“圆锥曲线定值问题”课堂实录及反思

吕德荣

摘  要：解析几何的本质是用代数方法研究几何图形中所蕴含的性质和规律. 以“圆锥曲线定值问题”的教学为载体，通过问题驱动的教学方式，引导学生分析圆锥曲线的几何特征，提高学生的解析几何运算能力，进行解题规律的提炼与数学思想的升华，培养学生的逻辑推理和数学运算素养.

关键词：圆锥曲线;定值问题;几何转化

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中要求解析几何重点提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数學抽象素养;要求学生能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程，根据具体问题情境的特点建立平面直角坐标系，根据几何问题和图形的特点用代数语言把几何问题转化为代数问题，根据对几何问题的分析探索解决问题的思路，运用代数方法得出结论，给出代数结论合理的几何解释解决几何问题. 同时，《标准》也提出了教师要加强对学生的学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联.

章建跃博士在文献[2]中谈到，“四基”“四能”只有通过“思维过程的教学”才能得到落实. 这个“过程”是学生在教师启发下积极主动地理解数学知识的思维过程，数学学科核心素养也只有在这样的过程中才得以实现. 因此，我们特别注重以数学知识的发生、发展过程为载体，以恰时、恰点的问题引导学生的思维活动，努力使学生经历研究一个数学对象的基本过程，在过程中培养学生的数学思维，发展学生的数学能力.

解析几何的本质是用代数的方法研究几何图形中所蕴含的性质和规律，解析几何综合问题对学生的能力要求较高. 在高考备考中要着重培养学生的数学思维习惯，让学生在解题过程中重视对几何关系的深入研究，深入挖掘题目中的几何条件，探究运动变化过程中所蕴含的几何特征. 要让学生依据题目中的几何关系，通过代数运算实现对图形中几何关系的探究，从而形成正确的求解思路. 在培养学生数学思维习惯的过程中，问题的引导和驱动非常重要.《标准》倡导教师要运用适当的问题串帮助学生探究新知，突破学习障碍. 基于学情，在解题的各个环节，在学生需要处和思维的深刻处精心设计问题，实现师生之间的深度对话，充分暴露师生解题的思维过程，教给学生遇到解题障碍时应该怎么想，努力说明每个念头都是自然的、合理的. 问题的设计要问在理解题意处、问在思路探究处、问在思维障碍处、问在回顾反思处. 针对解析几何综合问题的特点，通过一系列问题的设计，完成对题目的几何特征进行代数表达的分析，从而帮助学生在关键步骤、容易“卡壳”的步骤展示思维过程，培养学生的数学学习习惯.

解决解析几何问题面临的困难之一就是烦琐、复杂的代数运算. 在解题过程中，许多学生因为不能顺利进行数学运算而导致解题半途而废. 课堂上和复习过程中，教师要舍得花费时间与学生共同经历分析问题、解决问题的全过程，向学生阐述每一步计算的算理，提醒学生注意每一个运算细节，教给学生重要的代数变换方法和必备的计算技巧，促进学生运算能力的发展，使学生感悟“理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择原则方法，设计运算程序，求得运算结果”的数学运算素养的内涵与实际价值.

2021年11月19日，笔者有幸参加了一场以“利用几何图形建立直观  通过代数运算刻画规律”为主题的教研活动，活动围绕“高三年级圆锥曲线复习课”展开研讨. 研讨过程中，笔者上了一节“圆锥曲线定值问题”公开课，得到了与会专家的一致好评. 本文以这节课为例，谈谈如何通过问题驱动，实现对研究对象几何特征和解析几何运算特点的分析. 在这一过程中，需要教师重视引导学生进行解题规律的提炼与数学思想的升华.

二、课堂实录

环节1：复习回顾，铺垫引入;创设情境，提出问题.

问题1：上节课我们研究了椭圆中斜率积为定值的问题，探究过程是按照什么思路展开的？得到了什么结论？用到了哪些运算方法？

师生活动：上节课的学习已经从定点问题的研究过渡到了椭圆中斜率积为定值的问题，教师与学生一起推导了定值结论，共同回顾，进行研究思路、参数引入和运算处理方法的梳理. 这节课主要探究定值问题，让学生对研究过的定值问题进行回顾. 引导学生说出引例1.

引例1：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下顶点为[A，B]，点[P]为椭圆[C]上异于点[A，B]的一个动点，直线[PA，PB]的斜率分别为[k1，k2]，试探究[k1k2]是否为定值.

学生给出解答如下.

由题设，知[A0，b，B0，-b].

设[Px0，y0]，则[x0≠0].

