“整体性”与“一致性”：核心知识教学的基本追求

刘正松

摘要：新的义务教育数学课程标准特别强调数学课程的“整体性”与“一致性”，力求打通不同学段数学学习之间的关联。而这正是小学数学核心知识教学的基本追求。基于单元视角，聚焦核心知识，适度打开课堂，融通关联内容，是凸显“整体性”与“一致性”的有效路径。

关键词：核心知识教学;“分数的意义和性质”;整体性;一致性

本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。当下，基础教育课程改革已经进入核心素养时代。为适应基于核心素养的教学，新的义务教育数学课程标准特别强调数学课程的“整体性”与“一致性”，力求打通不同学段数学学习之间的关联。而这正是小学数学核心知识教学的基本追求。小学数学核心知识即在小学数学的3个领域（“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”）内，能够联结不同学段的内容并为其提供持续性支持、具有奠基作用的数学知识结构和数学思想方法。朱立明，马云鹏.小学数学中“除法”“分数”与“比”的辨析与思考[J].数学教育学报，2020（5）：3235。

“分数的意义和性质”就属于这样的内容。在“数的认识”系列知识的学习中，认识分数是数概念的一次重要扩展，加之理解分数的意义具有多维视角，导致学生在学习中存在诸多困难。因而，相关知识一直都是教学研究的热点。

审视过往的相关研究，单课的教学探讨已较为深入，但相对于分数序列丰富的内容而言，此类研究略显单薄。江苏省南京市金陵中学实验小学数学团队基于“小学数学核心知识教学”相关理念，就苏教版小学数学五年级下册《分数的意义和性质》单元的核心内容，展开系列课研究，其价值尤为深远。

我曾现场听过《分数的意义》等三节课，如今再次品味三位教师的教学实录，一种强烈的感受涌上心头：三节课虽朴实无华，但新意连连;更为难得的是，这种新意绝不是哗众取宠，而是返璞归真，回归学习和知识的本质，精彩演绎出小学数学核心知识教学所追求的“整体性”与“一致性”。

一、聚焦：把握核心与本质

就小学数学课程内容而言，“单位”是贯穿“数与代数”“图形与几何”两大领域的核心，只不过在“图形的认识与测量”中涉及的是计量单位，而在“数的认识与运算”中关注的是计数单位。分数单位就是分数的计数单位，它随着单位“1”被平均分成的份数的变化而变化，因而学生理解起来感到抽象、困难，但这并不妨碍分数单位在建构分数相关知识时的核心地位。

三位教师的课堂教学在这一点上做足了文章。朱建玲老师执教《分数的意义》一课时，别出心裁地选取邮票这一学材支撑单位“1”的认识，在单独出示1张、2张、3张邮票后出示四方联邮票，将多个物體组成的一个整体生动形象地诠释出来。学生从四方联邮票中既看到多个物体，又自然想到用“1”表示这一个整体;在此基础上，根据直观图示认识“2”“3”“4”……这一过程中，学生充分感知到计量单位的作用，轻松突破单位“1”的认知障碍。后续结合分数发展史的介绍引出“埃及分数”，并借助长方形彩条，让学生通过估计和测量经历分数单位累加产生不同分数的过程，从另一个视角解读分数的意义。王玉洁老师执教《真分数和假分数》一课时，以长方形彩条引入，把给定的彩条看作“1”，让学生想方设法表示其他不同彩条的长度。学生充分调动已有的数学活动经验，“创造”出不同的分数单位，通过度量描述不同彩条的长度，从而创生大小不同的分数，真分数与假分数的认识便水到渠成。这样的处理，有效地改善了以往单一地从“部分—整体”的角度理解分数，避免造成学生对“假分数大于整体”认识的困难。周孝勇老师执教《分数的基本性质》一课，课尾，引导学生再次感悟“12=24”背后的道理。学生结合图示很快关注到分数单位的变化，以及分数的大小不变的道理，真正做到“知其然，更知其所以然”。

不难看出，三节课的教学都突出了分数单位。我以为，这正抓住了分数序列知识教学的核心和本质。唯有这样，才能事半功倍、纲举目张。

二、打开：历练思维与经验

随着工作时间的增长，工作经验的积累，每节课都会在我们的脑海中留下一个基本的样子，我们会不由自主地照着脑海中的样子组织教学。这导致不少教师上课时受到许多有形、无形的束缚，课堂相对封闭。杨九俊先生针对这一现象曾撰文指出：让课堂向四面八方打开！杨九俊.让课堂向四面八方打开[J].教育发展研究，2014（8）：15。课堂向四面八方打开，意味着给予学生更为广阔的活动空间，帮助学生激活思维，积累丰富的数学活动经验。

