小学数学课堂教学中的思维训练

2022-05-07 01:17曹广福
关键词:个位数数位倍数

曹广福

摘要:小学高年级数学教学,要注意通过合适的问题,引导学生进行深入的思考,领悟内在原理,得到必要的数学思维训练。“2、5、3的倍数的特征”的教学,不能只引导学生通过观察分析、归纳概括来发现规律、得到结论,还要通过问题链引导学生进一步搞清楚结论的内在原理,把握十进位值制记数法这一本质,体会数位分解这一思想方法。

关键词:数学思维;2、5、3的倍数的特征;数位分解

数学是思维的科学。小学数学课堂教学也需要通过有效的措施,“使学生得到必要的数学思维训练”。但如何落实到具体的课堂,则对一线教师提出了挑战。本文以人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》第二节“2、5、3的倍数的特征”为例,谈谈小学数学课堂教学中的思维训练。

一、止步于不完全归纳法的教学,思维训练便无从谈起

“2、5、3的倍数的特征”通常是分为《2和5的倍数的特征》《3的倍数的特征》两节课来教学的。也就是说,学生对“3的倍数的特征”的认识,是建立在学习了“2、5的倍数的特征”的基础上的。

先来看《2、5的倍数的特征》一课的教学。有一份教案设计了这样的教学过程:

【片段1】 发现5的倍数的特征

1.出示几道有关5的乘法算式,让学生口算。

2.师:观察这些算式有什么共同点?(都是一个数乘5)这说明算式结果跟什么数有关系?是什么关系?(都是5的倍数)

3.师:你知道怎样的数是5的倍数了吗?请仔细观察这些数。

4.学生自由发挥,教师辅助总结。

5.得出结论:个位上是0或5的数都是5的倍数。

6.验证:学生自己出几个数,然后计算。发现:都与个位有关系。

7.小结研究方法:口算—观察—验证—结论。

【片段2】 发现2的倍数的特征

1.出示几道有关2的乘法算式,让学生口算。

2.师:大家知道我们接下去要研究什么了吗?(2的倍数的特征)猜想一下:会跟什么有关系?

3.师:大家能用刚才的方法自己研究吗?

4.小组合作,教师巡视指导。

5.反馈:个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

6.随机出几个数,让学生列算式验证。

7.师:这些数,我们平时叫作双数,在这里叫作偶数;2的倍数叫作偶数。

8.师:你能说几个偶数吗?谁又能说几个特殊的偶数呢?最大的偶数是——(没有)最小的偶数呢?(0)

9.师:偶数的近义词是什么?(双数)那反义词呢?(单数、奇数)

上述教学,引导学生通过观察、分析,归纳出结论。这种方法称为不完全归纳法。然而,学生虽然得到了结论,却没有进一步思考“为什么判断一个数是不是2或5的倍数,只要看个位数”。缺少了这一步,学生后续学习“3的倍数的特征”时,又如何能理解“判断一个数是不是3的倍数,要看各位上数的和”?

这种从个别现象出发,通过不完全归纳得出一般结论的教学方法,对于小学低年级学生是合适的,因为他们尚处于待启蒙阶段,还不具备理解数学原理的能力。对于学生思维能力的缺失,有人认为:“根本原因就在于,从一年级开始回避算理、原理、思想方法,到了高年级,学生也不会。思维方式和学习习惯是从小开始慢慢养成的,低年级、中年级不感悟,到了五年级突然让学生发现,学生可能会吗?只有几个‘学霸可能会。”坦白来说,我不完全赞同这段话。人的认知发展需要经历启蒙、启智等若干阶段。小学低年级学生好比一张白纸,无论是知识积累还是思维能力都很欠缺,他们需要的是启蒙。企图对低年级学生讲清楚一些数学概念或结论的“所以然”恐怕是徒劳的,只能通过一些具体的例子让他们体会。高年级学生经过了几年的学习,通过“例子+归纳”的方法初步积累了一定的知识,大脑也日渐发育成熟,具备了一定的认知建构能力和逻辑思辨能力,能够感悟数学的基本原理了。这时候的教学如果还是停留在不完全归纳法的层面,学生的数学思维能力将很难得到提升。

二、通过合适的问题,领悟内在原理,思维才能螺旋上升

(一)“2、5的倍数的特征”的教学

根据2、5的倍数特征的内在原理,我们可以重新设计问题链。

问题1同学们回顾一下,20与10、300与100、4000与1000之间分别是什么关系?

