圆锥曲线中“蝴蝶图形”的定点定值问题探究

南京市栖霞中学(210046) 刘建国 谢双庆

定点定值问题作为高考的热点与难点,其问题呈现的形式层出不穷,笔者在文献[1]中主要以椭圆的准线为已知知识类比至类准线进行探究,得出相关定值定点问题的若干结论;文献[2]中主要将问题条件不断一般化得出椭圆中相应的定点定值的结论,为读者提供一种探究定点定值问题的思路.关于椭圆中以“蝴蝶图形”为载体的问题中,蕴含着丰富的定值定点问题, 笔者在整理有关椭圆的定值定点问题中,以一道“蝴蝶图像”为背景的例题进行探究, 得出相应的结论,再通过类比,在抛物线中也得出相应的结论,试图解释试题命题的背景与命题的思路.

一、例题呈现

例1(江苏省2021 届百校联考第21 题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率是焦点(c,0)到直线的距离是3.

(1)求a,b的值;

(2)已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点,点A在x轴的上方,F(1,0),连接AF,BF,并分别延长交椭圆C于D,E两点,证明: 直线DE过定点.

分析笔者注意到点A,B具有对称性, 而直线AD与直线BE都过定点F, 问题是论证直线DE过定点, 而A,B,D,E四点均在椭圆上,那么直线DE所过的定点是否与椭圆中a,b有关? 是否与点F有关? 换言之,直线DE所过的定点与F和椭圆中的a,b之间是否存在着某种关系?笔者经过研究,将其一般化得到如下结论.

二、结论探究

结论1已知椭圆直线l过原点且与E交于A,B两点,Q(m,0)(|m| ＜a),连接AQ并延长交E于点C, 连接BQ并延长交E于点D, 则直线CD过定点

证明如图1 所示, 设A(x1,y1),B(-x1,-y1),C(x3,y3),D(x4,y4).因为A,Q,C三点共线, 所以即

图1

又因为A,C在椭圆E上,则所以由①可知:

将①②联立得:

同理,

所以直线CD的方程为:则

所以直线CD的方程为即直线CD过定点

注通过上述研究可知: 在例1 中通过计算得出第(1)问中a= 2,在第(2)问中m=1,则直线DE过定点

三、结论拓宽

上述结论中,不难发现直线AB过原点,且直线AQ与BQ均过定点Q,那么直线AB所过的点对直线CD的定点是否存在着影响? 笔者通过探究发现若直线AB过长轴上任意一点P(x0,0),直线CD同样过定点.

结论2已知椭圆直线l过点P(x0,0)(|x0| ＜a)与E交于A,B两点,Q(m,0)(|m| ＜a且m≠x0),连接AQ并延长交E于点C,连接BQ并延长交E于点D,则直线CD过定点

证明如图2所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),设直线l的方程为:x=ty+x0,由结论1 的可知:

图2

则直线CD的方程为:即将x3,y3,x4,y4代入化简可得:

因为A,B,P三点共线, 所以即(x1y2-x2y1)=x0(y2-y1),代入③得:

则直线CD的方程为:

即直线CD过定点

结论3已知椭圆直线l过点P(x0,0)(|x0| ＜a)与E交于A,B两点,Q(m,0)(|m| ＜a且m≠x0),连接AQ并延长交E于点C,连接BQ并延长交E于点D, 设直线AB的斜率为k1, 直线CD的斜率为k2,则

证明由结论2 的证明可知:

同理可知:

因为A,B,P三点共线,所以即(x1y2-x2y1)=x0(y2-y1),代入④得:

四、结论类比

笔者经过探究发现上述的“蝴蝶图形”背景在抛物线中也有类似的结论.

