课堂教学中融入数学文化的实践探索

郭艺斌 危志刚

摘  要：从课堂引入、习题讲解、作业布置等环节讨论数学文化融入数学课堂教学活动的方法.

关键词：数学文化;育人价值;课堂教学;实践探索;渗透

数学文化内容丰富、功能多样，其最大的作用是以数“化”人. 合理运用数学文化是发展学生数学学科核心素养的有效手段之一，也是立德树人的一种具体表现. 数学课堂是促进学生数学学科核心素养发展的主阵地，在课堂教学中渗透数学文化是本次课程改革的重要内容之一. 如何让数学文化在教学中发挥良好的育人作用？笔者将在本文中进行初步探讨.

一、活用数学史料，让学生感悟数学思想和数学精神

要发展学生的数学学科核心素养，就要让学生学会用数学眼光发现问题，用数学语言表达问题，用数学思维思考问题，用数学方法解决问题. 在数学课堂教学中，教师不仅要教给学生数学知识，更要教给学生看问题的角度和方法，从而形成正确的理性思维和科学精神.

数学史是数学文化的重要组成部分. 在数学教学过程中，适当融入数学史有助于学生弄清数学概念和数学思想方法的发展过程. 因此，很多数学教师在新课导入时会介绍与新课内容相关的数学史实. 在介绍数学史实时，教师如果能合理组织、恰当引导，让学生对一些数学思想和数学精神有所感悟，就会达到事半功倍的教学效果.

下面以人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）选择性必修第二册中的“等差数列的前[n]项和公式”的教学设计为例进一步探讨.

教材是这样引入的：据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：[1+2+…+100=？]当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：[1+100+2+99+…+][50+51=101×50=5 050]. 高斯的算法实际上解决了求等差数列[1，2，3，…，n ，…]前100项的和的问题.

学生对于这个关于高斯的历史故事耳熟能详，故事中介绍的“倒序相加法”也是经典. 教师直接把这个故事再讲一遍导入新课，虽然不会出现大的纰漏，但是总觉得少了一些数学味道. 对于高斯给出的这个“巧妙”的计算方法，学生容易理解，也能做到，但是就是想不到. 如何利用這个故事引导学生经历数学的思维过程，在得到等差数列的前[n]项和公式的同时，使学生体会蕴含其中的数学思想方法，感悟数学家深入思考问题的探索精神，是教师在授课前需要思考的问题. 以下是笔者的教学设计.

问题1：与其他算法相比，高斯的算法有何不同？优势在哪里？

追问：累加法就一定不好吗？

师生互动：作为课堂的开始阶段，这个环节以学生的自主思考和回答为主，以教师的引导为辅. 教师引导学生从结构出发比较、分析两种算法的特点：高斯的算法是通过首尾配对将不同的数的求和转化为同一个数的求和，进而把多步的加法变成一步的乘法，从思维角度考虑，它比较高效;累加法是最基础的计算方法，虽然操作机械，动作重复，但是它却给计算机的运算提供了有力的理论保障.

【设计意图】课堂引入要围绕教学目标将学生的注意力尽快吸引到教学任务上来. 从育人的角度来看，这样的问题设计可以引导学生从不同的角度看问题，充分调动学生的学习主动性，拓展学生思维的宽度，使他们体会到蕴含其中的数学思想方法和探索精神，从而提高学生的探索能力.

问题2：高斯的算法利用了等差数列的什么性质？这个性质有没有推广价值？

追问1：能否用高斯的算法计算[1+2+3+…+][100+101]的值？

追问2：能否类比高斯的算法计算[1+2+3+…+n]的值？

追问3：能否向高斯学习，对上述做法进行适当改进？

师生互动：课堂探索进一步深入，教师引导学生思考高斯的算法中蕴含的等差数列的性质，并思考推广到一般的可能性. 通过计算[1+2+3+…+101]的值进一步巩固高斯的算法，让学生在探索中发现首尾逐项配对后，中间项51是单独的. 这时候，教师可以引导学生类比高斯的算法对数列进行求和. 同时，让学生思考：是否需要对这个数列的项数是奇数还是偶数进行分类？然后让学生进一步探索[1+2+3+…+n]的结果. 经历了这样的过程后，学生的思路就会比较清晰. 当学生发现无论项数是奇数还是偶数结论都一致时，教师进一步引导学生思考：是否可以改进算法，不用讨论就可以得出结论？从而引出数列求和的“倒序相加法”.

