构造直角三角形解答几何问题的题型分析

庄菊咏

摘要：几何问题是初中数学的重点，同时也是难点.几何问题，是将一般图形转化为特殊图形（直角三角形、平行四边形等）进行求解.而直角三角形是最有效的图形之一，主要思路是对原图形添加适当的辅助线，使其转化为直角三角形的相关问题，并利用直角三角形的性质等直接求解.本文中主要介绍了直角三角形在求解几何问题中的几种应用及对应的策略.

关键词：直角三角形;几何题型;解题技巧

1 求角度

求解图形中某一个角的大小是几何问题中的常见问题之一.这类型问题可以构造直角三角形进行求解，利用直角三角形的特点和性质，结合其他图形，计算待求角的大小.解答这类问题的具体思路：①分析题意，添加辅助线构造直角三角形;②利用直角三角形的特点（例如直角等于90°）、性质，结合几何知识求解;③经过逻辑推理计算角的大小.

例1 △ABC的BC边上存在一点P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.

分析：本题存在特殊角∠APC=60°，经过点C作AP的垂线，构造直角三角形CDP，将∠ACB分为两部分，再根据点P的位置和∠APC的大小进行分析.

解：如图1，过点C作CD⊥AP，垂足为D，连接BD.

在Rt△CDP中，

∵∠APC=60°，

∴∠DCP=30°.

∴PC=2PD.

∵PC=2PB，

∴PB=PD.

∴∠PBD=∠PDB=30°.

又∵∠ABC=45°，

∴∠DAB=∠DBA=15°.

∴BD=AD=CD，∠ACD=45°.

∴∠ACB=45°+30°=75°.

2 求线段的长

求解图形中某一线段的长是几何图形中的常见问题，有时可以通过构造直角三角形求解，利用直角三角形的特殊角和对应的三角函数值，并结合相关定理（勾股定理、射影定理等）求解线段长度.解答这类问题的具体思路为：①根据题意构造直角三角形，并确定其内角的大小;②利用特殊的三角函数值或对应的定理列式求解，计算所求线段的长度.

例2 在△ABC中，D是AC边上一点，若BD⊥AB，∠ABC=120°，AB=CD=1，求AD的长.

分析：如图2所示，本题需要从点B入手再构造一个直角三角形，通过比例关系和勾股定理解得线段AD的长度.

解：过点C作CE⊥AB，与AB的延长线交于点E.

又DB⊥AB，所以BD∥CE.

令AD=x，则

x1=1BE，

即BE=1x.

所以，在Rt△BCE中，CE=BE＼5tan 60°= 3x.

在Rt△ACE中，由勾股定理可知1+x2=1+1x2+ 3x2，

即x4+2x3-2x-4=0.

等价于：x+2x3-2=0.

因为x>0，

所以x=32，即AD=32.

3 求面积

求解某个图形的面积大小是几何中的常考问题.这类型问题有时可以构造直角三角形求解，一般将原问题转化为求解直角三角形的面积问题，利用直角三角形的面积公式进行计算.解答的具体思路为：①分析图形特点，通过辅助线等手段构造直角三角形;②根据题意分析直接或间接计算面积，并确定相关线段的长度;③利用几何图形的面积公式计算求解.

例3 已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2 3，BC=6，求四边形ABCD的面积.

分析：由题意可知，四边形ABCD是不规则图形，其面积需要利用添补法求解.如图3所示，将其添补为一个直角三角形，并利用直角三角形的面积公式间接求解.

解：设DA，CB的延长线交于点E，

由题意可得，四边形补为Rt△EDC，如图3所示，

且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

在Rt△EAB中，令AB=BE=x，

则AE= 2x.

在Rt△EDC中，

DE=DC=2x+23，EC=x+6.

所以cos 45°= 2x+2 3x+6.

解得x=6-2 6.

故S四边形ABCD=S△ECD-S△EAB=12[ 2（6-2 6）+2 3]2-126-2 62=12.

4 求最值

最值问题是几何中的一类常考问题，一般为求线段的最值或角度的最值，有时可以利构造直角三角形求解.解答的具体思路为：①根据题目特点构造直角三角形;②将待求角或待求线段与直角三角形建立联系;③利用直角三角形的知识分析待求最值.

例4 在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB，AC上分别取点D，E，使线段DE将△ABC分为面积相等的两个部分，试求这个线段的最短长度.

分析：利用勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.过点D作△DEA的高DF，将原问题转化为求解直角三角形的问题.

解：由BC=5，AB=12，AB=13，结合

勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且AC⊥BC.

故S△ABC=12×5×12=30.

又因为线段DE将△ABC分为面积相等的两个部分，

所以S△DEA=15.

过点D作△DEA的高DF，交AC于点F，如图4，则DF∥BC.

设AD=x，AE=y，

则DF5=AF12=x13.

所以DF=513x，AF=1213x，EF=y-1213x.

在Rt△DEF中，由DE2=EF2+DF2，得

y-1213x2+513x2=x-y2+213xy.

又由S△DEA=15，得xy=78.

所以DE2=x-y2+12.

因此当x=y时，DE有最小值23.

故DE的最小值为23.

5 作证明

证明题是几何中必不可少的一类问题，证明形式包括求证角度的大小或关系，求证线段的长度或关系等，构造直角三角形是解答几何证明题常用的有效手段.具体思路为：①根据题意分析题目特点，构造直角三角形;②利用直角三角形的角度关系或边长关系，将待证明的线段或角与直角三角形建立联系;③最后利用直角三角形的相关知识求证即可.

例5 已知点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P，Q分别在边AB，AC上，且PM⊥QM.

求证：PQ2=PB2+QC2.

分析：本题中QC与PQ，PB没有直接关系，要想证明PQ2=PB2+QC2成立，就需要构造直角三角形，将这三条边之间建立联系，且PQ为斜边，如图5所示.

证明：

延长QM至点N，使MN=QM，

连结PN，BN，如图5所示.

∵PM⊥QM，

∴PQ=PN.

又∵M是BC的中点，

∴△BMN≌△CMQ.

∴BN=QC，∠MBN=∠C.

∴BN∥AC.

∴∠PBN=∠A=90°.

∴PN2=PB2+BN2.

故PQ2=PB2+QC2成立.

本文中介绍的几种题型都是常见的利用直角三角形求解的几何问题.直角三角形对求解几何问题有重要作用，能有效降低题目难度，化繁为简.解题时要学会灵活构造直角三角形，除此之外，还要熟练掌握直角三角形的性质及面积公式等基础知识，确保万无一失.

参考文献：

[1]徐久虎. 例谈构造法解决几何问题[J]. 中学数学， 2010（16）：29-33.

[2]杨晓玲， 詹海森. 构造法在几何问题中的应用实例[J]. 数学学习， 2015（3）：9-10.