对此，三位教师的课堂教学也做了很好的示范。《分数的意义》一课中，朱老师打开意义抽象之门，没有机械教条地让学生从几个具体分数的意义中找寻共同点，逐步抽象，而是在认识单位“1”的基础上，精心设计“单位‘1’不同，可以表示相同的分数”和“单位‘1’相同，可以表示不同的分数”这样两个不同层次的对比练习，帮助学生厘清分数意义的核心要素——单位“1”、平均分的份数和表示的份数，从而清晰地建构分数的意义。《真分数和假分数》一课中，王老师打开知识生长之门，没有亦步亦趋地引出假分数，而是用长短不同的彩条这样极其简约的学材，放手让学生自主表达。学生在已有计数经验的同化下，生长出“几个几分之一就是几分之几”的新认知，从而在“不经意间”认识了假分数。《分数的基本性质》一课中，周老师打开知识结构之门，没有将既有结论打包，整体教给学生，而是另辟蹊径，让学生从熟悉的“分数墙”中发现等值分数并展开研究，初步得到“分子和分母同时乘一个相同的数”时的结论，并在此基础上，浓墨重彩地引领学生从已有结论展开联想。学生大胆地提出猜想，并用先前的研究经验展开进一步探究，最终完整建构了分数的基本性质。如此教学，激活了学生的思维，拉长了核心知识的建构过程。学生从中不仅习得了静态的知识，更为重要的是发展了发现问题、提出问题的能力，逐步生成了“提出猜想—举例验证—形成结论”这一探究规律的基本方法。

综观三节课，没有囿于教材静态的编排和过往陈旧的经验，而是营造适宜的学习氛围，充分挖掘学生的潜能，让课堂向四面八方打开，在真实发生的学习过程中让学生历练思维、习得方法、丰富经验、积淀素养。

三、融通：凸顯结构与方法

数学知识逻辑严谨。日常教学中，我们要帮助学生建立起知识之间的联系，使新知识与原有认知结构中的旧知识相互发生作用，实现新旧知识意义的同化与顺应，从而使原有的认知结构发生积极的变化。基于此，要让学生更好地理解分数序列知识，一个有效的途径就是以分数的意义、真分数和假分数、分数的基本性质等知识为核心构建一个结构网络，融通所学知识。

三节课在知识的融通上也做了精巧的设计。《分数的意义》一课中，在学生初步抽象出分数的意义后，朱老师出示“地球表面有71100被海洋覆盖”和“五年级一班学生中，会打乒乓球的占34”这样两条信息，引导学生解读分数的意义，并用自己的方式表征出来。这一设计融通数学与生活，考量学生是否真正理解现实世界中的分数。接着，朱老师引导学生在分数的“份数定义”基础上，从分数单位累加的视角再认识分数。由于分数单位与自然数的计数单位本质是一致的，这样便将分数的认识与自然数的认识融为一体。《真分数与假分数》一课的课尾，王老师出示 “25”及其圆形图示，组织学生就描述其分数意义时，比较往常的说法与当下的说法，融通分数意义的表述，在认识假分数这一时间节点引发学生的思考。学生通过对比很快悟出其中的道理，从而充分感受到数学语言的精准，同时进一步深化对假分数的认识，其效果远比一遍遍苦口婆心、不厌其烦地纠正要好得多。《分数的基本性质》一课中，学生总结出分数的基本性质后，周老师追问：“你是否有一种与它似曾相识的感觉？”学生立刻联想到曾经学过的商不变的规律，再结合本单元刚学的分数与除法的关系，彻底沟通了两者的联系。将来，等探究比的基本性质时，再次融通三者的联系，这样建构的知识必然更加通透、牢固。此外，课尾有学生生成“我感觉这与单位互化的方法差不多”这一感受，也正说明这部分学生已从单位化聚的视角理解、建构了分数的基本性质。如此多元化的认识必然能增进全体学生对知识的理解。

实践表明，日常教学中，教师不仅要关注知识的生长点，更应该注重相关知识的连接点。这样，能够更好地揭示数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学认知结构。