教学转换理论视角下高中数学新编教材中数学建模的知识形态*

黄 健 徐斌艳 王思凯

一、问题提出

现如今，信息时代下的数字社会处处离不开数学。科技部、教育部、中科院、自然科学基金委联合制定的《关于加强数学科学研究工作方案》中，亦强调数学实力对国家实力的重要影响，“数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑”[1]。在以上每个领域中，数学几乎都是以数学建模的形式在发挥着重要的作用。数学建模是利用数学知识解决实际问题的活动，数学建模能力的提升正成为全世界数学教育的一个中心目标。[2]各个国家或地区的课程标准都明确包含了数学建模。[3]《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订版)》[4](以下简称“新课标”)将数学建模列为六大数学核心素养之一，将其作为必修内容并给出了具体的教学要求。紧随新课标的步伐，各个版本的新编数学教材已将数学建模内容融入，目前正投入教学实践。

然而，不同背景下，数学建模的具体内涵与表述、表现出的形态与过程、教育的目的与意义等却各具特色。面对全新的数学建模教学，我们应如何把握其核心呢？本研究希望厘清数学建模在我国中学教学背景下的特点，以帮助教师更好地践行数学建模教学，同时也为数学建模素养的培养与研究提供理论参考。

二、理论框架

新课标已明确给出知识如何教学的说明，但这些目标的达成并非仅依靠教师及其教学实践就能实现。课程材料是支撑教师落实教学目标与学生达成学习目标的重要工具。对各国数学与科学教育课程材料的研究表明，教科书可以影响教师的教学内容、教学方式，以及学生的学习内容和学习方式。[5]诚然，教师如何使用教科书等课程材料直接制约着教学目标的落实，对教师使用课程材料的研究亦已成为教育研究的重点。一些研究者认为，分析教师如何使用课程材料的一个关键维度便是书面材料本身。[6]

从课程视角出发，书面材料可以作为客观给出的信息结构，也可以作为一种主观图式进行研究。[7]美国国家科学基金会(National Science Foundation)早在21世纪初便呼吁课程材料的一个潜在假设应该是，“它们可能会推动数学教学和学习的变化”。教材开发者力求教材能够帮助教师以不同的方式将知识结构化，并且能够与学生互动。[8]因此，我们可以预设，新编的高中数学教材也都力求以不同的方式将数学建模内容结构化，以便与教师和学生更好地互动，并期望进一步推动数学建模的教与学。故此，研究不同教材对数学建模内容的呈现形式便显得尤为必要。

教学转换理论(Theory of Didactic Transposition，简称TDT)是伊夫·谢瓦拉德(Yves Chevallard)开发的理论框架。[9]TDT描述了整个教育系统中学术知识进入教学环境的转变过程。当知识被认为是社会制度下人类实践过程中不断演变的产物时，人们就无法以个人主义的方式来考虑教与学，因此TDT的基础可追溯到文化人类学。张奠宙亦提出，数学有3种形态：原始形态、学术形态和教育形态。[10]这两个理论都强调知识在从产生到进入教学环境的过程中发生了变化。区别在于，张奠宙将教材中呈现的数学知识称为学术形态，而教师需要把学术形态转化为教育形态进行教学，其强调的是教师的教学能力与教学责任。而TDT更重视知识本身的转换，强调知识形态从学术知识(scholarly knowledge)到待授知识(knowledge to be taught)，再到教学知识(taught knowledge)，最后到习得知识(learned/available knowledge)的演变关系(如图1)。

图1 教学转换理论框架

在TDT框架中，学术知识主要指科学领域或研究领域下的知识，即知识在原本产生、应用或研究的背景下的形态；待授知识主要存在于课程标准或大纲中，即专家经过筛选后将其“收入”计划中的可教授给下一代的知识；教学知识可以细分为教材中编排与设计好的知识与教师在课堂上教授的知识；最后的习得知识主要指学生认知结构中的知识。该框架与国际数学和科学研究趋势(Trends in International Mathematics and Science Study，简称TIMSS)中所搭建的课程框架[11]具有一定的对应性，其中待授知识与准备的课程(intended curriculum)、教学知识与实施的课程(implemented curriculum)及潜在实施的课程(potentially implemented curriculum)、习得知识与掌握的课程(attained curriculum)都是相呼应的。

