从分类定义的差异化到数学本质的一致性

摘  要：从学生对圆锥曲线离心率分类定义产生的疑问入手，分析圆锥曲线离心率的教学情况和教学价值，探索促进学生理解圆锥曲线离心率数学本质一致性的途径：一是利用圆锥曲线统一定义消除圆锥曲线离心率分类定义的差异;二是以直线的斜率作为新的认知附着点;三是在Dandelin模型中进行探源;四是创设情境理解圆锥曲线图形上的统一性. 对圆锥曲线离心率及分类定义的概念教学进行反思.

关键词：离心率;一致性;分类定义

一、问题的提出

在一次教学研讨中，笔者听了一节“抛物线的简单几何性质”公开课. 在执教教师给出抛物线离心率的定义后，学生发现其与椭圆和双曲线的离心率定义不一致并提出疑问. 笔者认为，学生能够发现问题并提出问题的表现值得称赞，但是教师也应该反思圆锥曲线离心率的教学情况，分析圆锥曲线离心率分类定义的教学价值，探寻促进学生理解圆锥曲线离心率数学本质一致性的途径. 如下分析和实践与大家交流.

二、问题的分析

1. 从提出的疑问分析教师教学和学生理解情况

首先，学生能够提出疑问，体现了学生的认知发展，表明其形成了积极的学习心向. 疑问本身表明学生已经发现三类圆锥曲线的离心率定义不一致，试图用统一的方式来同化离心率的定义. 这是“在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达”. 这种整体思维的意识和探寻圆锥曲线离心率内在一致性的学习心向，对后续学习十分重要.

其次，在教学过程中，执教教师没有发挥例题和习题的铺垫拓展功能. 在人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）中，关于椭圆的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，都给出了求“动点到定点的距离与到定直线的距离的比值等于常数的动点轨迹”的例题，并设置了“用信息技术探究点的轨迹——椭圆”的活动. 笔者认为，教材如此编排是为建立圆锥曲线统一定义做好铺垫，也为学生消除圆锥曲线离心率定义上的差异、理解其数学本质的一致性提供支架. 经过了解，执教教师虽然讲过这些例题，但没有将题目的结论拓展成椭圆和双曲线的一般性质，没有使学生留下深刻印象. 这表明，执教教师在教学上对教材意图的理解和实施存在偏差，对例题和习题教学功能的体现和发挥有所欠缺.

2. 离心率分类定义的教学价值

差异化定义便于体现和理解离心率的功能. 一方面，离心率作为刻画椭圆扁平程度和双曲线“张口”大小的几何量，自然要依托图形的几何特征，也就要与几何量有所关联，因此定义焦距[2c]与椭圆的长轴长（双曲线的实轴长）[2a]的比值为离心率，这既呼应图形形状又符合学生的认知习惯，便于学生理解、记忆. 另一方面，圆锥曲线作为运动轨迹，是运动规律的数学表达，离心率作为描述和刻画运动过程中不变关系的几何量，自然要依托运动的特征，因此定义为两种距离的比值. 对于抛物线，由于其形状都相似，因此研究重点不是形状而是运动特征，即它的本质——动点到焦点与到准线的距离相等. 这种等距性通过适当的代数运算转化为常数1，若推广为其他常数，即成为反映椭圆和双曲线运动特征的不变关系，而这个常数就是它们的离心率. 因此，代数运算视角下的离心率充分体现了圆锥曲线运动内在的统一性.

理解概念必須经历从表象到本质的过程. 圆锥曲线离心率的差异化定义是基于圆锥曲线的不同类别而产生的，这种表象上的差异，随着圆锥曲线统一定义的建立和对离心率本质的揭示会悄然消失. 因此，从差异性的产生到消失是理解离心率所必须的过程，学生经历此过程后，对圆锥曲线统一性的认识将从起源相同性质、相似的事实性结论上升到本质一致性的理性认知.

三、促进理解的途径

1. 发挥统一定义的教学功能，消除分类定义的差异

圆锥曲线统一定义具有重要的教学功能. 它能激发猜想引入抛物线的概念，消除离心率分类定义的差异，促进学生对圆锥曲线统一性的理解. 笔者从椭圆和双曲线的方程出发，秉持以形导数的思想，以距离和运算的消失、再现为路径，引入抛物线的概念，教学片断如下.

师：回顾推导椭圆和双曲线的标准方程过程中第一次平方、化简后的方程.

生：推导椭圆的标准方程过程中第一次平方、化简后的方程为[ax-c2+y2=a2-cx;] 推导双曲线的标准方程过程中第一次平方、化简后的方程为[±ax-c2+y2=]

[a2-cx.]

师：它们能用同一个方程来表达吗？

生：[ax-c2+y2=a2-cx.]

师：思考椭圆和双曲线定义中的距离和运算，在上述方程中有何变化？

生：动点到左焦点的距离消失了，距离的和（差）运算随之消失.

师：很好！能将方程的右端看成距离或与距离有关的表达式吗？

（学生短暂思考.）

生1：从绝对值中提出[c]，即得点[Px，y]到直线[l：x=a2c]的距离[x-ac2.]

