不等式证明的视角——以Nesbitt不等式为例

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

不等式是高中数学的重点和难点,内容丰富,应用广泛.不等式的证明方法灵活多样,技巧性强.研究经典不等式的证明是掌握不等式的证明技巧的捷径.本文以Nesbitt 不等式为例,来探究不等式证明的不同视角.

Nesbitt 不等式设a,b,c＞0,则

在证明Nesbitt 不等式之前, 先给出本文要用到的不等式.

1 均值不等式及推论

(1)a,b ＞0,a+b≥

(2)a,b,c ＞0,a+b+c≥

(3)a,b,c ∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

(4)a,b,c ∈R,(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).

2 柯西不等式及推论

(1)a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,(a1b1+a2b2+a3b3)2≤

(2)a1,a2,a3∈R,b1,b2,b3＞0,

3 排序不等式

若a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3,则a1b1+a2b2+a3b3≥a1bi1+a2bi2+a3bi3≥a1b3+a2b2+a3b1,其中i1i2i3是1,2,3 的任一排列.

4 切比雪夫不等式

若a1≤a2≤a3,b1≤b2≤b3,则

Nesbitt 不等式形式优美,结构精巧.本文经过探究,得到Nesbitt 不等式的多种证明方法.

证法一(分母换元)令x=b+c,y=c+a,z=a+b,则由均值不等式得

当且仅当x=y=z,即a=b=c时取等号.

注表达式中都是分式,若直接通分,运算复杂,且很难利用均值不等式.证法一将分母换元,令x=b+c,y=c+a,z=a+b,将转化为x,y,z的表达式,然后利用均值不等式证明结论.

证法二(柯西不等式)由柯西不等式得

当且仅当a=b=c时取等号.

注证法二通过巧妙地给表达式中的每一项加上1,使得每一项的分子相同,然后利用柯西不等式证明结论.

证法三(均值不等式)由均值不等式得当且仅当a+b=b+c=c+a,即a=b=c时取等号.所以当且仅当a=b=c时取等号.

注证法三通过巧妙地给表达式中的每一项加上1,使得每一项的分子分别为两个分母之和,然后利用均值不等式证明结论.

证法四(柯西不等式)由柯西不等式得

当且仅当a=b=c时取等号.

注证法四通过巧妙地将表达式中的每一项的分子变成平方,然后利用柯西不等式证明结论.

若a+b+c≠1,令a′=则a′+b′+c′=1,且所以不妨设a+b+c=1,这样可以简化形式,并减少运算量.

证法五(柯西不等式)不妨设a+b+c=1,则a,b,c ∈(0,1), 且同理可得所以

由柯西不等式得

注由于表达式是齐次的,所以不妨设a+b+c=1,这是齐次式的一个处理技巧.

证法六( 排序不等式)不妨设a≤b≤c, 则a+b≤c+a≤b+c,由排序不等式得

于是

注由于表达式具有对称性,所以不妨设a≤b≤c,然后利用排序不等式证明结论.通过假设变量的大小排序,然后利用排序不等式证明结论,这是处理具有对称性的表达式的一个技巧.

证法七(切比雪夫不等式)不妨设a≤b≤c, 则a+b≤c+a≤b+c,由切比雪夫不等式得当且仅当a=b=c时取等号.

证法八(切线法)不妨设a+b+c=1,则a,b,c ∈(0,1),且令x ∈(0,1),则f′(x)=由∀x ∈(0,1),f′′(x)＞0 得f(x)的图象是下凸的, 于是f(x)的图象在处的切线位于f(x)的图象的下方, 即有不等式可用初等方法严格证明该不等式, 由x ∈(0,1),得,x ∈(0,1).所以

注由于表达式是齐次的,所以不妨设a+b+c= 1,然后由函数的凸凹性得到局部不等式,x ∈(0,1),并用初等方法严格证明该不等式.一般对满足条件证明≥M(≤M)(A,M为常数)的不等式问题,利用切线法构造局部不等式来证明结论是一个非常好的方法.

证法九(局部不等式)不妨设a+b+c= 1,则a,b,c ∈(0,1),且由均值不等式得于是所以同理可得所以

注由于表达式是齐次的,所以不妨设a+b+c= 1,并巧妙利用取等条件构造不等式然后得到局部不等式

证法十(局部不等式)不妨设a+b+c= 1, 则a,b,c ∈(0,1),且由(1-a)·(1-a)·2a≤得

由均值不等式得

证法十一(整体代换)令则,所以由柯西不等式得

注将表达式中的三个分式进行整体代换, 令并得到x,y,z满足的条件式然后利用柯西不等式证明结论.

证法十二(整体代换)令则所以通分整理得xy+yz+zx+2xyz=1.

由(x+y+z)2≥ 3(xy+yz+zx)得xy+yz+所以1 ≤

设x+y+z=3t,得1 ≤2t3+3t2,即(2t-1)(t+1)2≥0,于是所以所以当且仅当a=b=c时取等号.

不等式的证明往往没有通法,也没有固定的模式,方法巧妙而灵活,通过研究经典不等式的证明可以提高不等式的证明技巧.