所以直线[PA]的斜率为[k1=y0-bx0]，直线[PB]的斜率为[k2=y0+bx0].

因为点[P]在椭圆上，

所以[x02a2+y02b2=1 x0≠0].

从而有[k1k2=y0-bx0 · y0+bx0=y02-b2x02=b2-b2a2x02-b2x02=][-b2a2]，为定值.

追问1：如果把椭圆的上、下顶点为[A，B]，换成左、右顶点为[A，B]，结果如何呢？

师生活动：重现之前研究过程的细节，让学生理解上个课时给出椭圆中斜率积为定值的逻辑的合理性.

椭圆的四个顶点是椭圆的基础几何性质，学生很自然能够产生这样的探究想法，也保障了研究的完整性和严密性.

追问2：这里的点[A，B]都是椭圆的顶点，关于原点对称. 那么，椭圆上任意关于原点对称的两点是否都有同样的性质呢？

师生活动：教师带着学生整理，按照从特殊到一般的规律，把普适性的研究成果进行重申. 强调运算方法——点差法. 引导学生说出引例2.

引例2：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，动直线[y=kx]与椭圆交于[A，B]两点，点[P]为椭圆[C]上异于点[A，B]的一个动点，直线[PA，PB]的斜率分别为[k1，k2]，试探究[k1k2]是否为定值.

追问3：上述问题探讨的性质类似于圆的直径所对的圆周角是直角，如图1所示. 圆还具备什么重要性质？

师生互动：引导学生从定值[-b2a2]的结构入手，联系圆的几何性质——直径所对的圆周角是直角，让学生意识到直径所在的直线在运动，直径所对的圆弧上的点也在运动，而它们形成的角度却是定值. 通过类比圆的性质，让学生感悟“动中不动是为定”的辩证思想，体会动与静的完美统一，同时联想圆的其他重要性质——垂径定理.

追问4：圆的一个重要结论是垂径定理（圆的弦中点和圆心连线与圆的弦互相垂直），如图2所示. 椭圆中是否也有类似的性质与结论呢？

师生互动：学生回顾探究思路，口述了结论的成立，并用“点差法”证明了结论. 学生说出引例3.

引例3：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，直线[l]不过原点[O]且不平行于坐标轴，直线[l]与[C]有两个交点[A，B]，线段[AB]的中点为[M]. 直线[OM]的斜率与直线[l]的斜率分别为[k1，k2]，试探究[k1k2]是否为定值.

教师引导学生对这三个引例进行如下分析：引例1（动点[P]）[→]引例2（动点[P]，动直线[y=kx]，动直线产生的点有关联）[→]引例3（动点[P]，动直线，中点等更多几何情境），选择参数时也会相应变化.

环节2：典例探究.

问题2：受问题1研究过程的启发，当运动的因素变化，引起变化的量越多参数也越多，对几何问题代数化表达的过程也会越来越复杂. 如何正确地表达几何量？如何选择合理的参数简化运算？

通过下面的例子进一步探讨.

例1  如图3，已知椭圆[C： x24+y2=1]，设点[M]为椭圆上位于第一象限内的一个动点，[A，B]分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线[MB]与[x]轴交于点[C]，直线[MA]与[y]轴交于点[D]. 求证：四边形[ABCD]的面积为定值.

师生活动：教师给出典型例题，引导学生读题、结合图形审题.

追问1：解析几何表达多边形面积有哪些方法？

追问2：四边形[ABCD]有什么特征？怎么表达面积合适？

追问3：如何求[AC， BD]？哪些点确定？哪些点变化？

追问4：点[C，D]的运动变化是由什么因素引起的？

追问5：变化是由点[M]引起的，那么如何设参数？

師生活动：学生总结多边形面积的一般表示法. 学生能够想到三角形面积公式[S=12l1l2sinα]，四边形的面积通过三角形来转化. 学生表述完，教师进行归纳梳理. 学生发现四边形[ABCD]的对角线互相垂直，通过对角线求解四边形的面积，得[S四边形ABCD=12ACBD]. 点[A，B]确定，点[C，D]在运动变化，变换是由点[M]的运动引起的，直接设点[Mm，n]. 这样就可以表示直线[AM]和直线[BM]的方程，从而求出点[C]和点[D]的坐标. 学生自主完成后，教师巡堂，投影展示答案. 对解析几何多边形面积的常规表述进行梳理，并让学生进行规律总结. 通过对例1的解题思路的分析，把学生解题过程中遇到的思维疑点和难点逐一解决. 学生把这些问题都解决了，剩下的就交给运算了，教师鼓励学生大胆计算、敢于计算. 在巡堂过程中，教师发现学生完成得好的，进行投影展示，同时通过PPT给予解答.

