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，

综上可得，曲线 C2与曲线 C3：y =m|x|-m 的公共点的个数为4.

2.【解析】（1）由 x = = =1-  ，为参数），得 x ≠1.

消去参数t ，得l 的普通方程为x -2y +1=0（x ≠1）;

将ρ2= 去分母得3ρ2+ρ2 sin2θ=12，

将 y =ρ sin θ， ρ2=x2+y2代入，得 x2+ y2=1，

所以曲线C 的直角坐标方程为 x2+ y2=1.

（2）由（1）可设曲线 C 的参数方程为 α

为参数，则曲线C上的点到l 的距离为：

d =|2 cos α-2 sin α+1|=4 cosè（æ）α+ ø（ö）+1，

当cosè（æ）α+ ø（ö）=1，即α=-+ 2kπ，k ∈Z 时，

所以曲线C上的点到直线 l 距离的最大值为，该点坐标为 è（æ）1，- ø（ö）.

3.【解析】（1）依题意得，曲线 C1：（x -2）2+y2=4，

即 x2+y2-4x =0，

故ρ2-4ρ cos θ=0，即ρ=4 cos θ.

cos2α+4 sin2α ，

即 x2+4y2=4，即 +y2=1.

（2）将θ=θ0代入ρ2= ，

得ρ= ，将θ=θ0代入 p =4 cos θ，得ρP =4 cos θ0，由|OP|=2|OQ|，得ρP =2ρQ ，

则4 cos θ02= ，解得 sin2θ0= ，则 cos2θ0= .又0<θ0<，故ρQ = = ， ρP =4 cos θ0= ，

故ΔMPQ 的面积 SΔMPQ =SΔOMP -SΔOMQ =∙|OM|∙ρP -ρQ∙ sin θ0= .

4.【解析】（1）由题：x =mt + ， 所以=t + ，

两式平方得 x -y2=4，曲线 C 的普通方程为x2- y2=1，设Qρ，θ，则Pρ1，θ，因为|OQ ||OP |=8，所以ρ∙ρ1=8，又因为P 点是直线θ=α和ρ sin θ=2的交点，所以ρ1= ，所以ρ∙= 8，即ρ=4 sin θ，

所以动点 Q 的轨迹 E 的极坐标方程为ρ=4 sin θ，ρ>0，

（2）双曲线C 的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为θ=α;它与曲线E 的两个交点 P1、P2，其中一个为极点，

所以|P1P2|=2， 得2=4 sin α， 即 sinα= ， 则tanα=± ，所以±= ± ， 解得m = .

5.【解析】（1）设点 P，Q 的极坐标分别为ρ0， θ，（ρ， θ）），因为ρ= ρ0=2 cos θ+4 sin θ，

所以曲线 C2的极坐标方程为ρ=2cos θ+4 sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2=2ρ cos θ+4ρ sin θ，

所以 C2的直角坐标方程为 x2+y2=2x +4y ，即（x -1）2+（y -2）2=5.

（2）设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

则|MA|=t1，|MB|=t2，

将其代入 C2的直角坐标方程x 12+y -22=5中，整理得 t2-2（cos α+ sin α）t -3=0.由根与系数的关系得t1+t2=2（cos α+ sin α），t1t2=-3.

所以|MA|+|MB|=t1+t2=t1-t2= = = ≥2 ，（当且仅当 sin2α=-1时等号成立）

所以当|MA|+|MB|取得最小值时，直线 l 的普通方程为 x +y -1=0.

6.【解析】（1）由伸縮变换得到 x′， 、①

将①代入 x2 + y2 = 1 ，得 （12 x′）2 + y′2 = 1 ，整理得C2：+y′2=1.所以 C2的参数方程为y（x） n（c） ，α，（α为参数）.

（2）设P2 cos α，sin α0≤α<2π，直线OA：x -2y =0， 2 cos α-2 sin α

所以 S△OAP =OA∙d =∙∙d ≤∙∙252= .当α=或α=时，△OAP 面积的最大值为 ，

7.【解析】（1）将y（x）  s（c）in（os）代入ρ2 cos2θ+3ρ2 sin2θ=48，得 x2+3y2=48，即 x2+ y2=1，

因为 c2=48-16=32，所以F 的坐标为（-4 ，0），又因为F在直线l上，所以m =-4 .

