中学数学推理思维的逆向性的研讨与运用

刘红

推理思维具有逆向性，探讨推理思维的逆向性在数学教学中的运用，对提高数学教学效率具有很大的帮助。笔者根据教学实践，谈谈自己的体会。

一、推理思维及其过程的逆向性

推理分为归纳推理和演绎推理。

归纳推理是从特殊事例到一般原理的思维过程。如，由两手掌摩擦生热、两块铁摩擦生热、两块石头摩擦生热等事例，可以得出“摩擦生热”的规律性的结论。这就是归纳推理。

演绎推理是归纳推理的逆向思维，即从一般到特殊的思维过程。如，凡是汉字都能通过电脑输入，“鼎”是汉字，所以，“鼎”能通过电脑输入。这就是演绎推理。

归纳和演绎是相反相成的思维过程，是互为逆向的思维过程。在客观世界上，特殊性中有普遍性，普遍性中又有特殊性，二者互相结合，才能使人认识事物间的复杂关系，不断地扩大和加深知识经验，从而达到认识和改造客观世界的目的。而推理过程的逐浙压缩和简化，将大大促进和提高思维过程进行的速度和效率，并是思维能力发展的标志。

笔者这里所要探讨的是推理思维的心理過程的逆向性，指的是学生思维方向的改变，即从正向思维转向逆向思维。在本文中，笔者用这个概念把两个不同的但又相互联系的过程结合了在一起。也就是说，把单向思维变为了双向思维。如果用符号表示，即：把A→B变为了A←→B。需要注意的是，笔者这里所说的心理过程的逆向性，是指在数学推理过程中由结果到原始材料的逆向思维，而非其他学科方面的逆向性，因为不同学科的逆向性思维都具有不同的特质。

为了让学生容易理解，这里没有把正向思维过程和反向思维过程严格地区别开来。如果要严格地区分开来，对于初中学生尤其是数学能力差的学生来说，还是有一定难度的。为了让学生容易理解，我们可以认为从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。从以上谈到的可以清楚地看出，本文中没有像皮亚杰那样赋予逆向性概念那么重要的地位，也没有严格地给逆向性下定义。事实上，对于初中数学教学来说，也没有必要这样去做，学生只要能够理解A←→B的基本含义就行了。

二、推理思维的正向和逆向联结

笔者要探讨一下关于正向和逆向联结的问题。如果A→B的连续思维是正向联结，那么B→A就是逆向联结。在我国和其他国家的许多心理学研究中都提出，在建立正向联结的同时就能形成逆向联结。

我们提示推理思维的逆向性和联结，目的是揭示在数学上能力强的、平常的和能力差的学生中，在其突然地改变心理过程的方向，从正向思维转向逆向思维以及形成逆向（双向）的联结和联结系统方面能力水平上的差异。

数学能力强的学生去解所提出的逆向问题，没有特别的困难，也不需要特别的指导和训练，他们能迅速地辨认出逆向问题。如果先给他们一道正向就能解答的题目，等他们解答完后，再给他们一道同刚才那道题完全相反即需要逆向解答的题目，他们能够迅速地看出来，然后用逆向思维把它解答出来。通过他们的解答过程，看不出第一道题对他们解答第二道题的技能产生干扰，也看不出第一道题对第二道题的解答有什么抑制作用。在将近一半的例子是在正向问题之后紧接着给出一个逆向问题，比单独给出一个与原来正向问题无关的逆向问题更容易解答。也就是说，学生能够沿着第一道题的相反方向去解答第二道题，比单独解答第二道还要快，还要顺利。对于这些学生来说，推理思维的双向联结给学生解答数学题目提供了积极的辅助作用。

绝大多数平常的学生不用进行特别的指导和训练就能够解答逆向的问题。他们中的多数（大约60%）确实能辨认出对他们提出的逆向问题，但是他们在这样做的时候表现出信心不足。他们在解答第二道题目时，第一道题会给他们带来干扰和抑制作用。另一方面，对一个不与正向问题相继出现的逆向问题解答起来则更有信心。由此可以看出，他们还不能充分地利用推理思维的逆向性给他们解答数学题所带来的便利。但这些数学能力平常的学生，经过教师指导和自己训练后，也能较快地掌握解答这种逆向题的本质。