师：很好！再现了“消失的距离”，能再现“消失的运算”吗？

生2：[x-c2+y2x-ac2=ca.]

师：距离的和（差）运算变成了商，而且运算结果恰好是离心率的表达式. 可见，几何元素和运算不会凭空消失，而是以另一种形式呈现. 进一步观察方程的意义，左端是两类距离的比值，其有自然的取值范围，而右端是椭圆和双曲线的离心率，也有确定的取值范围，两者对比，有何猜想？

生：比值[ca=1]的动点的轨迹是抛物线.

师：很好，接下来我们在GeoGebra软件中验证猜想.

（以下过程略.）

从椭圆和双曲线的方程出发，以离心率“新”的表达式为目标，由“新、旧”离心率取值范围的差异引发猜想，在建立抛物线概念的同时消除离心率定义形式上的差异. 为避免喧宾夺主，教学时只采用圆锥曲线统一定义的方式，不出现统一定义的概念.

2. 建立新的认知附着点，理解离心率刻画曲线形状的功能

形状是图形分类的标准，对形状的刻画和研究是几何的内容. 由于研究方法的变化，平面几何与解析几何刻画图形形状的方式不同，前者是直观的度量方法，只需度量几何元素的数目和大小;后者是间接的运算方法，既要度量还要运算. 这种改变致使学生在平面几何中积累的经验不能正迁移到解析几何中. 例如，学生通过观察就能发现三角形的全等或相似，而对于“所有抛物线都相似”的事实性结论，有的学生学完解析几何也很难认同，这是因为他们对曲线形状的认知还停留在几何直观上，而直观上难以确定抛物线的相似性. 因此，应该建立新的认知附着点促进学生对离心率的理解.

直线斜率是理解离心率的认知附着点. 首先，两者功能相同，斜率刻画了直线的倾斜程度，斜率相等的直线经平移后重合，体现为图形的全等;同样，离心率刻画的是椭圆的扁平程度（双曲线的张口大小），离心率相同的圆锥曲线经过旋转、伸缩和平移后也能重合. 其次，两者的概念表征相似，直线上点的坐标是计算斜率的几何量，但斜率并不依赖点的坐标;同样，圆锥曲线上点到焦点的距离和它到准线的距离，或者椭圆（双曲线）的焦距和长轴（实轴）是计算离心率的几何量，但离心率也不依赖于它们而是源自截面和圆锥面的相对位置.

3. 在Dandelin模型中探寻离心率的截口曲线根源

从起源上看，圆锥截线的形状和类别是由截面位置确定的. 因此，离心率是截面与圆锥面相对位置的代数表达. 为了满足学生多样化的学习需求，在单元复习时，利用Dandelin模型以圆锥曲线的统一定义为依据，探索离心率的截线根源.

如图1，设圆锥的顶点为点[O]，圆锥的内切球与截面[β]相切于点[F]（即焦点）、与圆锥面的切点圆形成平面[α，] 截面[β]与平面[α]相交于直线[l]（即准线），所成的二面角为[φ.] 在截线上任取一点[P]，连接[PF]，过点[P]作[PP0⊥][α]于点[P0]，作[PP1⊥l]于点[P1]，连接[OP]交切点圆于点[P2]，设[PP2]与平面[α]所成的角为[θ]. 由[PF=][PP2]，得离心率[e=PFPP1=PP2PP1]. 在[Rt△PP0P2]和[Rt△PP0P1]中，分别有[sinθ=PP0PP2，sinφ=PP0PP1，] 所以[e=sinφsinθ.] 当圆锥确定后，[θ]是定值，而[φ]由截面[β]的位置确定，所以离心率[e]的数值取决于截面的位置.

下面分析截面[β]绕直线[l]旋转时，圆锥面截线的变化情况. 为便于叙述，将截面[β]与平面[α]重合、垂直以及平行于圆锥面的一条母线[l0]的状态分别记作[S0、S⊥、S∥.]

当[φ=0]时，截面[β]处于[S0]的状态，截口曲线是圆.

当[0<φ<θ]时，截面[β]从[S0]旋转到[S∥]（不含[S0]和[S∥]），圆锥面的所有母线都与截面[β]相交，交点在顶点[O]的同侧，截口曲线是椭圆，随着[φ]增大，离心率[e]也增大且越来越接近1，椭圆越来越扁平.

当[φ=θ]时，截面[β]处于[S∥]的状态，圆锥面的母线除[l0]外都与截面[β]相交，交点在顶点[O]的同侧，与[l0]夹角越小的母线与截面[β]的交点离顶点越远，截口曲线是抛物线，离心率[e=1].

当[θ<φ≤π2]时，截面[β]从[S∥]旋转到[S⊥]（含[S⊥]），圆锥面的所有母线都与截面[β]相交，交点在顶点[O]的两侧，所以截口曲线有两支，是双曲线，且[φ]越大，其“张口”越大，离心率[e]越大.