TDT框架除了包含文本材料中所呈现的知识，也囊括了知识产生者、研究者、课程设计者、教师、学生等对象认知结构中的知识，即知识是在不同对象间流转的，并在这样的互动中发生了转换。知识从学校外的环境转化到课程标准中再转化到教科书上的过程称为外部转换；而知识从教学大纲或者教科书中转化到教师认知结构中，再转化到课堂上直至学生的认知结构中的过程称为内部转换。[12]

数学建模作为一个诞生于应用数学领域的概念，其本身的内涵演化过程与TDT框架具有高度契合性。若仅在教育环境下关注新编高中数学教材中数学建模知识的形态，则只能知其然而不知其所以然。要明晰数学建模的基本概念，必须先理清其发展脉络，才能更好地描绘出知识的“全貌”。因此，研究以TDT作为主要理论视角，以数学建模为知识载体，聚焦前三种知识(学术知识、待授知识和教学知识)在文本材料之间的转换，即数学建模知识的外部转换，重点分析教材中数学建模知识的表现，以完整描绘数学建模的知识演变过程。

三、研究设计

(一)研究对象

本研究主要选取了三个“数学建模知识”的样本，分别来自学术文献、课程标准和新编教材。具体而言，数学建模的学术知识形态将主要通过对数学教育研究学术文献的综述得到；对待授知识形态的分析主要基于新课标，并以《普通高中数学课程标准(2017年版)解读》[13]为参考；而教学知识形态反映在教材中，选择人民教育出版社(A版)高中数学教材(简称“人教A版”)与上海教育出版社高中数学教材(简称“沪教版”)为例进行分析。

(二)研究方法

在比较不同背景下数学建模知识形态的差异时，本研究选定概念界定、过程描述、教学目标、教学侧重四个维度作为研究的切入点。首先，比较数学建模的内涵界定(什么是数学建模)与操作过程(如何进行数学建模)的差异；其次，关注数学建模知识进入教育环境中的目的(为何学数学建模)；最后，数学建模因其自身复杂性必然导致在教学实践中有所取舍，因此还需要关注数学建模知识教授时的侧重点(数学建模重点教什么)。

考虑到研究对象皆为文本材料，因此主要采用文本分析法(text analysis)进行研究。其中文献与课标的研究以定性文本分析法为主，而教材中的研究考虑到其呈现内容的形式较为丰富，采用结合编码的主题定性文本分析法(thematic qualitative text analysis)[14]进行编码分析。

在研究作为教学知识的数学建模时，选取《普通高中教科书·数学必修第一册》(简称“必修1”)的人教A版与沪教版两本教材为主要研究对象，并对其进行编码。在文献综述与课标分析的基础上，经过三轮专家论证与两轮章节试编的修改后，最终形成教材中数学建模教学知识编码框架(如表1所示)。该框架中四个方面与三个水平的划分主要参考新课标对数学建模素养水平划分的框架。两名研究者对同一教材进行双盲编码后，评分者信度为0.89，即研究工具信度较好。

表1 数学教材中的数学建模知识编码框架

四、研究结果与讨论

(一)数学建模的学术知识

数学建模与数学模型的相关概念最早出现在各个领域对数学的应用中，如天文领域用数学模型描述天体的运动等。目前，数学建模在学术界还没有一个统一且明确的定义，不同研究中所使用的定义或给出的描述均取决于所采用的理论观点。不过，数学建模的内涵还是相对一致的，如尼斯(Niss)将数学建模定义为用数学模型处理数学以外某情境现象的过程，其中，数学模型指建立在数学外部领域到数学领域的映射。[15]