对于数学能力差的学生来说，情况就完全不同了。他们解答第一道题还比较顺利，但解答第二道题就明显感觉吃力了。也就是说，第一道题的解答思路对解答第二道题产生了干扰和抑制作用。如果只让他们解答第二道题，同他们解答第一道题一样，思路还比较清晰，速度也比较快。由此可见，他们完全不能利用第一道题的逆向条件来解答第二道题，也就是说，逆向联结对他们不仅没有起到正作用，相反起了负作用。在正定理和逆定理的证明中，就能够非常清楚地看出这一点。总的来说，让数学能力差的学生建立正向联结的逆向联结比较困难。比如，把前提和结论简单地交换一下位置（如“所有的直角都是相等的”——“所有相等的角都是直角”），对于数学能力差的学生来说，甚至不怀疑也不去考虑在有些情况下逆定理和逆向推理过程是否正确的问题。

一个能力强的学生按照公式立刻就掌握了一类问题的解法：“两个数之和乘以两个数之差就等于这两个数的平方差。”

教师：对代数式（x-y）2-25y8作因式分解。

学生：这个问题是反方向的;这是两个平方数之差。这已经解了。

教师：这个代数式等于什么？

学生：（x-y+5y4）（x-y-5y4）。我们必须考虑这两个平方是怎样来的。只要取这两个数的和，再乘以这两个数的差就行了，这是很清楚的。

有的数学能力差的学生，虽然经过教师大量的辅导，自己也做了大量的题目，但是还是不能熟练地运用思维的逆向性，有的学生甚至不想运用这种方法解答题目。

教师：解题：5×5=？（学生得出一个正确的答案）。现在解这个题：我们必须用什么数相乘才能得到25？（学生得出一个正确的回答）。现在注意：5×5=25，并且25=5×5。第二个问题是第一个问题的逆命题。解题：（2x+y）（2x-y）=？（学生得出一个正确的回答）。对，但是如果（2x+y）（2x-y）=4x2-y2，那么我们能说4x2-y2=（2x+y）（2x-y）吗？（学生给了一个肯定的回答）。好，（9x）2-（4y）2等于什么？

学生：我不知道，这个问题很奇怪，我们没有做过这种问题。

教师：对，你没有做过这种问题，但我们来学习做这种问题：两数之和乘两数之差等于什么？

学生：等于第一个数的平方减去第二个数的平方。

教师：对。你能说出这个问题的逆命题吗？平方差等于什么？a2-b2等于什么？

学生：a2-b2=（a+b）（a-b）。

教师：（9x）2-（4y）2=？

学生：（9x+4y）（9x-4y）……

上面省略了一些环节，尤其是同数学能力差的学生讨论的环节。用这个例子只是为了说明，为了让数学能力差的学生正确掌握思维的正向联结和逆向联结，需要经过教师的细心指导和学生自己一定的训练，否则，他们很难掌握逆向联结，哪怕只是一些最简单的问题。

三、推理思维及其过程的逆向性在数学教学中的运用

我们探讨推理思维及其过程的逆向性，目的是在数学教学中运用。如果只是为了研究而研究，那就失去了它的实际意义。笔者从前人研究中引用几个典型例子来探讨推理思维及其过程的逆向性在数学教学中的运用。这项研究是在我们教研组教师共同参与下进行的。

