“平行四边形”单元整体设计及思考

扈学慧 于彬

摘要：从单元整体设计的视角，对“平行四边形”一章从教材内容、学情等方面进行系统分析，在鲁教版教材的基础上融合人教版教材的优点对课时进行重新划分，并给出初步实践和简单思考.

关键词：平行四边形;判定;性质;单元整体

1 引言

单元课堂教学整体设计是教师教学环节的关键一环，其直接体现教师的教学理念和这种理念转化为具体教学实践的能力.笔者

从单元整体设计的视角，对“平行四边形”一章从教材内容、学情等方面进行系统分析，在鲁教版教材的基础上，融合人教版教材的优点对课时进行重新划分，并给出初步实践和简单思考，不当之处，敬请指正.

2 教材内容分析

2.1 内容

在人教版教材中，“平行四边形”是八年级下册第十八章的教学内容，主要包含“平行四边形”和“特殊的平行四边形”两大部分;在鲁教版教材中，“平行四边形”是八年级上册第五章的教学内容，主要包含平行四边形的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线、多边形的内角和与外角和，而“特殊的平行四边形”这一部分则单独成章，位于八年级下册的第六章.

2.2 内容解析

首先，平行四边形是特殊的四边形，教学中应该突出其区别于一般四边形的特征，为定义平行四边形奠定基础.

其次，“平行四边形”是在系统完成了三角形内容的学习之后，进行的一类全新的几何图形学习，应该将其置于“图形与几何”这一大系统内开展整体教学，为学生构建可迁移、可借鉴的几何学习的基本套路（章建跃语）：定义→性质和判定→应用.

对于平行四边形的定义，教材沿用了小学中定义平行四边形的方式，以突出其名称的典型特点，同时为学生明确定义是“判定”的一种方式.

对于平行四边形的性质和判定，教材继续沿用三角形中获得性质和定义的基本方法，也就是从“边、角、特殊的线段（对角线）”等角度归纳平行四边形的性质，同时在严格几何证明的基础上，给出其三种语言;随后继续延用由性质获得判定的方法，将性质的条件和结论互换，得出判定，在给出严格几何证明的基础上，同样明确其三种语言.此外，在性质或判定的获得过程中，教材中给学生提供了多样的探究路径或载体，引导学生亲身经历知识的发生和发展过程，为培养“四基”，提升“四能”，发展核心素养进行了积极大胆的尝试和探索.

关于“猜一猜”：几何教学中很多定理都是在“合情推理”的情况下获得的.“合情推理”与“演绎推理”是数学学习中不可缺少的推理类型.

关于“量一量”：测量是验证猜想的有效方式，但是测量是有误差的，即使通过大量测量取其平均值也不能避免.

关于“验一验”：数学测量工具《几何画板》为精确测量提供了依托.

关于“证一证”：教材中渗透了一个命题在证明之后才能称其为定理的编写和学习思路，为学生严密推理奠定了坚实的基础.

最后，平行四边形的学习为后续学习特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）提供了方法和思路，两版教材都注意到了这一点，人教版将其编排在一章之中，鲁教版教材则结合学生的认知特点将其分置于八年级的上下两册，但仍然是紧密相连.同时，平行四边形的学习也为后续“圆”的学习提供了方法和思路.

2.3 单元教学目标

通过上面的分析，確定本章教学目标如下：

（1）经历探索平行四边形性质的过程，丰富数学基本活动经验和体验，进一步发展合情推理与演绎推理能力，体会推理过程中的归纳、类比、转化等数学思想.

（2）理解平行四边形的概念，了解平行四边形的不稳定性.

（3）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.

（4）探索平行四边形的中心对称性质;探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.

（5）探索并证明三角形的中位线定理.

（6）了解多边形外角的概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.

3 学情分析

3.1 学生已有基础分析

（1）学生初步具备研究几何图形的基本方法.通过平行线，特别是三角形内容的学习，学生已经初步具备了研究几何图形的基本方法：整体方法是定义→性质和判定→应用;观察角度是边、角、特殊线段（角平分线、高线、中线、对角线）;定理获得方法是“猜一猜、量一量、验一验、证一证”.

（2）学生推理能力有了一定的进步和提升.通过前面相关内容的学习，特别是“三角形内角和定理”证明过程中“第一条辅助线”的获得，学生初步了解了几何论证的典型特点，为后续学习做好了铺垫.此外，随着年龄的增长，学生的抽象推理能力也有了提高，可以较好地获得相关结论，并给出严格的几何证明.

（3）学生的学习能力有了长足的进步.进入八年级，随着学生年龄的增长，学生的自主学习、自主探究能力有了提升，为本章内容的学习奠定了基础.

3.2 学生基础与目标的差距

（1）辅助线的添加有困难.平行四边形的学习是三角形学习的升级版，学生难于将二者的学习主动产生建构，特别是用研究三角形的思路和方法探究平行四边形时会有难度，以及通过“连接对角线”的方式将平行四边形分为两个全等三角形来解决问题，存在很大的困难.