结论4已知抛物线E:y2= 2px(p ＞0),直线l过点P(x0,0)(x0＞0)与E交于A,B两点,点Q(m,0)(m ＞0且m≠x0)是x轴上任意一点, 连接AQ并延长交E于点C, 连接BQ并延长交E于点D, 则直线CD过定点

证明如图3 所示, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),设直线l:x=ty+x0,将直线l与抛物线E联立解得:y2-2pty-2px0=0,则

图3

结论5已知抛物线E:y2= 2px,直线l过点P(x0,0)与E交于A,B两点,点Q(m,0)(m ＞0 且m≠x0)是x轴上任意一点,连接AQ并延长交E于点C,连接BQ并延长交E于点D,设直线AB的斜率为k1,设直线CD的斜率为k2,则

证明如图3 所示, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线l的方程为:x=ty+x0,因为A,B在抛物线E上= 2px1,= 2px2,所以由⑤的第2 式可知:由结论4 的证明可知:

结论6已知抛物线E:y2= 2px,直线l过点P(x0,0)与E交于A,B两点, 点Q(m,0)(m ＞0 且m≠x0)是x轴上任意一点, 连接AQ并延长交E于点C, 连接BQ并延长交E于点D,则直线AD与直线BC的交点在定直线x=-m上.

证明如图4 所示, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由结论4 的证明可知:则直线AD的方程为:y - y1=因为所以则直线AD的方程为:即

图4

同理可得: 直线BC的方程为:

联立⑥⑦可得:x=-m,即两直线的交点在定直线上.

注根据上述结论,图4 中直线AD与直线BC交点在定直线x=-m上,如果将点Q逼近点P(即x0→m),那么点D和点C分别逼近于点A和点B,即点A与点B处的切线交点一定也在定直线x=-x0上.

推论已知抛物线E:y2=2px,直线l过点P(x0,0)与E交于A,B两点,直线l1与直线l2分别为抛物线E在A,B处的切线,那么直线l1与直线l2的交点在定直线x=-x0上.

证明如图5 所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据文献[3]的性质1 可知: 点A出的切线l1方程为:y1y=p(x+x1),即同理可得切线l2方程为:

图5

联立⑧⑨可得:由⑤可知:x=-x0,即直线l1与直线l2的交点在定直线x=-x0上.

上述的若干结论在双曲线中有类似的结果, 限于篇幅,笔者不在赘述,有兴趣的读者不妨尝试一下.

五、结论应用

以“蝴蝶图形”为载体的定点定值问题在各地的模拟题中均有呈现,究其根本在于笔者探究所得一系列结果,下面笔者罗列两道“蝴蝶图形”为载体的定点定值问题供有兴趣的读者进行练习.

例2(武汉市2021 届质检第21 题)设抛物线E:y2=2px(p ＞0)的焦点为点F,过点F作直线l交抛物线E于A,B两点,当l与x轴垂直时,ΔAOB的面积为8,其中O为坐标原点.

(1)求抛物线E的标准方程;

(2)若直线l的斜率存在且为k1,点P(3.0),直线AP与抛物线E的另一个交点为C,直线BP与抛物线E的另一个交点为D,设CD直线的斜率为k2,证明:为定值.

例3(泰安市与济南章丘区2021 届联合模拟考试第22题)已知F是抛物线C:y2=2px的焦点,直线l:y=2x+1与C交于A,B两点,且|AF|+|BF|=20.

(1)求C的方程;

(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M,N两点,且AM与BN相交于点T,证明:T点在定直线上.

六、结语

圆锥曲线的定值定点问题往往具有共性与特性,文中对椭圆的相关问题一般化后得出的结果使得问题探究更有深度,将椭圆的结果类比至其他曲线是问题探究的广度,只有有效的将问题研究的广度与深度相结合,才能了解问题命制的背景,对问题进行溯源,甚至在溯源后在原有问题的基础上进行问题的编制.如文中的三个例题都是将笔者所探究的结论进行赋值后特殊化的结果,因此只有了解问题的背景和对问题进行溯源,才能达到以点带面的复习效果,以一题通一类题的目的,跳出题海,跳出机械刷题,跳出题型套路的困顿中.