【设计意图】让学生用数学眼光看待问题，重温数学家的探索之旅，可以帮助学生掌握数学知识的来龙去脉，体验数学家思考问题的方式、方法，感悟他们孜孜不倦的探索精神，进而提升学生的好奇心和数学学习兴趣.

利用数学史实创设情境可以让学生在情境的引导下发现问题和提出问题，并从数学的角度经历完整的探索过程，培养学生的理性思维和科学精神. 通过解决问题，学生获得真切的体会，能够形成良好的思维习惯，从而在以后面对新的、复杂的问题时会有属于自己的精神动力和处理方式. 这就是数学文化的育人价值的体现. 当然，学生个体品行的良性发展是一个长期的过程，不可能通过课堂上一两次的以数“化”人就轻易实现. 数学学科专业性较强，不宜在课堂上过多宣讲精神和理念，以免喧宾夺主. 如果教师通过适时、适度、恰当地渗透，能够在学生心里滴下一滴“理性的水滴”，那么这堂课就充分体现了数学的育人价值.

二、拓展习题讲解，让学生体会数学的科学价值和应用价值

数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，而思维训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算. 众所周知，要想学生具备良好的数学素养，适当的习题训练必不可少. 在盲目的习题训练中，用“题海战术”来提高学生的数学水平，不仅会使学生对数学学习产生倦怠感，也会使他们在数学发展道路上越走越窄，这偏离了数学育人的初衷. 在数学课堂教学中，学生是主体，教师是主导. 教师要通过习题训练引导学生学会思考，提升学生的自主学习能力，帮助学生形成思维体系，并认识到数学的科学价值和应用价值. 事实上，很多数学习题中隐含文化知识. 在进行习题讲解时，教师不妨适当讲一讲习题的文化背景或应用价值，让学生感受数学在生活中的实用性，提升他们学习数学的兴趣，增强他们学习的动力.

下面以教材必修第二册中的“余弦定理、正弦定理”一课的习题设计为例谈谈笔者的做法.

习题：在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]. 已知[a=13，b=14，c=15].

（1）求[cosB，sinB]的值;

（2）求[△ABC]的面积.

师生互动：先让学生独立完成，然后让学生展示解答过程.

对于第（1）小题，已知三角形三条边的长求内角，主要利用余弦定理和同角三角函数的基本关系代入公式求解，对于学生来说并不困难. 解题后，教师要让学生说说运算过程中的一些感受，以及是否有一些运算小技巧（如利用平方差公式）.

对于第（2）小题，学生过点[C]作一条高，利用已知条件和三角形的面积公式即可求解.

另外，由于《普通高中数学课程标准（2017年版）》对三角形的面积公式[S=12acsinB]没有提出要求，教材中也并未介绍，仅出现在习题6.4的第10题中，让学生自行探究. 如果有学生利用三角形的面积公式[S=12acsinB]进行解答，教师也应该进行展示，并给予学生肯定和表扬.

【设计意图】提高学生的运算能力既可以巩固学生所学的知识，又可以强化他们对运算的认知水平，进而提升学生的数学运算、逻辑推理等素养. 这是数学运算的育人价值. 在运算过程中，教师引导学生关注运算式的结构特點，采用恰当的方法提高运算效率，这是利用数学眼光观察事物的具体表现，是提高学生运算素养的有效途径之一. 对于学生在运算过程中的“新”发现，教师要及时肯定，以便提升学生对数学探究的兴趣和信心.

教师给出以下问题作为习题延伸.

问题：这道题是有故事背景的，大家知道吗？

师生互动：讲故事总会引起学生的兴趣，缓解纯粹的习题训练给学生带来的疲倦感，从而活跃课堂气氛. 教师告诉学生此题是我国古代数学著作《数书九章》卷五“田域类”中的一道应用题：问沙田一段，有三斜. 其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何？翻译过来就是前面的习题. 教师进一步介绍此书的作者（南宋著名数学家秦九韶）给出的此题的一种独特算法——三斜求积术. 我们把三斜求积术用数学符号语言表示出来：已知[△ABC]的三边分别为[a，b，c]，且[a<b<c]，则其面积为[S=14c2a2-c2+a2-b222]. 接下来，教师让学生用习题中的数据代入计算，验证答案是否一致. 最后教师小结：我国古代学者不仅有很高的数学水平，而且注重理论与实践的结合，是我们学习的榜样.

【设计意图】在习题讲解时适当扩展习题外延，让学生了解数学在生产生活中的应用，感受数学的应用价值. 适当介绍我国古代数学的辉煌成就，以及数学家们勇于探索、求真务实的精神，激发学生的爱国热情和学习动力，为他们今后的数学发展提供方向.