（2）探究路径的选择有疑惑.在本章教学中，为突出自主、合作、探究等学习方法，为学生提供了多路径、多载体的性质和判定的发现方式，旨在引领学生亲身经历知识的发生和发展过程.但学生对此存在较大的疑惑，不能灵活选择探究路径.

（3）符号语言的表达有差距.通过前面章节的学习，学生虽然初步掌握了文字、图形和符号三种几何语言，但部分学生对符号语言的表达和书写存在很大的困难，不能用准确的符号语言表达完整的几何证明过程.

（4）三种语言的转换不准确.学生对三种语言之间的转化不准确，特别是不能将文字语言转换为图形语言，进而给出符号语言，给性质定理的证明带来很大挑战.

根据上述分析，确定本单元的教学重点和教学难点分别如下.

教学重点：

（1）经历探索平行四边形性质的过程，丰富数学基本活动经验和体验，进一步发展合情推理与演绎推理能力，体会推理过程中的归纳、类比、转化等数学思想.

（2）探索平行四边形的中心对称性质;探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.

教学难点：

（1）灵活添加辅助线，获得相关猜想的证明思路.

（2）通过实验探究，获得性质定理的文字表达，并给出严格的几何证明.

4 课时划分

本单元新授课需要10个课时，鲁教版具体课时分配如下：

（1）平行四边形的性质（3课时）：第一课时涉及平行四边形的定义、性质1和2，以及例1;第二课时，平行四边形的性质3;第三课时，两平行线之间的距离.

（2）平行四边形的判定（3课时）：三个判定，每个判定一个课时，共三个课时.

（3）三角形的中位线（2课时）：第一课时主要是三角形的中位线定理，第二课时是将三角形中位线定理的条件和结论互换，得到逆定理.

（4）多边形的内角和与外角和（2课时）：内角和一个课时，外角和一个课时.

通过上面的分析可以看出，鲁教版教材与人教版教材相比，具有以下明显区别：第一，特殊的平行四边形单独成章（前面已有论述）;第二，将多边形的内角和和外角和在本章进行介绍，实现数学思想的前后一致和逻辑连贯;第三，将两平行线之间的距离单列为一个课时，作为第三课时，而在第一课时中增加了一个典型的例题.

鉴于以上分析，结合学生实际，在实际授课过程中，以鲁教版教材为蓝本，借鉴人教版教材的优点，将“平行四边形的性质”一节重新整合，整合后课时不变，但是系統性和逻辑性更强，有利于学生更好地学习.重新整合如下.

第一课时：定义、性质1和性质2、人教版教材例1（通过此题巩固性质1和性质2，同时自然引出“两平行线之间的距离”，不增加学生的认知负担，详见文[1]）.

第二课时：通过度量、中心对称等多种方式得出性质3，通过教材例题巩固性质3，思路如下.

参考人教版的设计思路，第一课时以“量一量”的方式引导学生获得“边和角”的性质猜想，并进行证明;第二课时在介绍中心对称性后让学生思考如何从“中心对称”的角度说明平行四边形“边和角”的性质猜想，接着给出追问：你能获得平行四边形的对角线有哪些性质（详见文[2]）吗？

第三课时：通过鲁教版教材例1，对平行四边形的三个性质进行相应巩固和提升，思路如下.

例题 如图1，已知在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：BE=DF.

变式 如图2，已知在ABCD中，F，E分别在对角线AC的延长线和反向延长线上，并且AE=CF.求证：BE=DF.

（1）上述变式还有其他证明方法吗？（预设：上述教学中教师和学生只给出了通过证明△ABE≌△CDF得到结论的一种方法，其实还可以通过证明△CEB≌△AFD得到结论，从而在体现“一题多变”的基础上再体现“一题多解”.）

（2）将问题改为：判断BE和DF的关系.（预设：除了已经解决的数量关系，还有位置关系.）

（3）将条件“AE=CF”与结论“BE=DF”交换得到的新命题，是真命题还是假命题？为什么？

此处整合，为学生完整呈现了如何对一道题目进行“一题多解”和“一题多变”的全过程，为学生指出了一条全新的例题学习之路.“一题多解”遵循数学课程标准中提出的“经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性”，使学生了解问题的本质，促使学生“勤于反思”;“一题多变”则为学生呈现另外一种常见的变式方法：交换条件和结论.引导学生在上述“勤于反思”的基础上真正地“学会学习”，在解决问题和处理问题的基础上，可以提出问题和发现问题，实现“两能”到“四能”的突破.

5 结论

上文从单元整体的视角对“平行四边形”进行了系统分析和课时划分，为发展学生核心素养，构建整体的知识观和育人的课程观进行了初步尝试，取得了预期效果.欢迎更多的一线教师积极参与探索和实践.

参考文献：

[1]孙庆民，于彬. 基于“导学＼5反思”教学法的教学案例及思考——以“平行四边形的性质（第1课时）”为例[J].中国数学教育，2016（11）： 46-49.

[2]尚凡青，于彬. 一道中考填空压轴题的“源”与“流”[J].中学数学，2018（14）： 74-75.