对小数数学概念教学的认知与思考

张欣

对于分数的教学，“人教版”教材从三年级开始启蒙。三年级学习内容中有关于分数的初步认识。为什么叫“初步认识”呢？因为学生要完整地构建分数概念，需要从量和率两个维度完成。而三年级只是从“率”的维度认识分数，从在一个整体中认识几分之一，到在多个整体中认识几分之一，再到認识几分之几。这些都是在表示部分与整体的关系，是“率”的维度，没有涉及用分数表示量。所以叫作分数的初步认识。而五年级的分数教学站在量和率两个层级上，通过对量和率的转化，完整建立分数的概念。

本节课的教学内容“假分数”的认知基础是：三年级分数的初步认识、本单元第一小节“分数意义”及第二小节分数与除法的关系。

基于学生已有的知识经验和五年级学生能够达到的思维水平，本节课“假分数”的教学主线为：从把4块月饼平均分给三个人的问题引入教学，帮助学生初步感知假分数;再助推学生迁移到分母是3和4的假分数，辅助学生进一步完善对假分数的内涵的理解。

下面，我就以“假分数”的教学为例，简要叙述对小学概念教学的思考。

一、问题引入，初步感知

本节课开篇提出生活问题：“四块月饼平均分给三个人，每人分到多少？”用这个问题引入的目的在于：唤醒学生已有关于分数意义、分数与除法的相关经验。引导学生在解决问题中，走近假分数。

课堂上，学生面对这样的问题有着怎样的表现呢？

学生给出的第一种回答是：“可以每个人先分一整块月饼，然后每个人再分  块月饼”。

这样思考的学生，对把一个物体平均分后可得到它的几分之一印象深刻。他们头脑中的分数经验是不完整的。对单位“1”的认识仍然停留——一个物体可以看作单位“1”。当4个月饼做单位“1”时，且单位“1”所包含的数量大于平均分的份数时（也就是4个月饼平均分成3份，所得结果又不是整数），从这个角度分析，也让我再一次思考：单位“1”的概念建立不是一朝一夕的事。因为没有相关经验支撑，他们做不到把4块平均分成3份，也想不起来可以借助分数与除法的关系利用分数表示结果。所以说，这样表达的学生对分数意义、单位1及分数与除法的关系这些与“假分数”密切相关的知识，掌握得并不理想。

学生给出的第二种回答，是：“把每个月饼平均分成3份，把第一块月饼分成的3份平均分给三个人，第二块月饼分成的3份平均分给三个人，第三块月饼和第四块完成同样的步骤。最终每个人获得4个  块月饼”。如图1所示：

这样思考的学生比第一种思考的学生进步点在：他们对分数与除法的关系掌握是牢固的。分数与除法教学中，这样数形结合的形式，帮助部分学生记住了“分数单位累加可以得到一个新的分数”

学生给出的第三种回答，是：“运用学过的分数与除法的关系，4块月饼分成3份，那么用4÷3=  。”通过分数与除法关系的表达式子，学生也能给出  这个分数答案。这样思考的学生对分数与除法的关系掌握得比较牢固。

二、自主迁移，体悟内涵

1.借助几何直观，理解  的意义。

学生通过不同回答思路，都得到  这个答案。借助几何直观帮助学生理解  的含义。引导学生思考“能否用一幅图来表示一下  这个分数？”

依据学生之前在分月饼时的第二种回答结果，每个人获得4个  块月饼。依照展示的4个  的图示，学生会很自然地把其中的3个  拼合在一起，拼成一个完整的月饼图形，这一过程是帮助学生借助几何直观看到了“分数单位累加成  也就是单位1的过程”形成一个完整的单位1，再加上剩余的1个  。

学生看到了4个  到1个  的变化过程，也就初步理解了  的意义，如图2。

2.促进迁移，深化理解。

在此基础上，老师提出“  如何表示？”学生会将  是4个  的经验迁移，回答  是5个  ，也就是在示意图上再涂色一份。

继续追问“  如何表示？”学生也就能顺应思维的进程，很容易地就想到  是6个  。这时候学生有了这样的几何直观，不但他理解了  是6个  ，为将来  =2也奠定了一定的基础。

提出推进学生思考的问题“你还能想到分母是3的假分数吗？用图怎样表示？”学生会想到  ，学生会想到  。学生此时说得越多，说明他对假分数现在的感受越来越深刻、越来越完整。

以上学习活动，帮助学生从两个角度认知假分数，第一，随着分数单位的累加，产生了大于1的分数，第二，当取的份数大于单位1被平均分的份数时，需要再出现一个单位1，随着取的份数的增加，单位1也在增加。

在此基础上提出“  如何表示？”这是学生认知上的又一个飞跃。引导学生明确在现有1个单位“1”中无法表示  ，如果想表示  需要再画一个单位“1”，将其平均分，取其中的1份。

继续追问“  如何表示？”学生会立即想到：9个  累加在一起，会出现——在现有的两个单位“1”中无法表示，需要再添加1个单位“1”，在3个单位“1”中涂色9份。

以上学习活动中：学生自己说出“再来一个”“再加一个”这样的关键字眼，帮助学生理解累加单位“1”的内涵，也就理解了假分数这一概念的本质。

在认识假分数之后，我们完成了一个数学学习单（如图3），“写出一个分母是4的假分数，并用一幅图表示它的意思。”从学生的完成情况可以看到，通过这节课的学习，100%的学生能够写出假分数，有94%的学生能够达到用图去解释他所写的假分数。说明学生对假分数概念已经有了比较深刻的理解和认识。

三、教后反思

从分数意义的发生和发展过程来看，假分数的实质是对真分数的拓展。在回忆熟知的真分数之后，唤起学生对所熟悉的部分与整体关系的回忆。同时通过教学情境，类推出分子比分母大的分数。这种分数的出现，为教学探究创设了问题情境，引起了认知矛盾冲突，有效激活学生的思维和学习兴趣。

纵观整节课，通过图形语言揭示概念的意义和特征，将图与分数的特征相对照进行解释、分析和说理。帮助学生在观察中感悟概念的意义和特征，体会数形结合在解决问题中的优势。帮助学生感知如何用圆中阴影表示分数，根据学生已有的经验，有效突破单位的“1”的限制。让学生明白分子比分母大的分数，其表示的具体数量已经超过了单位“1”所包含的数量时，需要再增加、再累加这样的一个单位“1”。通过教师的有效引导，帮助学生明确单位“1”的大小、平均分成的份数与分数有密不可分的关系，再次强化了分数意义的重要性。之后，通过设问明确把谁看作单位“1”，帮助学生探求认知上的误区，让学生感悟到同样的图形，单位“1”的不同，得到的分数会有很大的差异，从而强调单位“1”的重要性。

其次，在教学过程中，我发现学生对于假分数的理解存在不牢固的现象。学生对于分子比分母大的假分数是认可的，但是相当一部分学生对分子与分母相等的假分数保持怀疑态度。在教学中，我一边鼓励学生这种敢于质疑的精神，一边通过各种形式如几何直观、分数与除法的关系等去解释假分数的含义，当看到学生点头示意后，我心里由衷地高兴。教学永无止境，只有师生共同探索，才能得到乐此不疲的学习效果，我们一起努力向未来。

（徐德明）