环节3：探究交流.

问题3：如果问题情境发生变化，运动变化的因素变得复杂，甚至研究的问题都变得陌生了，我们又该如何转化？如何引入参数进行求解？

例2  已知抛物线[C：x2=4y]的焦点为[F]，过点[F]作两条互相垂直的直线[l1，l2]，[l1]与[C]交于[M，N]两点，[l2]与直线[y=-1]交于点[P]，判断[∠PMN+∠PNM]是否为定值. 若是，求出其值;若不是，说明理由.

师生活动：教师给出探究例题，引导学生读题、审题，自己画出图形.

追问1：例2研究的目标是什么？可以怎么转化？

追问2：转化之后依然是角度，表达角度有哪些方法？哪个比较合适？

追问3：如果上述方法研究起来依然有困难，可以从哪方面入手？

追问4：特殊情况是什么？

追问5：特殊情况得出结论是[PM⊥PN]，一般情况如何证明？

追问6：通过向量或者斜率证明，都需要点[M，N]，[P]的坐标，怎么得到这些点的坐标？哪些点是运动的？运动是怎么引起的？

追问7：运动变化的关键是直线，那么如何设参数？

师生活动：学生可以想到[∠PMN+∠PNM=π-∠MPN]，把双变量转化为单变量，再研究[∠MPN]. 学生口头总结了表达角度可以考虑三角函数，如正切（斜率）、正弦或余弦，还可以用向量. 学生表述完，教师进行归纳梳理. 学生感觉即便有一些角度的表达方式，对于研究例2依然有困难. 教师引导学生从特殊情况入手，让学生求出特殊情况下的结论，然后证明一般情况. 学生已有证明垂直能够转化为斜率或向量数量积为0的认知基础，教师引导学生分析需要点[M，N，P]的坐标，而点[M]，[N，P]的运动是由直线的运动引起的，从而引入参数、联立求解. 学生自主完成后，教师巡堂，投影展示答案. 教师对角度这个几何量的“代数化”梳理可以帮助学生形成知识体系，使学生以后再遇到合适的情境时不至于束手无策. 遇到棘手的问题时，利用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）可以将盲目的探索问题转化为有方向、有目标的一般性证明题，有利于找到解决问题的突破口. 对于参数的选择，让学生从源头分析，并进行判断. 在巡堂过程中，教师发现学生完成得好的，进行投影展示，同时通过PPT给出解答.

环节4：探究运用.

问题4：例1是只有一个点的变化引起图象的变化，我们设点的坐标;例2是两条互相关联的直线引起图象变化，我们设某条直线的斜率. 如果引起运动变化的因素增多，几何情境也变得更加复杂，我们又该如何处理呢？

例3  点[M]的轨迹为[C：x2-y216=1 x≥1]，设点[T]在直线[x=12]上，过点[T]的两条直线分别交[C]于[A，B]两点和[P，Q]两点，且[TATB=TPTQ]，求直线[AB]的斜率与直线[PQ]的斜率之和.

师生活动：按照由浅入深，从“动”因素少到“动”因素多的思路，逐层探究. 教师给出探究例题，引导学生读题、审题，自己画出图形.

追问1：例3探讨的斜率是我们熟悉的几何量，那么具体条件给的是什么几何量？一般怎么转化？

追问2：坐标等价转化，具体怎么表达呢？

追问3：这个问题中变化的几何量有哪些？这一变化是由哪些量的变化引起的？

追问4：直线[AB，PQ]有没有关联？根据这些变化的量，可以怎么引进参数呢？

追问5：如何得到与点[A，B]的横坐标有关的运算结构？

师生活动：学生通过审题发现条件是长度乘积，由长度的表达想到了两点间的距离公式和弦长公式. 学生表述完，教师进行归纳梳理. 对于该例具体的表达，学生习惯了弦长公式，直接设[Ax1，y1，Bx2，y2]，则[TATB=1+k21x1-12x2-12]. 通过追问，学生意识到这个情境中变化的几何量较多，点[T]和直线[AB，PQ]都在运动变化，直线[AB，PQ]除了都过点[T]外没有别的关联，所以点[T]的坐标和直线[AB，PQ]的斜率都要引入参数. 我們设点[T12，t]，则直线[AB]的方程为[y-t=k1x-12]，直线[PQ]的方程为[y-t=k2x-12]. 要得到与点[A，B]的横坐标有关的运算结构，联立方程，得[y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16，] 消去[y]，整理可得. 给学生充裕的时间运算，教师巡堂观察探究情况，让学生在黑板上板书. 通过学生的表达，教师帮助学生梳理，可以用两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式、弦长公式、“化斜为直”坐标法等. 层层递进引导学生意识到定值问题的本质就是解析几何中的某些几何量（直线的斜率、图形的面积、角的度数、线段的长度等）的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关. 要善于运用辩证的观点思考和分析问题，在动点的“变”中寻求值的“不变”，选定适合题设的参数，用题目中的已知量和参变量表示题中涉及的定义、方程和几何性质，再用根与系数的关系导出所求定值所需要的表达式，并将其代入定值的表达式，化简、整理求出结果. 学生在黑板上板书，可以把运算环节展示出来，增强学生运算的信心. 然后教师通过PPT给出解答.