学生应该不难回答:20表示两个10相加或10的2倍,即20=10+10=2×10;300表示三个100相加或100的3倍,即300=100+100+100=3×100;类似地,4000=1000+1000+1000+1000=4×1000。

分析这个问题,是为了后面的数位分解。

问题2如果两位数、三位数、四位数的各位上的数都不等于0呢?例如,985、211是什么意思?

这个问题,学生回答起来可能有一定的难度,因此,不妨稍微分解一下:百位数为9是什么意思?十位数为8是什么意思?由此,学生可以得到:985指的是9个100、8个10与1个5的和,即985=9×100+8×10+5;类似地,211=2×100+10+1。

这样分解是为了后面进一步分析得到:由于十位数、百位数、千位数所表示的数都是2、5的倍数,所以关键看个位数是不是2、5的倍数。但是到这一步还不够,因为这里涉及几个数的和,需要进一步引导学生分析。

问题3如果兩个数都是2的倍数,它们的和或差是不是2的倍数?如果一个数是2的倍数,另一个数不是2的倍数,它们的和或差是否可能是2的倍数?请通过例子说明你的答案。

学生不难举例说明(教师可以适当引导)。例如,14、24都是2的倍数,所以14+24也是2的倍数,因为(14+24)÷2=14÷2+24÷2=7+12=19。又如,14是2的倍数,11不是2的倍数,所以14+11不是2的倍数——因为如果14+11是2的倍数的话,那么(14+11)-14也应该是2的倍数,但这是不可能的。

有了这些准备,就可以抛出主要问题了。

问题4你能总结出什么数是2或5的倍数的一般规律吗?不妨多观察几个例子。

课堂上,可以由教师给出若干个数,或由学生自行拟出若干个数,进行归纳或检验。学生应当不难得到结论:如果一个数的个位数是2的倍数,则该数一定是2的倍数;如果一个数的个位数是5或0,则该数一定是5的倍数。

要让学生搞清楚原理,我们还需要往前再走一步。

问题5为什么看一个数的个位数就能知道一个数是不是2或5的倍数?你能以若干个两位数和三位数为例,解释清楚其中的道理吗?

基于之前的数位分解以及“和、差倍数关系不变性”,学生是可以举例说明的(教师也可适当引导)。例如,212=2×100+10+2,211=2×100+10+1,由于2×100与10都是2的倍数,2也是2的倍数,所以212应该是2的倍数;但1不是2的倍数,所以211应该不是2的倍数。教师可以引导学生通过数位分解的除法计算来验证:212÷2=(2×100+10+2)÷2=2×100÷2+10÷2+2÷2=100+5+1=106。

在此基础上,教师还可以进一步帮助学生总结一个数是2或5的倍数的一般规律:因为十位数、百位数、千位数、万位数等都是10的倍数,它们都是2、5的倍数,它们的和当然也是2、5的倍数,所以只要个位数是2或5的倍数,这个数就一定是2或5的倍数。

这里,让学生通过数字举例解释一般的道理,而不通过一般的字母表达给出严格(形式化)的证明,正是基于学生年龄特点与接受能力的考虑,体现“淡化形式,注重实质”的思想。

(二)“3的倍数的特征”的教学

关于3的倍数的特征,教材提供了一份图表(见下页图1)让学生观察、分析,归纳出结论;同时,在这一节的练习后安排了一个《你知道吗?》栏目(见下页图2),尝试让学有余力的学生搞清楚2、5、3的倍数特征的内在原理。

不过,窃以为,搞清楚2、5、3的倍数特征的内在原理应该是课内的教学内容,不应该放在课外阅读性质的栏目中;而且,教材的设计并没有讲清楚为什么要对24与2485做数位分解,依然是告知式的,并没有引导学生去发现分析这类问题的内在思想方法——数位分解。

因此,教师应该努力让学生明白,为什么需要通过数位分解来分析数的倍数特征。我们可以通过问题链,层层递进地引导学生做更深入、更细致的探索与思考。

问题1为什么11不是3的倍数,而12是?