数学教育界对数学建模过程的描述亦是相似的。一般认为，数学建模是周期形式的循环过程，而这个周期必然是在“现实世界”与“数学世界”之间不断转换以求利用数学最终解决实际问题。考虑到数学建模过程的细致程度，不同研究对建模环节的划分略有差异。有些研究提出四阶段循环的数学建模框架，之后又发展出五阶段循环框架、七阶段循环框架等，甚至在此基础上发展出了双重循环框架[16]。其中引用率较高的是布卢姆(Blum)提出的七阶段建模循环框架(如图2)，有学者通过对专业建模者建模过程的研究，发现其建模流程与该建模框架高度相似，且专业建模者更关注对模型的风险评估。[17]

图2 七阶段建模循环模型[18]

数学建模教学的目的在不同研究中也存在一定差异。凯瑟(Kaiser)对学校中数学建模的最新理论观点进行了分类，个别观点如表2所示。

基于“评价即学习”(assessment as learning)的视角[20]，教学评价本身也是学习的一部分，从数学建模评价的聚焦点中便可以提炼出教学的侧重点。常见的数学建模评价研究一般可分为两大类：一是将数学建模能力划分为多个子能力，再分别测评各子能力以评价数学建模能力；二是将数学建模作为一个完整的能力进行测评，考查学生是否能完整地进行数学建模。[21]不难看出，二者都会考查学生数学建模的各个阶段，即关注学生每一个数学建模环节的完成度。不少研究尤其关注学生数学建模过程中的“检验模型”环节。

综上，数学建模在学术界的知识源于各个领域对数学的应用，而20世纪以来，数学教育研究领域已经较为充分地对数学建模知识进行了讨论与分析。虽然这部分学术知识在一定程度上已经“被教育化”了，但由于停留在学术研究的层面上，产生了许多分支的理论与研究成果。这些学术知识是较为分散且有待进一步转换的，而各国课程标准的制定其实便是在某一理论基础上，将某些数学建模的学术知识转化为该国家或地区的待授知识。

(二)数学建模的待授知识

我国基础教育的数学课程标准早在1996年便发现了数学建模的教育价值，并开始尝试将数学建模学术知识转化为待授知识[22]。新课标中将数学建模定义为一种素养，即“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”。与尼斯的定义相比，二者数学所作用的对象并不完全一致，新课标强调了现实问题解决，而尼斯认为数学建模作用的对象是数学以外的某情境现象，诸如性质、特征、关系、原理、问题、疑难、议题等。这两个定义难以严格界定包含关系，但可以发现新课标的要求相对较低且强调了现实背景的重要性，而尼斯的概念中数学作用的对象更加多元化。另外，新课标呈现了大致的建模过程，包括抽象、表达、构建、解决，而尼斯并没有强调这一过程，仅强调了最终的结果。事实上，数学建模的过程是多种多样的，新课标只是提供了一个较为常见的过程，更具可操作性，有助于教师与学生在教学实践中更好地把握。

新课标中将数学建模过程的描述为“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”，并给出了数学建模框架图(如图3)。相比于数学建模的学术知识，该表述同样是循环结构的，且与布卢姆的七阶段循环框架相当[23]。为了更好地理清复杂的数学建模过程，新课标将其归纳为：发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题。但这与学术界的数学建模四阶段循环框架并不对应，因为国际学生能力评估计划(The Program for International Student Assessment，简称PISA)等研究中所构建的四阶段框架往往包括数学化、求解、解释、验证四个环节，而新课标中的表述有所合并，但尤其突出了发现与提出问题环节，可见其重视程度。

图3 新课标数学建模框架图

新课标中提到，“数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力”，即同时认同了数学建模在解决实际问题与推动数学发展两方面的作用。而在教学目标上，新课标明确提出希望学生通过高中数学课程的学习，“能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神”。不难发现，新课标关于学生数学建模学习目标的达成可分为三个阶段：首先，有意识地在生活中发现和提出问题，认识到数学的价值；其次，能用数学模型解决问题；最后，认识到数学建模的意义与价值，并增强创新意识等。与学术知识中的各个理论视角相比，该描述更加偏向于“实用建模”与“教育建模”中的“教学建模”观点，偏实用主义与功利主义目标，强调要让学生学会运用数学建模解决实际问题，认为学习数学建模的目的更多在于应用数学而非发展数学，同时注重发展学生各种能力。可见，新课标中对数学建模的教学要求更多从现实问题出发，最终也回到解决现实问题的目标。