环节5：归纳总结，反思提升.

问题5：（1）根据上面的解题过程，能否总结定值问题的解决策略有哪些？

（2）根据上面的解题过程，能否总结定值问题的常见类型有哪些？

（3）在研究定值问题的过程中，我们采用了怎样的探究过程与方法？

师生活动：学生总结出了定值问题的解决策略. 特殊法，从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关;直接法，直接推理、计算，并在推理、计算的过程中消去参数，从而得到定值. 由于黑板上有板书，学生能归纳出定值问题常见的类型有直线的斜率、图形的面积、角的度数和线段的长度，能说出这些几何量常见的代数转化方法. 对于探究方法，学生能说出特殊与一般、转化与化归，教师补充了数形结合思想，引导学生说出在解决问题的过程中提高了推理论证能力和运算求解能力.

三、回顾与反思

1. 教学内容的安排

整节课中，教师一直在渗透分析几何因素的思想，希望启发学生在面对综合性解析几何问题时，对图形中定与不定的因素有具体的把握与分析，能够感受图形中几何要素的生成过程. 只有对几何要素的生成过程进行了分析，才能对参数的选取做出准确的判断. 引例中的椭圆斜率积定值问题，是本节课之前学生在解决选择题和填空题时遇到过的情境，教师在讲解过程中已经渗透了定值结论. 本节课再从类比圆、逻辑梳理的角度层层深入地进行梳理和分析. 学生体会了椭圆定值问题这种由浅入深的逻辑过程和参变量的选取原则. 再把问题推广到一般的综合性问题，而不只是局限于椭圆中的斜率积背景.

后面三道例题的选取考虑到了三种曲线的全面性和常见几何要素代数化的典型性.

例1的情境是椭圆中的四边形的面积问题，椭圆是解析几何综合问题中最常见的图形. 无论是基本几何性质的掌握程度，还是画图的熟练度，学生都是不错的. 该题中条件的几何要素不复杂，目标是研究四边形的面积，学生也能转化. 这里为了优化运算，利用四边形两条对角线互相垂直，通过对角线乘积的一半来求四边形的面积. 这也是四边形面积求解中常见的类型.

例2的情境是抛物线中的角度问题，虽然学生在以前的学习过程中接触抛物线综合问题的机会不如椭圆多，但是抛物线画图容易，而且对其几何性质的研究非常透彻，学生在心理上是不害怕的. 条件中运动变化的几何要素也不多，但是目标情境——角度相对比较陌生. 这里要让学生形成转化与化归的意识，结合图形至少可以先把两个角度的研究转化为一个角度的研究，然后再联想角度常见的转化方案，看是否可行，如果都不可行，还可以如何解决. 在矛盾冲突中产生从特殊情况入手的念头，从而通过特殊情况下为直角来简化一般情况下的证明.

例3的情境是双曲线中的长度乘积问题，对学生而言是最为陌生的，画图不如前两种熟练，长度乘积在心理上会让人觉得复杂、难算，但是目标是研究斜率，是学生熟悉的部分. 条件中运动变化的因素变多了，面对多运动变化因素的情境，让学生心理上不要产生畏惧感. 解决该例的关键是找到长度乘积的适当转化方式，让学生熟悉“化斜为直”的长度转化方式.

课堂小结部分让学生对定值处理策略、常见几何要素转化方法和数学思想方法进行条理化的梳理.