回答这个问题要做除法,自然涉及前面的数位分解。11=10+1;10除以3商3余1,可以将10写成9+1,于是11=9+1+1=9+2;由于9是3的倍数,2不是3的倍数,所以11不是3的倍数。12=10+2=9+1+2=9+3,显然9与3都是3的倍数,所以12是3的倍数。

这个方法可以运用到一般的数上。教师可以列举若干个三位数甚至四位数、五位数,引导学生思考。

问题2111是不是3的倍数?112呢?

有了前面的分析,学生应该能自主写出下面的式子:111=1×100+1×10+1=1×(99+1)+1×(9+1)+1=1×99+1×9+1+1+1=1×99+1×9+3。由于1×99、1×9、3都是3的倍数,所以111是3的倍数。同理可得,112=1×99+1×9+4,由于1×99、1×9是3的倍数,而4不是3的倍数,所以112不是3的倍数。

问题3能不能列举几个四位数与五位数,说明什么样的数是3的倍数,什么样的数不是3的倍数?

学生能举出的最简单的数,当然是1110、11112之类的数。在处理方法上,与前面几个数没有任何不同:1110=1×1000+1×100+1×10=1×(999+1)+1×(99+1)+1×(9+1)=1×999+1×99+1×9+1+1+1=1×999+1×99+1×9+3;因为1×999、1×99、1×9、3都是3的倍数,所以1110是3的倍数。同理可得,11112也是3的倍数。

问题4上述分析方法能不能用来分析任意正整数何时是3的倍数?一个数是不是3的倍数与这个数的个位数是不是3的倍数有关吗?

学生对这个问题应该不会感到困难了,至少可以通过若干个两位数来检验。例如,13、16、19的个位数都是3的倍数,但这几个数都不是3的倍数;11、22、14、25、17、28等也不是3的倍数。这说明,无论个位数是多少,这个数都有可能不是3的倍数。

问题5为什么通过个位数不能判断一个数是不是3的倍数?能不能通过一两个具体的两位数来说明?能列举几个更复杂的三位数说明上面的结论吗?

学生可以任意举出之前的例子(如11、12),或其他更复杂的例子(如459=4×99+5×9+18、557=5×99+5×9+17)来说明。

小学生的认知水平和抽象思维毕竟有限,不可能通过几个例子便触类旁通地总结出规律。因此,让学生反复列举各种例子,正是为了让他们经过反复训练,慢慢地从中发现规律。接下来,就可以进入最本质的问题了。

问题6分析一下,上述459的分解式中的18与557的分解式中的17是怎么得到的?

由于经过了较多例子的重复检验,学生只要稍微仔细一点,便容易发现18与17分别是459与557的各位上数相加得到的,即18=4+5+9,17=5+5+7。

问题7上面的答案具有一般性吗?试着判断896532是不是3的倍数,能不能说清楚其中的道理?

有了前面的若干例子做基础,学生有理由猜测:由于8+9+6+5+3+2=33,33是3的倍数,所以这个数应该是3的倍数。当然,仅有这个猜测还不够,还要说清楚其中的道理。教师可以引导学生模仿前面的方法做详细的分析:

896532=8×100000+9×10000+6×1000+5×100+3×10+2

=8×(99999+1)+9×(9999+1)+6×(999+1)+5×(99+1)+3×(9+1)+2

=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+8+9+6+5+3+2

=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+33;

由于8×99999、9×9999、6×999、5×99、3×9都是3的倍数,33也是3的倍数,所以896532是3的倍数。33是896532各位上數的和。

问题8通过上面一系列分析,你如何判断任意正整数是不是3的倍数?

学生很容易得到结论:各位上数的和是3的倍数。

能完成上面一系列问题的分析,对一般学生来说,已经足够了。不过,对优秀学生来说,还可再往前走一步。课堂上,可以抛出更一般(用字母表达)的问题,让学生思考严格(形式化)的证明,但不宜做强制性要求。

思考题假设a1a2…an是一个n位数,其中a1是1到9之间的任意数,ai(i>1)为0到9之间的任意数,试说明:当a1+a2+…+an为3的倍数时,a1a2…an是3的倍数;反之亦然。

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