新课标的附录1呈现了数学建模评价的三水平框架，每一水平下的具体阐述又反映了数学学科核心素养的四个方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思。该框架同样关注数学建模环节中关键的四个过程。其中，发现和提出问题主要表现在情境与问题上；建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题三个过程则主要落在知识与技能上。思维与表达、交流与反思虽然也与建模各环节有一定交集，但更多体现在建模环节之外，如表达建模过程的能力与交流建模结果的能力等。因此，新课标中又表现出“教学建模”观点的影子，即希望学生能在这样的过程中培养更多元的能力。

(三)数学建模的教学知识

人教A版与沪教版的新编高中数学教材必修1中均没有对数学建模或数学模型进行定义。人教A版必修1中提到“在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具”[24]，即默认学生已在初中阶段接触过类似的概念。沪教版必修1同样没有提及这两个概念的界定，甚至词频出现的次数也较少。不过，沪教版专门为数学建模编制了一本必修教材——《普通高中教科书·数学必修第四册》(简称“必修4”)，其中提供了11个适合普通高中学生开展的数学建模活动，且在“引论”中明确给出了数学建模与数学模型的概念及数学建模过程的框架图。教材中写道：“一般来说，数学建模是对某个现实问题经过必要的简化、合理的假设得到一个数学问题，称为数学模型，再求解所得到的数学问题，然后根据实际情况验证该数学答案是否合理；在合理性得不到保证时，还要进行反复迭代和修正模型。因此，数学建模是一个建立数学模型的过程。”[25]从该定义中可以看出，沪教版必修4的数学建模概念界定与新课标的共同点在于都从现实问题出发，即数学的作用对象相同。但新课标将其定义为素养，建模目的在于解决实际问题，而沪教版将其定义为建立数学模型的过程，建模本身蕴含结果与目的的双重含义。

对于数学建模的过程，人教A版必修1中没有给出一般化的过程描述，而是聚焦于建立函数模型解决实际问题的过程，即“函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型。然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型。最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的”[26]，并基于一个实例呈现如图4所示的框架图。与数学建模的待授知识相比，人教A版将数学建模活动融入函数内容的学习之中，以函数知识为背景进行教学，所描述的数学建模过程也具有一定的特殊性，但基本与新课标所描述的四个过程相对应，框架图也类似。沪教版没有在必修1中给出数学建模的过程，而是在必修4中呈现与新课标相同的数学建模框架图(如图3)，对数学建模过程的描述也相同。

图4 人教A版必修1中数学建模框架图

教材中对数学建模的教学目标描述仅在沪教版必修4中有所提及，其在“引论”部分提到希望学生在数学建模活动中“不仅加深对相关数学知识和技能的理解，更可以学习如何利用数学建模来解决实际问题”[27]。可见沪教版的观点与待授知识一致，都反映了“实用建模”的观点，但也强调了新课标中未提及的“概念建模”观点，即希望通过数学建模提升学生对数学知识与技能的理解。

从编码数据中，我们可以更好地分析两个版本教材必修1中对数学建模教学目标的落实与教学侧重点的关注(如表3所示)。从表3的数据可以看出，由于人教A版必修1在内容编排上比沪教版必修1多了三角函数等章节，加上语言、排版、页数等方面的差异，人教A版编码数量明显高于沪教版，因此分析上我们更多以百分比数据作为讨论依据。

表3 两版教材编码数据

将21个编码按四个方面与三个水平分别聚类，生成图5所示的条形图。由图5左可见，两版教材虽然在具体编码的数据上有一定的差异，但分配到四个方面时，二者数据相当接近，百分比之差最大不超过2.5%。可见两版教材皆关注待授知识中所强调的四个方面，考虑到教材的编排，四个方面的比重难以完全一致，因此大概3∶10∶5∶2的比例是两本教材一致的选择。从三水平的分布上看(如图5右)，二者在水平三的占比皆是最低的，这也符合新课标中提出的“水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考”。因此，必修教材放低对水平三的要求是合理的。人教A版中水平二编码最多，而沪教版中水平一编码最多，可以解释为沪教版将更高水平的建模内容设置在了必修4。