2. 教学方法的选择

问题引领，教师主导，生“动”课堂. 要让课堂上学生的“动”有目标、有逻辑顺序，教师就要设置好一系列问题. 教师设置好了问题和追问，学生就有了思考与讨论的载体，本节课正是借助这些问题串来推进教学的. 问题1及其追问，回顾椭圆中斜率积定值问题的研究思路，让学生体会几何因素逐渐变多的层次感，也从联系的角度与圆进行类比研究. 问题2及其追问，提出一个情境简单的问题，完成这道例题的几何条件的分析，并帮助学生梳理多边形面积的常见转化方式. 问题3及其追问，对于几何情境变得复杂时，如何分析几何条件，如何转化问题，示范了“特殊探路，一般证明”的过程，也帮助学生梳理角度问题的常见转化方式. 问题4及其追问，几何情境变得更加复杂了，几何问题更加陌生了，教会学生如何进行几何条件的分析和转化，如何合理地设参、用参、消参，得出定值，同时梳理和归纳长度问题的常见转化方式. 问题5的三个小问题完成了对本节课定值处理策略、常见几何要素转化方法和数学思想方法的小结.

在整个教学过程中，通过这些问题串的设计，突出了对研究对象几何特征的分析. 解析几何是用代数方法研究几何问题，但教学中要注意代数运算与几何直观的相互为用. 因为研究对象是几何图形，所以把握所研究对象的几何特征、明确面临的几何问题，这是首要的一步，然后才是用代数方法去研究. 上课过程中让学生画图，结合图形思考代数表征，思考要解决的代数问题的特点，真正做到数形结合.

同时，注重对解析几何运算特点的分析. 解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光觀察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算中时刻注意图形的几何特征及图形间的关系来简化运算，这是突破运算难点的关键举措. 在解析几何教学中，提高学生的运算能力不能仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是要在数形结合上下工夫. 学生的计算能力，很大程度上决定了解析几何的解题效率. 要让学生意识到简化运算结构、优化运算方案在解析几何解题中的重要性. 同时，通过不断成功的过程体验让学生建立起运算的信心和克服困难结构式的勇气.

3. 教学媒体的选用

问题、引例及三道例题的呈现都由教师事先准备好，在课堂上通过PPT显示在屏幕上，这样学生在解题过程中能够清楚地看到所有问题. 但是因为场地限制，黑板书写效果不佳，学生前面的做题展示都是通过投影设备实现的，相对于上台板书，未能更多地反映学生的思维过程. 虽然启用了活动黑板让学生上台对例3进行板书，但是还是可以有更多的教师板书过程，并在板书过程中反复强调书写运算的规范性，相信效果会更好.

4. 值得改进的地方

学而知不足，思而得远虑. 教学本身是一门遗憾的艺术，本节课还存在一些需要改进的地方.

（1）对于例1，当我们分析清楚研究对象的几何特征后，分析出在所有的条件中能够建立起等量关系的只有点[M]在椭圆上这一个条件. 因此，不管怎么设“坐标”，都应该在情理之中，没有必要将问题的解答按照某一个模式来固定，也没有必要纠结到底引进哪个点的坐标作为“参数”，设点[Mm，n]和设点[Cm，0，][D0，n]都是可行的.

当然，解决“定点、定值”问题的常用思路往往是从特殊情形入手. 如果从特殊情形入手，可以取[M1， 32]，则有[C4-23，0，D0， 33]，从而求得四边形的面积;再证明这个定值与变量无关.

（2）对于例3中的条件[TATB=TPTQ]，由圆幂定理可知[A，B，P，Q]四点共圆，这是不变的. 这就是对代数表达式[TATB=TPTQ]的几何因素的分析，所以可以从二次曲线系方程表示为圆的条件（不含[xy]项）入手进行解答，同样可以得到[k1+k2=0]. 由此可见，认真解读条件的几何特征非常重要.

（3）没有重视教材的使用. 如果对教材进行深入挖掘，也能从教材中看似简单的题目中挖掘出很多与圆锥曲线定值问题有关的问题来.

（4）受教学设备所限，没能充分展示学生的运算过程，对于运算表达规范的学生的解法只进行了投影展示，没有让学生谈谈是如何做到的，没有用“放大镜”再细化这些运算过程的关键点. 为了强调规范表达，应该尽量带领学生完成运算. 高三复习的一个基本要求是要重视思维的逻辑性和表达的规范性. 不能因为运算烦琐就只分析解题过程，然后直接用多媒体展示运算过程得出结论，教师要起到指引和示范的作用. 上课书写示范尽量不要使用PPT，而是自己板书，不然过程的呈现效果会减弱. 因此，教师需要在今后教学中注意书写表达和格式要求.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续2）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（8）：7-13.

[3]安学保. 讲在学生需要处，讲在思维深刻处：例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（8）：54-57.

[4]孙世林. 探究高考试题解法  例谈解析几何复习：以2018年一道解析几何题为例[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（7）：47-50.

[5]马旭，欧阳尚昭.“集合的概念”教学设计、教学反思与点评[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（8）：17-23.

[6]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.