在现代社会中，数学有很多出人意料的应用. 我们生活的各个方面正在数学化，数学正在悄悄地改变我们的生活. 数学文化的显著特点是实用性，在平时的教学中，教师应该合理选取素材，积极、恰当地渗透数学知识，为培养学生的自主探索和研究性学习精神起引导作用. 同时，教师要有意识地汲取我国优秀传统文化的精髓并渗透到教学过程中，增强学生的民族自豪感和爱国情操，实现德智融合，体现立德树人.

三、留心作业布置，让学生认识数学的文化价值和审美价值

数学很美，有简洁美、对称美、和谐美和奇异美等. 但是在学习过程中，很多学生却觉得数学知识很抽象，习题训练很枯燥，没有美可言. 这是因为学生没有感受到数学的美，也没有理解数学的美，更不会欣赏数学的美. 教师要引导学生进行数学审美. 在教学活动中，教师引导学生用数学眼光发现生活中的数学美，用数学方法探索数学美，用数学思维感受数学美，让学生体验求知的乐趣，领会探索的美妙，感受追求卓越的幸福. 这是体现育人价值的较高层次.

数学文化有着丰富的内涵，可以陶冶人的审美情操，在提升学生的数学学科核心素养上起着重要的作用. 在教学过程中，教师要注意利用数学文化让学生感受数学美的存在，并通过一些活动让学生体验数学的美.

以布置课堂作业为例，教师布置作业的目的是让学生巩固本节课的学习成果. 教师把与本节课的学习内容相关联的数学文化素材合理融入作业中，让学生在完成作业的过程中既能巩固数学知识，又能感受到数学好玩，从而享受数学学习的乐趣.

例如，在教学“椭圆及其标准方程”（第1课时）时，笔者布置了如下作业.

作业1：在运动过程中，如果点[Mx，y]总满足关系式[x2+y-32+x2+y+32=10]，那么点[M]的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.

作业2：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.

（1）焦点坐标分别为[0，-4]，[0，4]，[a=5];

（2）[a+c=10]，[a-c=4].

作业3：折纸游戏.

① 准备一张圆形纸片，标注好圆心[O]，在圆内任画一个点[F]（圆心[O]除外）.

② 在圆上任意找一个点[A]，把圆形纸对折，使得点[A]和点[F]重合，画出折痕[l1].

③ 重复步骤②，得到一组折痕[l1，l2，l3，…，ln].

观察折痕所围成的图形的形状，并思考其中隐含的奥秘.

【设计意图】椭圆的概念是研究椭圆的基础，理解并掌握椭圆的概念很重要. 本节课教师布置的作业目的是帮助学生理解并掌握椭圆的概念. 前两道作业题采用教材上复习巩固的第1题和第2题，分别从椭圆的代数式结构和标准方程两个方面巩固学生对椭圆的概念的理解和掌握. 第三道作业题是亮点. 它是教材复习巩固的第6题的变形，把椭圆的概念和我国民间传统文化艺术——折纸有机结合起来，让学生通过动手实践进一步理解椭圆的概念. 同时，折纸展示了数学的对称美和和谐美，让学生感受到数学与生活息息相关，帮助学生领会数学的应用价值. 通过这样的作业，激发学生学习数学的兴趣，使他们受益匪浅.

在数学教学中，教师充分利用数学文化引导学生发现和挖掘数学美，使学生在赏心悦目的学习过程中与数学结下不解之缘，使学生的理性精神在追求美的过程中得到升华. 当学生乐学、教师乐教时，数学的育人价值就实现了.

四、结束语

数学文化如春风化雨，无声地洒在学生学习数学的漫长道路上，滋润着学生的心灵，帮助学生健康成长. 赫尔巴特曾经指出，他不承认有任何无教育的教学，教学如果没有进行道德教育，只是一种没有目的的手段. 知识和技能固然重要，但是与做人的方向和价值观相比，显然有工具的性质. 数学教师不仅要成为数学知识的传授者（经师），也要帮助学生形成健全的品格，成为学生人生道路上的引路人（人师）. 在教学中，数学教师要注意进行显性和隐性的品行教育，充分利用数学文化以数“化”人的功能，把育人与知识传授有机统一起来，真正提升学生的数学学科核心素养，使他们成为合格的社会主义建设者和接班人，实现立德树人的根本任务.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[3]齐龙新. 高考中的数学文化[M]. 北京：电子工业出版社，2017.

[4]檀传宝. 德育原理（第三版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2017.