把直线 l 的参数方程代入x2+3y2=48，

化简得 t2-4t -8=0，所以 t1+t2=4，t1t2=-8，

所以FA +FB =t1-t2= = =4 .

（2）由椭圆C 的方程 x2+ y2=1，可设椭圆 C上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（4 cos θ，4sinθ）（0<θ<），所以内接矩形的面积 S =8 cos θ∙8 sin θ=32 sin2θ，当θ= 时，面积S取得最大值32 .y（x） t（t）  （ t 为参数）

圆C 的参数方程为y（x）1- i（s） ，θ， （θ为参数）

消去参数t ，得l 的普通方程为3x -4y -7=0，

消去参数θ，得C 的普通方程为（x -1）2+（y +2）2=1.（2）l′的方程为y =（x +m）- ，即3x -4y +3m -7=0，

因為圆C上只有一个点到l′的距离为1，圆C 的半径为1，所以 C（1，-2）到 l′的距离为2，

即=2，解得m =2（m =-<0舍去）.

9.【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为y（x） n（c）θ， （其中θ为参数），因此，曲线C 的普通方程为+y2=1，

曲线D的极坐标方程为（ρ sin θ+ρ cos θ）= ，因此曲线D 的直角坐标方程为x +y -3=0.

（Ⅱ）设 M（2cos θ，sin θ），则|MN|的最小值为M 到直线 x +y -3=0的距离为d ，

sin（θ+φ）=1时，|MN|最小值为 .

10.【解析】（1）由曲线 C 的参数方程（θ是参数）可得 x2+ y2= cos2θ+ sin2θ=1，即曲线C 的一般方程为

（2）直线 N 参数方程为y（x）1s  c，osα， （ t 为参数）将直线MN的参数方程代入曲线 x2+ y2=1，

得2-1+t cos α2+3t sin α2=6，

整理得3- cos2α∙t2-4 cos α∙t -4=0，设M，N对应的对数分别为t1，t2，

则PM ∙PN =t1∙t2= 4

当 cos α=0时，PM ∙PN 取得最小值为 .

11.【解析】（1） C1的普通方程为（x -2）2+y2=4，C1的极坐标方程为ρ=4cos θ，C2的极坐标方程为ρ=2 sin θ，

（2）联立θ=αρ≥0与 C1的极坐标方程得|OA|2=16cos2α，联立θ=αρ≥0与C2的极坐标方程得|OB|2=4 sin2α，|OA|2+|OB|2=4+12 cos2α，0<a <，可得|OA|2+|OB|2∈4，16.

12.【解析】（1）C 的直角坐标方程为：y2=4x ，将 x =ρ cos θ，y =ρ sin θ代入 l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为： x +2y +9=0.

（2）设Pè（æ） s2，  sø（ö），则点 P 到直线 l 的距离

| s2+2 s +9 （s +2）2+5

当 s =-2 时，距离最小，最小值为d = = .

13.【解析】（1）由消去参数 t ，

得 x -y - =0.

由ρ=4 cos θ，得ρ2=4ρ cos θ，即 x2+y2=4x .故圆 C 的直角坐标方程为x -22+y2=4.

（2）设点 A ，B 对应的参数分别为t1，t2.∴λ=- t1.将直线l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程并整理得 t2-t -3=0，∴t1+t2=1，t1t2=-3.

∴=-，∴+ =-，

得 t1= 6 ，∴λ=- t1= 6 .∵λ>1，∴λ= .

14.【解析】（1）∵x = = sin2 ， y == ， ∴y2= =4x， 即曲线 C1的普通方程为 y2=4x ，依题意得曲线 C 的普通方程为 y2=4（x +2），令 x =ρ cos θ，y =ρ sin θ得曲线 C 的极坐标方程为ρ2 sin2θ-4ρ cos θ-8=0;

（2）将θ=θ0代入曲线 C 的极坐标方程得ρ2 sin2θ0-4ρ cos θ0-8=0，

∴ρ1+ρ2=4 cos θ0 ρ1ρ2=- 8

∵ρ1ρ2<0，∴ρ1，ρ2异号，

∴+ =1+2=ρ1ρ2=

sin2θ0   sin2θ0  1

sin2θ0

∵θ0∈（0， π），∴ sin θ0∈（0，1]，

∴+ ∈（ ， ].