4. 创设动态情境理解圆锥曲线图形上的统一性

从代数的角度容易理解抛物线是椭圆和双曲线的极限情形，即随离心率[e]在区间[0，+∞]上连续变化，曲线从椭圆变为抛物线再变为双曲线. 在图形上很难想象，曲线在离心率[e=1]的瞬间由椭圆变成抛物线再变成双曲线的突变过程. 对此，笔者结合数学史实，以苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第81页和第93页的“操作题”为依据，在几何画板软件中创设情境展现突变过程，以促进学生对圆锥曲线图形统一性的理解.

首先，要建立学生关于抛物线也有两个焦点的认知. 在数学史中，圆锥曲线的焦点由德国天文学家开普勒于17世纪初首次发现，他指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆，他发现通过移动焦点可以由椭圆、抛物线、双曲线和圆中任意一个连续地变为另外一个. 其次，利用几何画板软件创建焦点移向无穷远处的情境，引导学生观察、想象相关几何元素形状和位置的变化情况，感知由椭圆和双曲线变成抛物线的极限过程. 如图2，在圆[F2]内取不同于圆心的定点[F1]，在圆[F2]上取点[G]，对折线段[GF1]折痕交半径[GF2]于点[P]，当点[G]在圆[F2]上运动时，设点[K]是圆[F2]的过[F1F2]的直径的端点，则点[P]的轨迹是以[F1，F2]为焦点、长轴长等于[KF2]的椭圆. 因为[GF2-F1F2=KF1]为定值，所以椭圆的离心率[e=][F1F2KF2=1-KF1KF2.] 现固定点K，在沿着直线[KF1]向右拖动点[F2]的过程中，圆[F2]的半径越来越大，椭圆的离心率越来越接近1，椭圆的形状越来越接近抛物线，如图3所示. 如图4，在圆[F2]外取一定点[F1]，类似地得点[P]的轨迹是以[F1，F2]为焦点、实轴长等于[KF2]的双曲线. 沿直线[F1K]向右移动点[F2]的过程中，双曲线的离心率和形状也有相应的变化，如图5所示.

四、后续的思考

1. 解题训练无法实现学生对离心率概念本质的理解

在教學实践中，部分教师会以“求圆锥曲线离心率的数值或取值范围”的题目为载体，通过知识的运用促使学生加深对离心率概念理解. 但事实上，这种做法欠妥，因为题目的解答都是从所给的情境中获得表达离心率的几何量，进而建立相应的等式或不等式进行求解. 这是离心率概念在标准或变式情境下的套用和模仿，属于记忆性理解，不涉及离心率的数学本质和根源，学生即使能够熟练解题也无法领悟“为什么通过这些几何量的运算就能算出离心率”. 因此，对数学概念的理解要深入源头理清脉络，要构建关系网络，才能达到解释性理解和探究性理解的层次.

2. 数形结合是解析几何运算的内在要求

解析几何的运算要求深度的形数结合，而不是点缀式地给运算结果赋予几何意义. 用代数方法研究几何问题要遵循“几何问题代数表达—代数运算获得结果—代数结果的几何形式”的顺序，但这并非机械的线性顺序，而要数形结合贯穿始终. 代数表达需要深入分析形的特征，否则将导致表达形式繁复、运算过程冗长，无法继续研究;代数运算需要从几何关系上找启发、从几何推理上找路径、用几何特征验证运算结果，脱离图形特征的纯粹运算毫无意义，无法从代数结果中获得几何形式. 上述教学片断中的代数变形路径始终围绕距离的数目、种类等几何要素及其运算的消失再现而延伸. 在教学实践中，围绕其他几何要素，如“角度”，在把距离变换成斜率的运算过程中，也能发现圆锥曲线的优美性质，一些教材习题由此编排.

3. 分类定义概念教学应追求本质一致性

数学中有些分类定义的概念，在各类别中的定义形式不同，对特殊情形直接用“规定”的形式给出;有些概念的教学需要跨越较长的时间间隔. 教学时要在每个类别中辨别概念的形式和内涵，也要在所有类别中厘清概念的共同本质，对于“规定”的内容，教师有必要为学生揭示“规定”的合理性和必要性，让学生获得整体的理解. 例如，对“斜线与平面所成的角”的教学，不能仅停留在“斜线与射影所成的角”的概念描述上，还要深入到“斜线与平面内所有直线所成角的最小值”的本质中，这样学生才能认识到“规定直线与平面垂直时，所成的角为直角”的合理性和一致性，才能对“直线与平面所成的角”有整体的理解. 同样地，对“异面直线间的距离”“平面与平面的距离”等空间距离的教学，既要归纳其几何直观上的共性，也要揭示它们都是“动点距离的最小值”这一本质，以便学生从函数的观点来理解概念、用函数的方法解答问题. 唯有此，学生对分类定义的概念的理解才能触及本质，进而获得整体认知.

参考文献：

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[3]李昌. 接纳理解重于训练运用：直线斜率的教学思考[J]. 中国數学教育（高中版），2020（12）：31-34.

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