图5 两版教材四方面比较(左)与三水平比较(右)

为了进一步探讨教材对数学建模各环节的关注度，我们选取水平二编码中的1.2.1、2.2.4、2.2.5、2.2.6进行比较分析，这四个编码分别对应了数学建模的四个关键环节。如图6所示，两版教材中的编码1.2.1都是最少的，即提出问题这一环节在常规数学教学内容中还是未能得到较好的体现。另外在检验模型上，人教A版所占比例较大，可见该教材在一定程度上关注到检验模型的重要性。

图6 两版教材四个建模环节比较

(四)比较与讨论

综合以上数据与结果，将数学建模的学术知识、待授知识、教学知识中的关键信息整理如表4所示。

表4 数学建模三类知识的关键信息梳理

从概念界定上看，新课标中的数学建模待授知识基本符合学术知识中的界定，但是更加明确了数学的作用对象为现实问题，使得教学上有明确的抓手。而两个版本教材的必修1中都没有数学建模的概念界定，而是以渗透的方式讲授数学建模知识，即把“数学建模”与“数学模型”作为一个通识概念在教学中使用。沪教版必修4给出了一个明确的概念界定，但相比于待授知识，其弱化了数学建模解决问题的目的，而是将构建模型作为数学建模的核心，以突出模型构建的重要性。可见概念演变越来越微观与聚焦，学术知识的数学建模包罗万象，待授知识的数学建模聚焦于现实问题的解决，教学知识的数学建模则更多地落实在关键的建构模型环节上，让学生能一步步攀登数学建模的高峰。

在过程描述上，学术界根据研究的细致程度有不同的建模框架。新课标的待授知识遵循了学术知识中的关键特征(两个世界呼应与循环周期模型)，所提出的数学建模过程与布卢姆的七阶段循环模型最为接近。人教A版必修1中以一个具体建模活动为例，给出数学建模的过程描述与框架图，与新课标中的表述相对应，可视为待授知识的一个子集。沪教版在必修4中则给出了如新课标中的过程描述与框架图。由此可见，在过程描述这一维度下，教学知识与待授知识是保持高度一致的。

教学目标维度上，学术知识包罗万象、百家争鸣，可见数学建模是一个富有教育价值的教学内容。待授知识更偏向“实用建模”与“教学建模”的观点，旨在要求学生掌握或提升数学建模本身的能力，能够应用数学解决实际问题。这与新课标的定位是一致的，新课标立足素养本位，即教学的目标在于培养学科核心素养，而不仅仅是为了教学学科知识本身。人教A版必修1与沪教版必修1中都未提及数学建模教学的目标，沪教版必修4中则在强调数学建模学习在应用数学解决实际问题方面的价值之外，提到了其对相关数学知识和技能学习的作用，即提出了“概念建模”的观点。从两版教材必修1的编码数据中也可以看出，数学建模内容都是嵌在各个内容主题教学中的，人教版主编章建跃同样在文章中提到了这样的编写意图。[28]因此可以认为，这两版新编数学教材中对数学建模教学的目的除了培养学生的数学建模素养以外，也希望数学建模能够帮助学生深化每一章节学到的数学知识与技能。有学者认为“教学建模”与“概念建模”两个目标都是重要的[29]，也有学者认为目前大多数国家的课程教学中更加关注的还是用数学建模促进数学知识的学习，但已经开始逐渐转向将数学建模本身也作为教学内容和目标了，[30]这与我国教材中的表现是一致的。

在教学侧重上，待授知识构建了四方面三水平的框架，而通过编码可以看到两版教材必修1中基本上都包含了该框架中的内容。教材编写者在对新课标中的数学建模待授知识进行解构与重组的过程中，认识到了四个方面的差异，因此在教材中给予了不同频次的呈现。由于两版教材在四个方面上的编码占比极其接近，有理由认为这个比例相对合理。而在水平上，两版教材都侧重水平一与水平二，这同样符合新课标的要求。在数学建模的环节上，两版教材都更加侧重模型的建立与求解过程，对模型的检验不够重视，而对新课标尤其关注的问题提出环节的体现更是有些不足。数学建模的待授知识对各个建模环节几乎是一视同仁的，甚至与PISA的数学建模四阶段循环框架相比，有意识地把发现和提出问题作为一个重要环节，可见两版教材在必修1的编排上似乎更偏向于PISA所搭建的学术知识框架。而模型检验环节的缺失或淡化一直是国际上数学建模教学研究的一个共同难题。

