谈谈判断函数奇偶性的方法

陈美娟

函數的奇偶性是函数的重要性质之一.判断函数奇偶性的问题在函数中比较常见，此类问题难度一般不大，主要考查函数的定义域、解析式、图象、对称性.下面，笔者将结合例题重点介绍判断函数奇偶性的三种方法.

一、定义法

定义法是判断函数奇偶性的主要方法.如果对于函数f（x）的定义域内任意一个 x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）是偶函数;如果对于函数f（x）的定义域内任意一个 x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）是奇函数.运用定义法判断函数的奇偶性，需首先令x =-x，求得f（-x）的表达式，将其与f（x）比较，若f（-x）=f（x），则函数为偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数为奇函数.

例1.若函数 y =f（x）和 y =g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义中任意 x 有 f（x）+f（-x）=0，g（x）?g（-x）=1，且当 x ≠0，g（x）≠1，试判断 F（x）= g（x）-1+f（x）的奇偶性.

解：由 F（x）= g（x）-1+f（x），

得 F（x）=f（x）?g（x）-1，

又 F（-x）=f（-x）?g（-x）-1=-f（x）? 1

=f（x）?g（x）-1=F（x），

所以 F（x）是偶函数.

在运用定义法进行判断时，要注意：（1）在整个函数的定义域内讨论函数的奇偶性;（2）具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称.

二、图象法

我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数.运用图象法解题，只需仔细观察图象，明确原点左右两侧的函数图象是否关于原点或 y 轴对称.

例2.设函数 f（x）（x ∈ R）是偶函数，且 f（x +2）=f（x），那么 y =f（x）的图象可能是（）.

A.   B.

C.   D.

解：由 f（-x）=f（x）可知函数 f（x）为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以排除A和C两项.再由f（x +2）=f（x），可知函数为周期函数，且 T =2，必满足 f（4）=f（2），可以排除选项D.故答案为B项.

本题主要考查了函数的奇偶性、周期性.解答本题，需明确偶函数图象的特点：关于 y 轴对称，以及函数的周期为2，由此便可快速确定函数的图象.

三、和差法

有时我们无法直接用定义法来判断函数的奇偶性，同时也无法作出函数的图象，此时运用和差法来判断函数的奇偶性.运用和差法判断函数的奇偶性，需将f（-x）与-f（x）相加或相减，若f（-x）-f（x）=0，则函数为偶函数;若f（-x）+f（x）=0，则函数为奇函数.

例3.判断 f（x）=lg 的奇偶性.

解：因为>0，所以-1则 f（x）=lg 的定义域为（-1，1），其图象关于原点对称，

而 f（-x）+f（x）=lg +lg =lg（?）=lg 1=0，

所以 f（-x）=-f（x），所以 f（x）=lg 为奇函数.

运用和差法解题，首先要考虑函数的定义域，然后通过加法或减法的运算，判断出函数的奇偶性.

相比较而言，上述三种方法中，最常用的是定义法.无论运用哪种方法判断函数的单调性，同学们都需先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再运用函数的奇偶性定义、图象、性质、解析式来解题.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）