七年级学生刚从小学升入中学，心智尚未成熟，不太适宜在七年级进行实验。但在八、九年级都可以进行相关的推理思维的逆向性实验。

八年级的学生按着正向顺序（从左到右）学习了这个公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。教师让他们计算cos30°·sin15°+cosl5°·sin30°=？他们中还没有一个人做过这种题目。为解答这个问题，关键在于“由右向左”运用这个熟悉的公式。对此，学生中表现出了明显的差异。所有能力强的学生在几秒钟内就用公式解答了题目（sin45°=/2）;一半以上平常的学生不能解答这个题目，他们徒劳无功地企图用烦琐的变换找出150角的正弦值和余弦值（他们知道300的三角函数值），大约只有3个平常的学生找到了正确的解法，他们使用了显然不实用的方法经过长时间的反复尝试才得到这一个解答。所以，对于数学能力普通的学生来说，他们运用思维的逆向性来解答数学题目，还是有一定难度的。但经过教师指导和自己训练，他们也能够运用推理思维的逆向性来解答数学题目。

当在九年级引进一个复数概念的时候，要求学生把（a+b2）和（a-b2）相乘。能力强的学生得出了a2+b2这个答案后，马上就注意到了（一个逆向联想“开始活动”），现在，变成了要分解两个数的平方和，以前是不可能的，而现在是可能的了，因为我们已经学过了虚数。当时学生就提出来任何偶次幂之和的因式分解问题，如：a4+b4=（a2+b2）（a2-b2）。一个数学能力普通的学生正确地做了乘法运算，但是除此而外没有看出什么问题。9分钟之后，要求他作a2+b2的因式分解，他表示非常惊奇，并且回答说：这个题无解。

對于数学能力普通的学生来说，他们运用思维的逆向性来解答题目就有一定的困难了;那么，对于数学能力差的学生来说，他们运用推理思维的逆向性来解答题目就更困难了。但只要我们教师多加强指导和自己多加强训练，也是能够运用推理思维的逆向性来解答数学题目的。

四、推理思维及其过程的逆向性应该注意的问题

在运用推理思维及其过程的逆向性时，如果得出了不同的结果，这种迁移运用的效果就是负向的，即产生了负迁移，例如汉语拼音字母与英语字母在书写方面相同或相似，但读音不同，迁移就起了作用。

在运用推理思维及其过程的逆向性时，定势思维影响最大。如学习时惯用某一种方式，久而久之，形成一种习惯，即通常说的“思路”。这种定势，对学习新知识、解决新问题会产生直接影响。一般而言，这种思维定势在相同或相似的情境中，能迅速找到解决问题的途径和方法，容易产生正迁移，有利于问题的解决;相反，就会影响问题的迅速解决，产生负迁移。

此外，对所学知识技能的理解与熟练程度，学生的心理状态，如有无自信心、是否紧张、注意力是否集中、教材结构的特点以及对学习情境的熟悉性等，都是影响推理思维的逆向性迁移的因素。就知识和技能的理解与熟练程度来说，知识与技能的迁移，必须以理解与熟练为中介，学生对所学知识理解不深，技能掌握不熟练、不牢固，运用知识技能解决问题就困难。再如，学生对运用知识技能解决问题缺乏信心，对新情境不熟悉或由于过度紧张引起注意力涣散，运用推理思维的逆向性迁移也会发生困难。

这里需要强调的是，推理思维撇开事物的运动、变化和发展，是在相对静止的条件下来考察对象的。因而它没有能力掌握事物的运动、变化和发展，没有能力通观全局。要全面认识对象，特别是人从事物内部的矛盾运动去认识对象，就必须运用辩证法。应该说，在事物内部的矛盾性上，推理思维是不起作用的。因此，如果把推理思维的作用绝对化，企图以它来认识事物的矛盾运动，那么，不仅无法认识运动的实质，而且会导致否认运动的内在矛盾运动，否认运动的真实性，会跌入唯心主义的泥坑。

综上所述，我们可以得出这样的结论：数学能力强的学生能够较快地从正向推理思维转向逆向推理思维，他们所形成的联结可以立即变成逆向的。但是，对于数学能力普通的学生来说，就有了一定的难度，但还是能够解答的;但对于数学能力差的学生，难度就大了，需要经过教师耐心地指导和学生自己反复地训练，才能够正确地掌握和运用。