五、启示

从教学实践上反思研究结论可以为数学建模教学提供有效的借鉴。首先，教师在开展教学之前应该深入理解数学建模知识的发展范式，明晰其在高中教学背景下的概念。或许不少中学数学教师在自身接受高等教育的阶段都有一定的数学建模经验(如数学建模竞赛或相关课程学习等)，这些经验无疑是进一步开展教学的有力支撑，但这些知识与课标、教材中的却并不完全一致，教师们不能仅仅依靠这些知识进行教学。因此，了解和理解数学建模的待授知识与教学知识是教师们教学前必不可少的环节。其次，教师应该明确高中数学建模教学的目标与评价依据。在抓住新课标中“数学建模”概念界定的基础上，教师要进一步把握数学建模过程的关键环节，才能更好地达成课标中核心素养的教学目标。数学建模的待授知识与学术知识是有差异的，因此教师在数学建模教学时不应过分强调数学知识的难度，并不是一定要用复杂的甚至是高等的数学才能完成数学建模任务。高中阶段数学建模教学的目的不是让学生们都成为数学建模专家，关键的教学目标应在于掌握数学建模的过程，即让学生能够用已有的数学知识去合理地解决实际问题，用数学的眼光看世界。新课标中的数学素养本身强调的便是这种解决实际问题的能力，因此高中数学建模教学与评价的重点与建模竞赛是有明显差异的。此外，不同版本教材对数学建模的界定与教学重点也是不尽相同的，这需要教师真正学会“用教材教”而不是“教教材”。这些新编教材都在为数学建模的教学提供可实施的有效途径，如人教A版突出将数学建模融入一般教学内容中教授，而沪教版编写了必修4以突出完整建模活动的价值。因此在课程资源的选择上，教师需要对教材进行“二次开发”，取百家之长，尤其要为数学建模教学知识的薄弱环节适当补充资源(如问题提出与模型检验环节)。新课标中尤为重视数学建模的问题提出环节，虽然教材中没有许多显性的引导语，但教师可以基于教材中已有的丰富现实情境，给予学生更多问题提出的学习机会。

研究结果表明，数学建模知识在进入教学环境的过程中确实发生了一些转换，从学术知识到教学知识，知识的各维度都被有目的地解构与重组了。TDT框架作为一种分析工具，其目的便在于避免对教育现象，尤其是所涉知识的本质产生模糊的错觉。学校中所传授的教学知识必然是由外部知识“合法化”后得到的，以保证所教授的知识符合认识论。然而，教学人员也不必为这些知识打上必然正确或错误的标签，只需要去了解它们，并将之整合到教育现象的分析中即可。因为这些知识本质上都是为教学本身服务的，并不是教材中呈现的知识有别于学术文献中的知识便视其为错误。因此，在理论上我们首先要正视知识的转换，理解其目的与意义。

不仅在数学教育领域，TDT也被许多其他的教育研究所借鉴，如自然科学、哲学、音乐、语言、技术、体育等[31]。未来的教育研究依旧可以参考该理论框架进一步研究不同知识之间的转换，因为厘清概念关系不仅有利于教学实践，更有助于学术探讨。以数学建模知识为例，国际比较研究中发现各国课程标准已将其列为重要教学内容，但不同社会文化背景下的待授知识与教学知识必然是有所差异的。有丹麦研究者便对其国内数学建模的待授知识与教学知识进行比较研究，发现教材中的数学建模教学知识主要作为一种“技术”出现，解决的更多是数学问题而不是现实问题，[32]这便与我国存在一定差异。当然，更精细的国际比较研究还有待进一步开展。